高一数学导学案：1.3.1 单调性与最大（小）值（1）（人教A版必修1）

§1.3.1  单调性与最大（小）值（1）

学习目标

1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性；

3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P27~ P29，找出疑惑之处）

引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？

复习1：观察下列各个函数的图象.

探讨下列变化规律：

① 随x的增大，y的值有什么变化？

② 能否看出函数的最大、最小值？

③ 函数图象是否具有某种对称性？

复习2：画出函数、的图象.

小结：描点法的步骤为：列表→描点→连线.

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：单调性相关概念

思考：根据、的图象进行讨论：随x的增大，函数值怎样变化？当x>x时，f(x)与f(x)的大小关系怎样？

问题：一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？

新知：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）.

试试：仿照增函数的定义说出减函数的定义.

新知：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.

反思：

① 图象如何表示单调增、单调减？

② 所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？

③ 函数的单调递增区间是          ，单调递减区间是            .

试试：如图，定义在[-5,5]上的f(x)，根据图象说出单调区间及单调性.

※ 典型例题

例1 根据下列函数的图象，指出它们的单调区间及单调性，并运用定义进行证明.

（1）；  （2）.

变式：指出、的单调性.

例2 物理学中的玻意耳定律（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.

小结：

① 比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号；

② 证明函数单调性的步骤：

第一步：设x、x∈给定区间，且x<x；

第二步：计算f(x)－f(x)至最简；

第三步：判断差的符号；

第四步：下结论.

※ 动手试试

练1.求证的(0,1)上是减函数，在是增函数.

练2. 指出下列函数的单调区间及单调性.

（1）；    （2）.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 增函数、减函数、单调区间的定义；

2. 判断函数单调性的方法（图象法、定义法）.

3. 证明函数单调性的步骤：取值→作差→变形→ 定号→下结论.

※ 知识拓展

函数的增区间有、，减区间有、 .

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（    ）.

  A. 很好   B. 较好   C. 一般   D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 函数的单调增区间是（    ）

  A.     B.     C. R    D.不存在

2. 如果函数在R上单调递减，则（   ）

  A.    B.    C.    D.

3. 在区间上为增函数的是（   ）

A．     B．

C．        D．

4. 函数的单调性是               .

5. 函数的单调递增区间是        ，单调递减区间是         .

课后作业

1. 讨论的单调性并证明.

2. 讨论的单调性并证明.