数学必修24.1 圆的方程学案

题目 第七章直线和圆的方程圆的方程

高考要求

1掌握圆的标准方程和一般方程

2了解参数方程的概念 理解圆的参数方程

3掌握圆的方程的两种形式并会根据具体情况选择其中的一种解题;

4掌握圆系方程并会运用它解决有关问题;

5灵活运用圆的几何性质解决问题

知识点归纳

1．圆的定义

平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．

2圆的标准方程

圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为

方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆

3圆的一般方程

二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（*）配方得

（x+）2+（y+）2=

把方程

其中，半径是，圆心坐标是叫做圆的一般方程

（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x2、y2项系数相等且不为零 没有xy项

（2）当D2+E2－4F=0时，方程（*）表示点（－，－）；

当D2+E2－4F＜0时，方程（*）不表示任何图形

（3）根据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程

4圆的参数方程

①圆心在O（0，0），半径为r的圆的参数方程是：

②圆心在点，半径为的圆的参数方程是：

在①中消去θ得x2+y2=r2，在②中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程

5二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件

若二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，则有A=C≠0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分

在A=C≠0，B=0时，二元二次方程化为x2+y2+x+y+=0，

仅当D2+E2－4AF＞0时表示圆

故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：

①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞0

6 线段AB为直径的圆的方程： 若，则以线段AB为直径的圆的方程是

7经过两个圆交点的圆系方程：经过，的交点的圆系方程是：

在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程

 8 经过直线与圆交点的圆系方程： 经过直线与圆的交点的圆系方程是：

9确定圆需三个独立的条件

（1）标准方程： ，

 （2）一般方程：，（

题型讲解

例1  (1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;

(2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程

解：(1)设圆心P(x0,y0),则有,

解得  x0=4, y0=5,  

∴半径r=,

∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10

(2)采用一般式,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：D=─2, E=─4, F=0

点评：第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式

例2 设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹

分析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题

解：设动点P的坐标为（x，y），

由=a（a>0）得=a，

化简，得

（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0

当a=1时，方程化为x=0

当a≠1时，方程化为 =

所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；

当a≠1时，点P的轨迹是以点（c，0）为圆心，||为半径的圆

点评：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求同时也考查了分类讨论这一数学思想

例3   一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程

分析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形

解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，

故设圆方程为

又因为直线y=x截圆得弦长为2，

则有+=9b2，

解得b=±1故所求圆方程为

或

点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数

例4 已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程

分析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？

解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系

设动圆圆心为M（x，y），

⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|

∵AB为⊙O的直径，

∴MO垂直平分AB于O

由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，

而|MC|=|y+3|，

∴=|y+3|

化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程

点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”

例5 已知y轴右侧一动圆与一定圆外切，也与y轴相切

   （1）求动圆圆心M的轨迹C；

   （2）过点T（－2，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，求一点，使得 是以点E为直角顶点的等腰直角三角形

解（1）由题意知动点M到定点（2,0）与到定直线的距离相等，则动点M的轨迹是以定点（2,0）为焦点，定直线为准线的抛物线所以点M的轨迹方程为

 又点M在原点时，圆并不存在，所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（2，0）为焦点的抛物线，除去原点

（2）设直线   ①

 设①的两个实数根，由韦达定理得

，

 所以，线段AB的中点坐标为

 而

轴上存在一点E，使△AEB为以点E为直角顶点的等腰直角三角形，

∴，且

直线EF的方程为：

令得E点坐标为，则

所以  

解之得 ，则E点坐标为（10,0）

例6  已知圆C的圆心在直线x─y─4=0上,并且通过两圆C1:x2+y2─4x─3=0和C2:x2+y2─4y─3=0的交点,(1)求圆C的方程;  (2)求两圆C1和C2相交弦的方程

解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为：x2+y2─4x─3+λ(x2+y2─4y─3)=0,

即  (1+λ)(x2+y2)─4x─4λy─3λ─3=0,

即  =0,

圆心为 (,),

由于圆心在直线x─y─4=0上,

∴──4=0,  解得   λ=─1/3

所求圆的方程为：x2+y2─6x+2y─3=0

(2)将圆C1和圆C2的方程相减得：x+y=0,此即相交弦的方程

点评：学会利用圆系的方程解题

例7  求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x─4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程

解法一：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此二交点为直径端点的圆，于是

解方程组

得交点A(─11/5,2/5), B(─3,2),利用圆的直径式方程得:

(x+11/5)(x+3) +(y─2/5)(y─2)=0,

化简整理得   (x+13/5)2+(y─6/5)2=4/5

解法二:  (运用曲线系方程)设过直线与用圆的交点的圆的方程为

x2+y2+2x─4y+1+λ(2x+y+4)=0,

即   (x+λ+1)2+(y+)2=

要使圆面积最小，必须半径最小，

由于r===,

当且仅当=8/5时，r最小

故所求圆的方程是   (x+13/5)2+(y─6/5)2=4/5

例8  求圆关于直线的对称圆方程

解：圆方程可化为, 圆心O(-2,6),半径为1

设对称圆圆心为，则O‘与O关于直线对称，

因此有解得

 所求圆的方程为

点评：圆的对称问题可以转化为点(圆心)的对称问题，由对称性质知对称圆半径相等

例9  设方程，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程

解：配方得： 

该方程表示圆，则有

，得，

此时圆心的轨迹方程为   ，消去m，得，

由得x=m+3

 所求的轨迹方程是，

点评：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中

例10  已知圆x2+y2=16,A（2，0），若P,Q是圆上的动点，且，求PQ中点的轨迹方程

解：设PQ中点M的坐标为（x,y），由已知圆的参数方程，

可设，，

---------------（1）

又，，，

化简得

代入（1）式，得   ，

所以所求轨迹方程为

小结：

1不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F）的值需要确定，因此需要三个独立的条件利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值

2求圆的方程的一般步骤：

（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；

（2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；

（3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程

3解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题

学生练习

1方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是

A－1<t<    B－1<t<   C－<t<1    D1<t<2

解：由D2+E2－4F>0，得7t2－6t－1<0，即－<t<1

答案：C

2点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是

A｜a｜＜1    Ba＜    C｜a｜＜    D｜a｜＜

解：点P在圆（x－1）2+y2=1内部（5a+1－1）2+（12a）2＜1｜a｜＜

答案：D

3已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0），下列结论错误的是

A当a2+b2=r2时，圆必过原点 B当a=r时，圆与y轴相切

C当b=r时，圆与x轴相切   D当b<r时，圆与x轴相交

解：已知圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，当b<r时，圆心到x轴的距离为|b|，只有当|b|<r时，才有圆与x轴相交，而b<r不能保证|b|<r，故D是错误的故选D

答案：D

4．圆的圆心和半径分别是（     ）

A  (2,-1),    B  (2,-1), 5   C  (-2,1),    D  (-2,1), 5

答案: A 

5．点（1，1）在圆的内部，则a的取值范围是（     ）

A ,  B ,  C  或  D 

答案: A

6．已知直线ax+by+c=0 ()与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为的三角形（  ）

A  是锐角三角形     B 是直角三角形    C 是钝角三角形   D 不存在

答案:  B

7．与y2的系数相同,且不等于零,并且没有xy这样的项是二元二次方程表示圆的（    ）

A 必要条件  B充分条件  C充分且必要条件  D既不充分也不必要条件

答案:  A

8．方程表示一个圆，则m的取值范围是（  ）

A        B       C       D 

答案: C

9．已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是（     ）

A．  B

C       D

答案: D

10．圆的圆心在x轴上，半径r=2， 且D>E，则D=（   ）

A               B            C   1         D    2

答案: D

11．M（3，0）是圆内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是（      ）

A           B      

C        D  

答案: B

12．过点C(-1，1)和D（1，3），圆心在x轴上的圆的方程是______

答案:  （x-2）2+y2=10

13方程表示的曲线是___________

答案：两个半圆

14．已知圆C的圆心在直线上，与直线相切，且截直线所得弦长为6，则圆C的方程：_____

（答案：）

15．过点A（1，2）和B（1，10）且和直线相切的圆方程为_________

答案: （x-3）2+（y-6）2=80或（x+7）2+（y-6）2=80

16．圆 上到直线的距离等于1的点有_____个

答案: 2

17．已知BC是圆的弦，且，则BC的中点的轨迹方程是____________

答案: x2+y2=16

18圆关于点（1，1）的对称圆方程是______

答案: （x-4）2+（y+4）2=40-3q

19圆关于y轴对称的圆的方程是_____

答案:

20将圆x2+y2=1按向量平移得到圆（x+1）2+（y－2）2=1，则的坐标为____

解：由向量平移公式即得=（－1，2）

答案：（－1，2）

21已知P（1，2）为圆x2+y2=9内一定点，过P作两条互相垂直的任意弦交圆于点B、C，则BC中点M的轨迹方程为____________

解：Rt△OMC中，|MP|=|BC|（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）

故所求轨迹方程为x2+y2－x－2y－2=0

答案：x2+y2－x－2y－2=0

22．已知直线与x轴和y轴分别交于A，B ，求以线段AB为直径的圆的方程

答案: （x+1）2+（y-2）2=5

23 直线y=k（x-3）+4与曲线有一个交点，求实数k的取值范围

解：直线y=k（x-3）+4过定点P（3，4），曲线

化为x2+（y-1）2=4,因为A（2,1）,B（-2,1）

所以可得，又设lPC: y-4=k（x-3）即kx-y+4-3k=0,

由得或（舍）

综上所述，所求实数k 的取值范围是：或

24方程表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程

解：原方程可化为

当a时，原方程表示圆

又

当，所以半径最小的圆方程为

课前后备注