人教版新课标A必修24.1 圆的方程学案

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《直线与圆的方程》复习指导（二）一  热点剖析直线与圆是最基本的图形，有关直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题型在考试中出现较多．空间直角坐标系及空间两点之间的距离常与空间向量结合出现．与圆有关的应用问题也是考查的热点，既有基本知识的应用，又有综合运用知识分析问题、解决问题的综合应用．二  圆的方程1．确定圆的方程的条件圆的标准方程中，有三个参数，只要求出，圆的方程就被确定．因此确定圆方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于的方程组求，或直接求出圆心和半径，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为；（2）根据已知条件，建立关于的方程组；（3）解方程组．求出的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．2．点与圆的位置关系若，则点在圆上；若，则点在圆外；若，则点在圆内．3．二元二次方程是否表示圆的条件先将二元二次方程配方，得　　（）（1）当时，方程（）表示以为圆心，为半径的圆；（2）当时，方程（）表示点；（3）当时，方程（）没有实根，因此它不表示任何图形．当方程（）表示圆时，我们把它叫做圆的一般方程，确定它需要三个独立条件，且，这就确定了求圆的方程的方法――待定系数法．注意：用待定系数法求圆的方程，用一般形式比用标准形式在运算上简单，前者解的是三元一次方程组，后者解的是三元二次方程组．4．直线与圆的位置关系有三种，即相交、相切和相离，判定的方法有两种（1）代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究．若有两组不同的实数解，即，则相交；若有两组相同的实数解，即，则相切；若无实数解，即，则相离．（2）几何法：由圆心到直线的距离与半径的大小来判断：当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离．注意：为避免运算量过大，一般不用代数法，而是用几何法．5．直线与圆相切，切线的求法（1）当点在圆上时，切线方程为；（2）当点在圆上，则切线方程为；（3）斜率为且与圆相切的切线方程为．提示：斜率为且与圆相切的切线方程的求法，可以设切线为，然后变成一般式，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求．（4）点在圆外，则设切线的方程为，变成一般式后，利用圆心到直线的距离等于半径，解出，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，不要忽略．6．圆与圆的位置关系　从交点个数，也就是方程组的解的个数来判断，有时得不到确切的结论．比如两圆只有一个交点时，虽然相切，但是是外切还是内切就很难分清楚．所以判断两圆的位置关系．通常还是从圆心距与两圆半径的关系下手，设两圆的圆心分别为，半径分别为，圆心距，则两圆相离；两圆外切；两圆相交；两圆内切；两圆内含；两圆是同心圆．　7．直线和圆的方程的应用　用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后对坐标和方程进行代数运算，最后把代数运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”．　第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素．将平面几何问题转化为代数问题．　第二步：通过代数运算，解决代数问题．　第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论． 三  空间直角坐标系1．空间直角坐标系的建立（1）在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置；在坐标平面上，一对有序实数）才能确定一个点的位置；在空间确定一个点的位置需要三个实数，如要确定一架飞机在空中的位置，我们不仅要指出地面的经度、纬度，还需要指出飞机距地面的高度．如右图，是单位正方体，以为原点，分别以射线的方向为正方向，以线段的长为单位长，建立三条数轴：轴、轴、轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，轴、轴、轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面、平面．（2）在平面上画空间直角坐标系时，一般使．2．空间直角坐标系中点的坐标如右图，设为空间一个定点，过分别垂直于轴、轴、轴的平面，依次交轴、轴、轴于点．设点和在轴、轴和轴上的坐标分别为，那么点就对应唯一的有序数组，记作．其中也可称为点的坐标分量．反之，任意三个实数的有序数组，就能确定空间一个点与之对应．我们可以在轴、轴、轴上依次各取坐标为的点，分别过各作一个平面，分别垂直于轴、轴、轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组确定的点．这样，我们就在空间任意一点与一个有序实数组（点的坐标）之间建立起了一一对应的关系．其中叫做点的横坐标，也叫点的坐标；叫做点的纵坐标，也叫点的坐标；叫做点的竖坐标，也叫点的坐标．平面（通过轴和轴的平面）是坐标形如的点构成的点集，其中为任意实数；平面（通过轴和轴的平面）是坐标形如的点构成的点集，其中为任意实数；平面（通过轴和轴的平面）是坐标形如的点构成的点集，其中为任意实数．轴是坐标形如的点构成的点集，其中为任意实数；轴是坐标形如的点构成的点集，其中为任意实数；轴是坐标形如的点构成的点集，其中为任意实数．3.空间两点间的距离公式是平面两点间的距离公式的推广式，推导原理是直角三角形中的勾股定理空间任意一点到原点的距离．空间任意两点之间的距离．