学易金卷：高二数学上学期期中测试卷02（测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章）

期中测试卷02

（本卷满分150分，考试时间120分钟）

测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．直线恒过一定点，则此定点为(  )。

A、               B、                C、                 D、

【答案】D

【解析】直线可变形为：，若该方程对任意都成立，

则，即，直线恒过点，故选D。

2．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的(  )。

A、充分不必要条件                               B、必要不充分条件

C、充要条件                                     D、既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由，得：，是必要条件，

而“”不一定有，也可能，故不是充分条件，故选B。

3．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若

，则(  )。

A、                   B、                   C、                  D、

【答案】C

【解析】∵，

∴，

则，故选C。

4．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为(  )。

A、                    B、

C、                    D、

【答案】B

【解析】∵两条直线与的距离为，∴所求圆的半径为，

由得，由得，∴直径的两个端点、，

因此圆心坐标，圆的方程为，故选B。

5．在边长为的等边三角形中，于，沿折成二面角后，，此时二面角的大小为(  )。

A、                  B、                 C、                 D、

【答案】C

【解析】就是二面角的平面角，

∵，∴，故选C。

6．已知平面内的角，射线与、所成角均为，则与平面所成角的余弦值是(  )。

A、                B、               C、                 D、

【答案】D

【解析】由三余弦公式知，∴，故选D。

7．在三棱锥中，平面，，，则该棱锥的外接球半径为(  )。

A、                B、               C、                 D、

【答案】A

【解析】由已知建立空间直角坐标系，，，

由平面知识得，设球心坐标为，

则，

由空间两点间距离公式知：，

，

，

解得，，，∴半径为，故选A。

8．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为(  )。

A、    B、               C、              D、

【答案】C

【解析】直线方程变形得：。

由得，∴直线恒过点，

，，由图可知斜率的取值范围为：或，

又，∴或，即或，

又时直线的方程为，仍与线段相交，∴的取值范围为，故选C。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为(  )。

A、                B、                C、                D、

【答案】BC

【解析】若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与、的交点分别为，，

截得的线段的长，符合题意，

若直线的斜率存在，则设直线的方程为，

解得，解得，

由，得，

解得，即所求的直线方程为，

综上可知，所求直线的方程为或，故选BC。

10．已知，和直线：，若在坐标平面内存在一点，使，且点到直线的距离为，则点坐标为(  )。

A、                B、                C、                D、

【答案】BD

【解析】设点的坐标为，线段的中点的坐标为，，

∴的垂直平分线方程为，即，

∵点在直线上，∴，

又点到直线：的距离为，∴，即，

联立可得、或、，∴所求点的坐标为或，

故选BD。

11．定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：(1)，，且、和构成右手系(即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致)；(2)的模(表示向量、的夹角)。

如右图所示，在正方体中，有以下四个结论中，不正确的有(  )。

A、与方向相反

B、

C、与正方体表面积的数值相等

D、与正方体体积的数值相等

【答案】ABD

【解析】对于A、根据向量外积的第一个性质可知与的方向相同，故A错，

对于B、根据向量外积的第一个性质可知与的方向相反，

不可能相等，故B错，

对于C、根据向量外积的第二个性质可知，

则与正方体表面积的数值相等，故C对，

对于D、与的方向相反，则，故D错，

故选ABD。

12．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点。若点在直线上，则下列结论不正确的是(  )。

A、当点为线段的中点时，平面

B、当点为线段的三等分点时，平面

C、在线段的延长线上，存在一点，使得平面

D、不存在点，使与平面垂直

【答案】ABC

【解析】以为原点，、、为轴、轴、轴建系，

由已知可得，，，，，

则，，，，

设平面的法向量为，则，

取，则，，则，

设在直线上存在一点，使得平面，

设则，且，

，则，，，

则，若平面，则与共线，

则，此时无解，故不存在点，使得平面，故选ABC。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知是空间任一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面，且满足

，则        。

【答案】

【解析】∵，∴，

∵是空间任一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面，

∴，∴。

14．已知，方程表示圆，则圆心坐标是      ，半径是      。（本小题每空2.5分）

【答案】   

【解析】由题意，或，

当时方程为，即，

圆心为，半径为，

当时方程为，不表示圆。

15．已知圆：和点，若顶点()和常数满足：对圆上任意一点，都有，则        。

【答案】

【解析】设，∵，

∴，

任取、代入可得，

，解得，，。

16．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为

，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面成角的正弦值为       。

【答案】

【解析】∵平面的方程为，∴平面的法向量可取，

平面的法向量为，平面的法向量为，

设两平面的交线的方向向量为，

由，令，则直线与平面所成角的大小为，

则。

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

如图所示，已知平行六面体中，各棱长均为，底面是正方形，且，设，，。

(1)用、、表示，并求；

(2)求异面直线与所成的角的余弦值。

【解析】(1)∵，                         2分

∴

，                    4分

∴；                                                           5分

(2)，

则，         7分

又，，

∴，                          9分

∴异面直线与所成的角的余弦值为。                              10分

18．（本小题满分12分）

(1)求与向量共线且满足方程的向量的坐标；

(2)已知，，，求点的坐标使得；

(3)已知，，求：①；②与夹角的余弦值；③确定、的值使得与轴垂直，且。

【解析】(1)∵与共线，故可设，由得：，

故，∴；                                           2分

(2)设，则，，，

∵，

∴，

∴点坐标为；                                                     5分

(3)①，                               6分

②∵，，

∴，

∴与夹角的余弦值为，                                         9分

③取轴上的单位向量，，依题意，

即，故，

解得，。                                                      12分

19．（本小题满分12分）

已知点，点，圆：。

(1)求过点的圆的切线方程；

(2)求过点的圆的切线方程，并求出切线长。

【解析】由题意得圆心，半径，

(1)∵，∴点在圆上，又，    2分

∴切线的斜率，                                                  4分

∴过点的圆的切线方程是，即； 5分

(2)∵，∴点在圆外部，

当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，即，                  6分

又点到直线的距离，即此时满足题意，             7分

∴直线是圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为，      8分

即，

则圆心到切线的距离，解得，                   9分

∴切线方程为，即，                              10分

综上可得，过点的圆的切线方程为或，

∵，∴过点的圆的切线长为。  12分

20．（本小题满分12分）

如图所示，在三棱柱中，，，。

(1)证明：；

(2)若，在棱上是否存在点，使得二面角的大小为。若存在，求的长；若不存在，说明理由。

【解析】(1)证明：连接，∵为平行四边形，且，

∴为菱形，，                                        2分

又∵，∴平面，∴，又∵，

∴平面，∴ ；                                4分

            (2)解：∵，，，∴，

∴、、两两垂直，以为坐标原点，

、、的方向为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，  5分

则、、、、，设，

则，，，

易知，平面，则平面的一个法向量，            7分

设是平面的一个法向量，则，

∴，得，                                   9分

∴，解得，

∴在棱上存在点，当时，得二面角的大小为。    12分

21．（本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，

，平面平面。

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值。

【解析】(1)取的中点，连接，∵，，∴，

∴四边形是平行四边形，                                              2分

∴，又，∴，                                  3分

令，则，，

∴，∴，                                          4分

又平面平面，平面平面，

∴平面，又平面，∴；                         5分

(2)取的中点，连接、，则易知，，

∵平面平面，平面平面，

∴平面，∴，∴、、两两垂直，               6分

故可以以、、所在直线分别、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，

∴、、，               7分

设平面的法向量为，则，即，

∴，令，则，∴为平面的一个法向量，          9分

设直线与平面所成的角为，

则，                                   11分

∴直线与平面所成角的正弦值为。                              12分

22．（本小题满分12分）

如图所示，在多面体中，四边形、、均为正方形，为的中点，过、、的平面交于。

(1)证明：；

(2)求二面角的余弦值。

【解析】(1)证明：由正方形的性质可知，且，                 1分

∴四边形为平行四边形，∴，                          2分

又∵平面，平面，∴平面，          3分

又∵平面，平面平面，∴；      4分

(2)解：∵四边形、、均为正方形，

∴，，且，

以为原点，分别以、、为轴、轴、轴单位正向量，

建立如图所示的空间直角坐标系，                                           6分

可得点的坐标、、、、、，

而点为的中点，∴，                                       7分

设平面的法向量为，

，，则，即，

令，则、，则，                               9分

设平面的一个法向量，

，，则，即，

令，则、，则，                                11分

设二面角的平面角为，经观察为锐角，

∴。                         12分