北京四中高一数学同步复习指数函数、对数函数及幂函数 知识讲解《指数与指数幂的运算》提高（人教A版，必修1）

指数与指数幂的运算

编稿：丁会敏   审稿：王静伟     

【学习目标】

1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质

(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；

(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；

(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.

2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；

3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；

4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质．

【要点梳理】

要点一、整数指数幂的概念及运算性质

1．整数指数幂的概念

2．运算法则

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

要点二、根式的概念和运算法则

1．n次方根的定义：

若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.

n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；

n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.

2．两个等式

（1）当且时，；

（2）

要点诠释：

①要注意上述等式在形式上的联系与区别；

②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．

要点三、分数指数幂的概念和运算法则

为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：

要点四、有理数指数幂的运算

1．有理数指数幂的运算性质

(1)

(2)

(3)

当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.

要点诠释：

(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；

(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；

(3)幂指数不能随便约分.如.

2.指数幂的一般运算步骤

有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.

【典型例题】

类型一、根式

例1.计算：（1）；

（2）.

【答案】

【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.

（1）

=+-

=

=||+||-||

=+-（）

=2

        （2）

            =

           =

           =

【总结升华】 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，的分子、分母中同乘以.

举一反三：

【变式1】化简：（1）；

（2）

【答案】（1）；（2）。

类型二、指数运算、化简、求值

例2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：

（1）；（2）；（3）；（4）。

【答案】；；；

【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。

（1）

（2）；

（3）；

（4）解法一：从里向外化为分数指数幂

==

=

=

=

解法二：从外向里化为分数指数幂。

  =

==

=

=

【总结升华】此类问题应熟练应用。当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。

举一反三：

■高清课程：指数与指数运算 例1

【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简

（1）；

【答案】（1）；（2）。

【变式2】把下列根式化成分数指数幂：

（1）；（2）；（3）；（4）。

【答案】；；；

【解析】（1）=；

 （2）；

（3）；

（4）=

    =。

例3.计算：

(1)；

(2)

(3)。

【答案】3；0；2

【解析】(1)原式=；

   (2)原式=；

   (3)原式=-5+6+4--(3-)=2；

【总结升华】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.

举一反三：

【变式1】计算下列各式：

(1)；　　(2).

【答案】(1)112 （2）

【解析】(1)原式=；

(2)原式.

例4.化简下列各式.

(1) ；　　(2)；　　(3).

【答案】；；0.09

【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.

(1)

(2)

(3)

举一反三：

【变式1】化简

【答案】

【解析】应注意到之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，

原式

.

【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.

【变式2】化简下列式子：

(1)  (2)  (3)

【答案】；；

【解析】(1)原式

(2)

∴由平方根的定义得：

(3)

.

■高清课程：指数与指数运算 例4

例5．已知，求的值。

【答案】

【解析】从已知条件中解出的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值。

，，

    ，

=

=

【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值。本题的关键是先求及的值，然后整体代入。

举一反三：

【变式1】(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.

(2)已知x+y=12， xy=9，且x<y，求的值.

【答案】；

【解析】(1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3

(2)

又∵ x+y=12， xy=9， ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.

又 ∵ x<y， ∴x-y=代入(1)式得:.

【总结升华】(1)对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式.

(2)一般不采用分别把x， y， 2x的值求出来代入求值的方法，应先将原式进行分母有理化，并用乘法公式变形，把2x+2-x，x+y及xy整体代入后再求值.

例6．已知，求的值

【答案】

【解析】先把化成，然后利用“整体代换”的方法去求值.

由，所以

=