山东省临清市高中数学全套教学案数学必修1：3.1-1函数的单调性

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学校：临清实验高中 学科：数学 编写人：赵福征 §1.3.1函数的单调性与最大（小）值（1）第一课时 单调性 【教学目标】1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．【教学重点难点】重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性【教学过程】（一）创设情景，揭示课题1．         观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：       随x的增大，y的值有什么变化？ 能否看出函数的最大、最小值？ 函数图象是否具有某种对称性？2．         画出下列函数的图象，观察其变化规律：      （1）f(x) = x  从左至右图象上升还是下降 ______?  在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．[来源:高考学习网（2）f(x) = -x+2  从左至右图象上升还是下降 ______?  在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．（3）f(x) = x2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．  在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．3、从上面的观察分析，能得出什么结论？学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。（二）研探新知1、y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。2．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．3、从函数图象上可以看到，y= x2的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．4．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：（三）质疑答辩，发展思维。根据函数图象说明函数的单调性．例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？     解：略点评：从图像中看出函数的单调区间是立即单调性的基础。变式训练1   函数在上的单调性为    （       ）A.减函数        B.增函数.          C.先增后减.       D.先减后增 例2 物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。分析：按题意，只要证明函数P=在区间（0，+∞）上是减函数即可。证明：略点评：实际问题与函数模型之间的关联十分密切，我们常常借助函数的单调性解决问题。变式训练2   若函数在上是增函数，那么  （      ）A.b>0      B. b<0        C.m>0    D.m<0  例3．16.求证：函数，在区间上是减函数解：设则           在区间上是减函数。点评：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：  ① 任取x1，x2∈D，且x1<x2；  ② 作差f(x1)－f(x2)；[来源:Zxxk.Com]③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．变式训练3.：画出反比例函数的图象．[来源:Zxxk.Com]  这个函数的定义域是什么？  它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．四、归纳小结函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论【板书设计】一、  函数单调性二、         典型例题例1：                           例2：    小结：【作业布置】完成本节课学案预习下一节。 §1.3.1函数的单调性与最大（小）值（1） 课前预习学案一、预习目标：1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2.熟记函数单调性的定义二、预习内容：1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：       随x的增大，y的值有什么变化？ 能否看出函数的最大、最小值？ 函数图象是否具有某种对称性？2.画出下列函数的图象，观察其变化规律：      （1）f(x) = x  从左至右图象上升还是下降 ______?  在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2  从左至右图象上升还是下降 ______?  在区间 ____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着 ________ ．（3）f(x) = x2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．  在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ．3.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，（1）当x1<x2时，都有f(x1)     f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是     函数（2）当x1<x2时，都有f(x1)     f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是     函数三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容       课内探究学案一、学习目标 1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．学习重点：函数的单调性及其几何意义．学习难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性二、学习过程例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？        解：        变式训练1   函数在上的单调性为    （       ）A.减函数        B.增函数.          C.先增后减.       D.先减后增 例2 物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。证明：      变式训练2   若函数在上是增函数，那么  （      ）A.b>0      B. b<0        C.m>0    D.m<0  例3．证明函数在（1，+∞）上为增函数解：          变式训练3.：画出反比例函数的图象．  这个函数的定义域是什么？  它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．三、当堂检测1、函数的单调增区间为                                （      ）A.        B.         C.     D.2、函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于                                               （      ）A.-3        B.13        C.7     D.由m而定的常数 3、若函数在上是减函数，则的取值范围是      （    ）A.        B.         C.    D.[来源:Z&xx&k.Com]4、函数的减区间是____________________.5、若函数在上是减函数，则的取值范围是______.课后练习与提高一、  选择题1、下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是             （       ）A.       B.      C.    D.  2、函数的单调减区间是                      （      ）A.        B.         C.     D. 二、填空题：3、函数，上的单调性是_____________________.4、已知函数在上递增，那么的取值范围是________.[来源:学.科.网]三、解答题：5、设函数为R上的增函数，令（1）、求证：在R上为增函数（2）、若，求证           参考答案例一 略  变式训练一B例二 略  变式训练二C例三解：设则             变式训练三略