高中数学人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质导学案及答案

§2.3.2 平面与平面垂直的判定

学习目标

1. 理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小；

2. 理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；

3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P67~ P69，找出疑惑之处）

复习1：⑴若直线垂直于平面，则这条直线________

平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为_________________________________________

___________________________________.

复习2：⑴什么是直线与平面所成的角?

⑵直线与平面所成的角的范围为_______________.

二、新课导学

※ 探索新知

探究1：二面角的有关概念

图11-1

问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么?

新知1：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图11-2中的二面角可记作：二面角或或.

图11-2

问题：二面角的大小怎么确定呢？

新知2：如图11-3，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的

叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.

                图11-3

反思：⑴两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？

⑵你觉的二面角的大小范围是多少？

⑶二面角平面角的大小和点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？

探究2：平面与平面垂直的判定

问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？

新知3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图11-4，垂直，记作.

图11-4

问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？

新知4：两个平面垂直的判定定理  一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

反思：定理的实质是什么?

※ 典型例题

例1 如图11-5，是⊙的直径，垂直于⊙

所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，求证：平面平面.

                              图11-5

例2 如图11-6，在正方体中，求面与面

所成二面角的大小（取锐角）.

图11-6

小结：求二面角的关键是作出二面角的平面角.

※ 动手试试

练. 如图11-7，在空间四边形中，

=90°，°，，

⑴求证：平面平面.

⑵求二面角的平面角的正弦值.

图11-7

三、总结提升

※ 学习小结

1. 二面角的有关概念，二面角的求法；

2. 两个平面垂直的判定定理及应用.

※ 知识拓展

   二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面内一点，作于点，再作于，连接，则即为所求平面角.(为什么?)

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（    ）.

  A. 很好   B. 较好   C. 一般   D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 以下四个命题，正确的是（    ）.

 A.两个平面所成的二面角只有一个

 B.两个相交平面组成的图形叫做二面角

 C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个

 D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关

2. 对于直线,平面,能得出的一个条件是（    ）.

 A.  B.

 C.  D.

3. 在正方体中，过的平面与过的平面的位置关系是（    ）.

 A.相交不垂直      B.相交成60°角

 C.互相垂直        D.互相平行

4. 二面角的大小范围是________________.

5. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为_______.

课后作业

1. 如图11-8，面，，设=

，，，求证：

图11-8

2. 如图11-8，在正方体中，是棱与的中点，求面与面所成二面角的正切值.（取锐角）

图11-8