人教版新课标A必修24.1 圆的方程学案

数学必修2编号_10 时间___________ 班级___  组别___   姓名________

课题：圆的一般式方程  

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【学习目标】

1.在掌握圆的标准方程的基础上，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.

2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.

3.通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.。

【重难点】

重点：圆的一般方程的特点及应用

难点：根据具体的条件，选用圆的一般方程解决有关问题

  自主学习案

【知识梳理】

思考：方程表示什么图形？为什么？____________________________

方程表示什么图形？为什么？____________________________

1.形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗?

把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得②

(1）当D2 + E2 – 4F＞0时，方程②表示以___________为圆心， ____________为半径的圆

（2）当D2 + E2 – 4F = 0时，方程只有实数解，即只表示一个点(    ,   )

（3）当D2 + E2 – 4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.

综上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆, 只有当D2 + E2 – 4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如__________________________的表示圆的方程称为圆的一般方程.

【预习自测】

1. 圆                   的一般方程为__________________________

2. 求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长：

（1）转化为标准方程为____________________圆心为___________,

半径为___________

（2）(2)转化为标准方程为____________________圆心为___________,

半径为___________

（3）(3)转化为标准方程为____________________

圆心为___________,半径为___________

【合作探究】

例1  判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.

（1）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 9 = 0

（2）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 11 = 0

例2 △ABC的三个顶点的坐标是A (5，1)，B(7，–3)，C(2，– 8). 求它的外接圆的方程

变式： 已知一圆过P (4，–2)、Q(–1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为，求圆的方程.

例3 如图，等腰梯形ABCD的底边长分别为6,和4，高为3，求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径长.

 例4 已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上(x + 1)2 + y2 = 4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程(画图）

【当堂检测】

1． 圆的方程为（x-1)(x+2)+(y-2)(y+4)=0,则圆心坐标为(     )

1. (1,-1)        B.      C.(-1,2)           D.

2． 若方程表示圆，则a的值为（    ）

A.-1      B.2       C.-1或2       D.1

3． 已知实数x,y满足则的最大值为（     ）

1.           B.       C.         D.

课后练习案

1.圆心在直线x－y－4＝0上，并且经过圆与圆

的交点的圆的方程．

2. 已知方程x2 + y2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t2)y + 16t4 + 9 = 0表示一个圆，求

（1）t的取值范围；

（2）该圆半径r的取值范围.

3. 长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求

线段AB的中点的轨迹方程.

4. 等腰三角形的顶点A的坐标是（4, 2)，底边一个端点B的坐标是

(3, 5)，求另一端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形.

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5. 已知点M与两个顶点O（0,0），A（3,0）的距离的比为1:2，求点M的轨迹方程.