高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合与测试导学案

§3.3.2两点间的距离

【教学目标】

1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.

2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.

3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.

【重点难点】

教学重点：①平面内两点间的距离公式.

　　          ②如何建立适当的直角坐标系.

教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.

【教学过程】

一、导入新课、展示目标

问题   已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?

二、检查预习、交流展示

    核对课前预习中的答案。1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。

三、合作探究、精讲精练

探究一  平面内两点间的距离公式

问题   (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?

(2)求B(3，4)到原点的距离.

(3)设A(x1,y1)，B(x2, y2)，求|AB|.

教师  ①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?

②求点B(3，4)到原点的距离.

③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.

④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).

学生 回答 ①|AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|.

②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.

③

图1

    在直角坐标系中，已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如图1,从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q.

    在Rt△P1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2.

    因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|，

    所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.

    由此得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|=

教师 ④(a)我们先计算在x轴和y轴两点间的距离.

(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.

(c)猜想了任意两点间距离公式.

(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.

    这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!

应用示例

例1  如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.

图2

解:设B(x，3)，根据|AB|=13，

即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.

点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.

变式训练1

课本106页练习第一题

例2  已知点A(-1，2)，B(2，)，在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

解:设所求点P(x，0)，于是有.

由|PA|=|PB|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.

即所求点为P(1，0),且|PA|==2.

点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。

变式训练2

课本106页练习第二题.

探究二  建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题

例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

解析：首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系。

这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。

     证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。

设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为

所以，

,

所以，

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

点评 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：

第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。

第二步：进行有关代数运算。

第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。

思考：同学们是否还有其它的解决办法？

还可用综合几何的方法证明这道题。

变式训练：已知0＜x＜1,0＜y＜1,求使不等式

≥2中的等号成立的条件.

解析：此题需要学生将不等式转化为平面内两点间的距离问题来研究。数形结合。

答案：x=y=

点评：强调数形结合，转化划归来解决问题。建立适当的直角坐标系，来解决问题很有必要。

当堂检测

导学案当堂检测

课堂小结

通过本节学习，要求大家:

①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；

②能灵活运用此公式解决一些简单问题；

③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.

【板书设计】

一、两点间距离公式

二、例题

例1

变式1

例2

变式2

例3

变式3

   【作业布置】

　　课本习题3.3 必做题 A组6、7、8；

　　　　　　　　选做题B组6.

及　导学案课后练习与提高　　

 § 3.3.2两点间的距离

课前预习学案

一、预习目标

1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.

2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.

3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.

二、预习内容

（一）巩固所学

    1．直线，无论取任意实数，它都过点                 .

2．若直线与直线的交点为，则                       .

（二）探索新知，提出疑惑

预习教材P104~ P106，找出疑惑之处

三．提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中

    并回答下列问题：  

1.已知平面上两点，则｜P1P2｜ =  （         ）.

特殊地：与原点的距离为 ｜P1P2｜=  （          ）.

   2.特别地，当P1P2平行于x轴时，｜P1P2｜= （         ）；

    当P1P2平行于y轴时，｜P1P2｜=（         ）

课内探究学案

一、学习目标

1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.

2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.

3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.

学习重点：①平面内两点间的距离公式.

　　          ②如何建立适当的直角坐标系.

学习难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题

二、学习过程

问题   已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?

探究一  平面内两点间的距离公式

问题   (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?

(2)求B(3，4)到原点的距离.

(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.

（4）同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程)

得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|=

例1  如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.

图2

变式训练1

课本106页练习第一题

例2  已知点A(-1，2)，B(2，)，在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

变式训练2

课本106页练习第二题.

探究二  建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题

例3证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

上述解决问题的基本步骤学生归纳如下：

思考：同学们是否还有其它的解决办法？

还可用综合几何的方法证明这道题。

变式训练：已知0＜x＜1,0＜y＜1,求使不等式

≥2中的等号成立的条件.

学习小结

1.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.

当堂检测

1.在x轴上求一点P，使P点到A(-4，3)和B(2，6)两点的距离相等.

2.求在数轴上，与两点A(-1,3),B(2,4)等距离的点的坐标.

3.已知三点A(3，2)、B(0，5)、C(4，6)，则△ABC的形状是(    )

A.直角三角形                                B.等边三角形

C.等腰三角形                                D.等腰直角三角形

4.以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的△ABC的形状是(    )

A.直角三角形                                B.等边三角形

C.等腰三角形                                D.等腰直角三角形

参考答案

1. 解:设点P坐标为(x,0)，由P点到A(-4，3)和B(2，6)两点的距离相等及两点间的距离公式，可得x=，即点P坐标为(,0).

2.答案：(,0)或(0,5).

3.解:由两点间的距离公式，可得|AB|=≠|BC|=|CA|=，故选C.

答案：C

4.答案：C

　　　　　　　　　　课后巩固练习与提高

1.点M(x,)、N(y,)之间的距离为(    )

A.|x+y|                B.x+y                  C.|x-y|               D.x-y

    2.光线从点A(-3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为(    )

A.                 B.                C.              D.

3.已知A(3，-1)、B(5，-2)，点P在直线x+y=0上，若使｜PA｜+｜PB｜取最小值，则P点坐标是(    )

A.(1，-1)             B.(-1，1)            C.()             D.(-2，2)

4.已知A(1，3)、B(5，-2)，点P在x轴上，则使｜AP｜-｜BP｜取最大值的点P的坐标是(    )

A.(4，0)                  B.(13，0)              C.(5，0)               D.(1，0)

5.已知A(a，3)、B(3，3a+3)两点间的距离是5，则a的值为_____________.

6.以A(-1，1)、B(2，-1)、C(1，4)为顶点的三角形是______________三角形.

7.已知△ABC的顶点坐标为A(3，2)，B(1，0)，C(，)，则AB边上的中线CM的长为_____________________.

8.若2a-b=3，求证：三点A(-2，3)、B(3，a)、C(8,b)在一条直线上.

9.如图3-3-3，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，试证明AE=CD.

图3-3-3

10.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.

参考答案

1．思路解析: 思路解析:考查平面上两点间距离公式.

MN==|x+y|.

故选A.

2. 思路解析:直接求本题较为麻烦，可以通过对称问题求解.A(-3,5)关于x轴的对称点

A′(-3，-5)，则｜A′B｜即为所求，由两点间距离易求得｜A′B｜=.

答案:C

3. 思路解析:点A(3，-1)关于直线x+y=0的对称点为A′(1，-3)，连结A′B与直线x+y=0的交点即为所求的点，直线A′B的方程为y+3=(x-1)，即y=，与x+y=0联立,解得x=，y=.

答案:C

4. 思路解析:点A(1，3)关于x轴的对称点为A′(1，-3)，连结A′B交x轴于点P，

即为所求.直线A′B的方程是y+3=(x-1)，即y=.令y=0，得x=13.

答案:B

5. 思路解析:由两点间距离公式得｜AB｜=，解之,可得a=-1或.

答案:-1或

 6.

   思路解析:本题主要是考查平面上两点间距离公式和三角形形状的判断.目前，判断三角形的形状主要是利用三角形的三边关系.而知道三角形的三个顶点求三角形的三边，主要是利用平面上两点间的距离公式.

由两点间的距离公式可得|AB|=.

同理可得|AC|=，|BC|=.

所以|AB|=|AC|.

又AB2+AC2=BC2=26，所以△ABC为等腰直角三角形.

答案:等腰直角

7.

答案: 思路解析:由中点公式得AB的中点的坐标为M(2，1).

由两点间的距离公式，有|CM|=.

∴AB边上的中线CM的长为.

答案:

9.思路解析:本题是证明两线段的相等问题，可以通过坐标法来证，这就需要根据图形的特征建立直角坐标系，得出相关点的坐标，通过两点间距离公式证明相等.

解:以B为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，设等边△ABD和△BCE的边长分别为2a和2b，于是可得相关各点坐标：B(0，0)，A(-2a,0)，C(2b,0)，D(-a,)，E(b,),由两点间的距离公式，则|AE|=，

|CD|=，所以|AE|=|CD|

10.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.

思路解析:根据题意，可将问题用数学表达式写出：已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB.

求证：对角线AC=BD.

所以考虑建立适当的直角坐标系，得出相关点的坐标，利用两点间距离公式证明.

解:设等腰梯形ABCD中，AB∥CD，并设其上、下底边长和高分别为2a、2b和ｃ，建立如图所示直角坐标系，以下底AB中点O为坐标原点，以线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建系，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB.

可设A(-a，0)，B(a，0)，D(-b，c)，C(b，c)，

则由两点间距离公式得｜AC｜=，

｜BD｜=，∴|AC|=｜BD｜，即等腰梯形两对角线长相等.