高中数学人教版新课标A必修24.1 圆的方程导学案及答案

5．圆的方程

一、内容归纳

1. 知识精讲.

①圆的方程

(1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。

(2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，其中圆心为(-，-)，半径为，

(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之）

（4）半圆方程：等

(5)圆系方程：

i)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0

ii)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)该方程不包括圆C2；

 （时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程）

(6) 圆的参数方程 

圆心在(0,0),半径为r的圆的参数方程为  为参数

圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程为  为参数

②圆的一般方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系；

二元二次方程表示圆的充要条件A=C≠0，B=0 ，D2+E2-4AF>0。

二、问题讨论

例1、根据下列条件，求圆的方程。

(1)和圆x2+y2=4相外切于点P(-1，)，且半径为4；

(2)经过坐标原点和点P(1，1)，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；

(3)已知一圆过P(4，-2)、Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程。

解：(1)设圆心Q的坐标为(a，b)   ∵⊙O与⊙Q相外切于P

∴O、P、Q共线，且λ==-=-  由定比分点公式求得a=-3，b=3

∴所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=16

(2)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：

=    即x+y-1=0

解方程组    x+y-1=0

           2x+3y+1=0    得圆心C的坐标为(4，-3)。又圆的半径r=|OC|=5

∴所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25

 (3)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0    ①     将P、Q点的坐标分别代入①，得：

4D-2E+F=-20   ②

D-3E-F=10  ③       令x=0，由①得y2+Ey+F=0   ④

由已知|y1-y2|=4，其中y1、y2是方程④的两根。

∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48   ⑤

②、③、⑤组成的方程组，得

  D=-2        D= -10

  E=0    或   E= -8

  F= -12       F=4

故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0

[思维点拔]无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求。一般地，已知圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式。

例2、(优化设计P112例1)设为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值，求P点的轨迹。

解：设动点P的坐标为（x，y）.    由.

化简得

当，整理得.

当a=1时，化简得x=0.

所以当时，P点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；

当a=1时，P点的轨迹为y轴。

【评述】上述解法是直接由题中条件，建立方程关系,，然后化简方程，这种求曲线方程的方法称为直接法。

例3、(优化设计P112例2)一圆与y轴相切，圆心在直线上，且直线截圆所得的弦长为，求此圆的方程。

解：因圆与y轴相切，且圆心在直线上，故设圆方程为，由于直线截圆所得的弦长为，则有

解得，故所求圆方程为

或

【评述】求圆的弦长方法

（1）几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边

（2）代数法：用弦长公式

例4、已知⊙O的半径为3，直线与⊙O相切，一动圆与相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。

解：取过O点且与平行的直线为x轴，过O点且垂直于

的直线为y轴，建立直角坐标系。

⊙O与⊙M的公共弦为

AB，⊙M与切于点C，则

⊙O的直径，MO垂直

平分AB于O。

由勾股定理得

即： 这就是动圆圆心的轨迹方程

【点评】建立适当的坐标系能使求轨迹方程的过程较简单、所求方程的形式较“整齐”

备用题：

例5、设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。

解：本题关键是找出动点P与定点M及已知动点N之间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可。   设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为(，)，线段MN的中点坐标为(，)。

因为平行四边形对角线互相平分，故=，=

从而   x0=x+3

       y0=y-4

N(x+3，y-4)在圆上，故(x+3)2+(y-4)2=4

因此所求轨迹为圆：(x+3)2+(y-4)2=4，但应除去两点：(-，)和(-，)

[思维点拔]：求与圆有关的轨迹问题，充分利用圆的方程和圆的几何性质，找出动点与圆上点之间的关系或动点所满足的几何条件。

例6、已知圆的方程是：x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0，其中a≠1，且a∈R。

(1)求证：a取不为1的实数时，上述圆恒过定点；

(2)求与圆相切的直线方程；

(3)求圆心的轨迹方程。

解：将方程x2+y2-2ax+2（a-2）y+2=0整理得x2+y2-4y+2-a（2x-2y）=0

令  x2+y2-4y+2=0

    x-y=0

解之得  x=1

        y=1  

∴定点为(1，1)

(2)易得已知圆的圆心坐标为（a，2-a），半径为|a-1|。

设所求切线方程为y=kx+b，即kx-y+b=0

则圆心到直线的距离应等于圆的半径，即=|a-1|恒成立。

整理得2(1+k)2a2-4(1+k2)a+2(1+k2)=(k+1)2a2+2(b-2)(k+1)a+(b-2)2恒成立。

比较系数可得

  2(1+k2)=(k+1)2

  -4(1+k2)=2(b-2)(k+1)

  2(1+k2)=(b-2)2          解之得k=1，b=0。所以，所求的切线方程是y=x。

(3)圆心坐标为(a，a-2)，又设圆心坐标为(x，y)，则有

  x=a

  y=2-a 

消去参数得x+y=2为所求的圆心的轨迹方程。

[思维点拔]：本题是含参数的圆的方程，与圆的参数方程有本质的区别。当参数取某一确定的值时，方程表示一个确定的圆，当a变动时，方程表示圆的集合，即圆系。解本题(1)可用分离系数法求解；(2)可用待定系数法求解；(3)可用配方法求解。

一般地，过两圆C1：f(x，y)=0与C2：g(x，y)=0的交点的圆系方程为：f(x，y)+λg(x，y)=0(λ为参数)。

三、课堂小结

1、求圆的方程：主要用待定系数法，有两种求数，一是利用圆的标准方程，求出圆心坐标和半径；二是利用圆的一般方程求出系数D、E、F的值。

2、已知圆经过两已知圆的交点，求圆的方程，用经过两圆交点的圆系方程简捷。

3、解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算。

4、与圆有关的轨迹问题，可根据题设条件选择适当方法（如直接法、定义法、动点转移法等），有时还需要结合运用其他方法，如交轨法、参数法等。

四、【布置作业】  优化设计P113