《函数及其表示》学案5（新人教版必修1）
展开函数及其表示
我们利用正弦线画出正弦函数的图象
将函数，的图象向左、右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数，的图象（图4-23）
正弦函数的图象叫做正弦曲线．
由图4-23可以看出，在函数，的图象上，起着关健作用的点有以下五个：，，，，．
描出这五个点后，函数，的图象的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连结起来，就得到函数的简图．以后，我们将经常使用这种近似的“五点画图法”，所以要熟练地掌握这个画简图的方法．
小结：画正弦函数的图象的注意事项：
1．作三角函数的图象，三角函数的自变量（角）常用弧度来度量，使横、纵坐标轴上的单位长度一致．这样，利于不同人画出形状基本相同的曲线，从而对曲线建立起正确的认识．
2．作正弦函数的图象要用光滑曲线将所画各点连接起来．注意曲线在关键点附近的变化趋势。
下面我们将研究正弦函数的定义域、值域和单调性．
（1）定义域和值域
在任意角的终边上取与原点不重合的点p(x，y)后，总有唯一的存在，即正弦值存在，因此函数的定义域为R．
在 中，
即
∴的值域是[－1，1]，
其中正弦函数当且仅当，时取得最大1，当且仅当，时取得取小值－1．
注：对于正弦函数的值域这个问题也可以利用正弦曲线来加以说明．观察正弦曲线（图4-23）可以看出图象的最高点的纵坐标（即y的最大值）是1，最低点的纵坐标（即y的最小值）是－1，即y的取值范围是．
（3）单调性：
复习：对于给定区间上的函数：
如果对于属于这个区间的任两个自变量的值，当时，都有，那么就说在这个区间上是增函数．
如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在这个区间上是减函数．
如果函数f (x)在某个区间上是增函数（或减函数），就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f (x)的单调区间．
观察正弦曲线（图4-23）可以看出；当x由增大到时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1；当x由增大到时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1．这个变化情况如下表所示：
x | …… | 0 | …… | …… | …… | ||||
sinx | －1 | ↗ | 0 | ↗ | 1 | ↘ | 0 | ↘ | －1 |
由此可知，正弦函数在闭区间上是增函数，其正弦值从－1增大到1；在闭区间上是减函数，其正弦值从1减小到－1．
由正弦曲线（图4-23）还可以看出：
正弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其函数值从－1增大到1；在每一个闭区间 上都是减函数，其函数值从1减小到－1．
这两类闭区间的每一个都称为正弦函数的单调区间．
注：正弦函数的单调性，也可以从单位圆中正弦线的大小来理解和记忆更加方便可行．
