学易金卷：高二数学上学期期中测试卷01（测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章）

期中测试卷01

（本卷满分150分，考试时间120分钟）

测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1．对于空间任意一点和不共线的三点、、，有如下关系：，则(  )。

A、四点、、、必共面

B、四点、、、必共面

C、四点、、、必共面

D、五点、、、、必共面

【答案】B

【解析】由得：，可得四点、、、必共面，故选B。

2．已知平面、的法向量分别为、且，则的值为(  )。

A、                  B、                  C、                  D、

【答案】A

【解析】由已知得，即，则，故选A。

3．若()，则直线被圆所截得的弦长为(  )。

A、                   B、                 C、                   D、

【答案】D

【解析】∵圆心到直线的距离，

因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于，∴弦长为，故选D。

4．已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为(  )。

A、                  B、                   C、                   D、

【答案】A

【解析】由已知得三条直线必过同一个点，则联立解得这两条直线的交点为，

            代入可得，故选A。

5．直线：(是不等于的整数)与直线的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，那么满足条件的直线有(  )。

A、条                 B、条                 C、条                 D、无数条

【答案】B

【解析】联立，∴，即，，

            ∴或或或，∵，∴值有个，直线有七条，故选B。

6．过点的直线与圆：交于、两点，当时，直线的斜率为(  )。

A、                B、                 C、                D、

【答案】A

【解析】由题意得，则圆心到直线的距离为，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与圆相切，不合题意，舍去，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，

解得，故选A。

7．已知、两点，则直线与空间直角坐标系中的平面的交点坐标为(  )。

A、                 B、                C、                 D、

【答案】B

【解析】设连线与平面的交点为，

∵、、三点共线，则，

则，

则，解得，则，故选B。

8．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆。若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是(  )。

A、                 B、                C、                 D、

【答案】D

【解析】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建系，、，

设，∵，∴，

两边平方并整理得：，

∴面积的最大值是，故选D。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数(  )。

A、                  B、                  C、                   D、

【答案】BD

【解析】∵，∴，解得或，

时，符合，当时，符合，故选BD。

10．已知、、和为空间中的个单位向量，且，可能等于(  )。

A、                   B、                 C、                   D、

【答案】CD

【解析】∵，而，

∴，

又∵、、、是单位向量，且，∴、、一定不共线，

∴，故选CD。

11．给出下列命题，其中不正确的为(  )。

A、若，则必有与重合，与重合，与为同一线段

B、若，则是钝角

C、若，则与一定共线

D、非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面

【答案】ABD

【解析】对于A，考虑平行四边形中，满足，

不满足与重合，与重合，与为同一线段，故A错，

对于B，当两个非零向量、的夹角为时，满足，

但它们的夹角不是钝角，故B错，

对于C，当时，，则与一定共线，故C对，

对于D，考虑三棱柱，、、，

满足与，与，与都是共面向量，但、、不共面，故D错，

故选ABD。

12．已知圆：，过点向圆作切线，切点为，再作斜率为的割线交圆于、两点，则的面积为(  )。

A、                  B、                  C、                D、

【答案】BD

【解析】由题意知，过点作斜率为的割线，

则直线的方程为，

点到直线的距离为，

则弦，

过点作圆的切线，其中一条为轴，切点为轴，

则点到直线的距离，

∴的面积即为的面积，故，

又另一条切线为，设直线的方程为，由题意得，

且点到直线的距离，解得，

则直线的方程为，

与圆的方程联立易得，

点到直线的距离，

故，

综上所述的面积为或，故选BD。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知正方体中，，若，则        ，        。（本小题每空2.5分）

【答案】   

【解析】∵，∴，∴，。

14．已知直线及直线截圆所得的弦长均为，则圆的面积是        。

【答案】

【解析】∵已知的两条直线平行且截圆所得的弦长均为，

∴圆心到直线的距离为两平行直线距离的一半，即，

又直线截圆所得的弦长为，∴圆的半径，∴圆的面积是。

15．如图所示，平行六面体中，，，，则线段的长度是        。

【答案】

【解析】∵，

∴

       ，

∴。

16．已知点是直线：()上的动点，过点作圆：的切线，为切点。若最小为时，圆：与圆外切，且与直线相切，则的值为      。

【答案】

【解析】圆的圆心为，半径为，

当与垂直时，的值最小，此时点到直线的距离为，

由勾股定理得，又，解得，

圆的圆心为，半径为，

∵圆与圆外切，∴，∴，

∵圆与直线相切，∴，解得。

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

如图所示，三棱柱中，、分别是、上的点，且，。设，，。

(1)试用、、表示向量；

(2)若，，，求的长。

【解析】(1)                                   2分

   ；                                   4分

(2)                                   6分

                        ，                           8分

                即，∴。                              10分

18．（本小题满分12分）

过点作直线分别交、轴正半轴于、两点。

(1)当面积最小时，求直线的方程。

(2)当取最小值时，求直线的方程。

【解析】设直线：(，)，∵直线经过点，∴，           2分

(1)，∴，当且仅当，时等号成立，       4分

∴当，时，最小，

此时直线的方程为，即；                                6分

(2)∵，，，

∴，             9分

当且仅当，时等号成立，                                           10分

∴当取最小值时，直线的方程为。                    12分

19．（本小题满分12分）

如图所示，在中，，为边上一点，且，，平面，且。

(1)求证：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值。

【解析】(1)证明：∵，，∴，∴，∴，   1分

又平面，平面，∴，                     2分

又∵平面，，

∴平面，即平面，                                3分

又平面，∴平面平面；                          4分

(2)解：以、、所在射线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则，，则，，，，

∴，，，                        6分

设平面的一个法向量为，∴，∴，

令，则，，∴，                                   9分

设与平面所成的角为，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为。                          12分

20．（本小题满分12分）

已知平行四边形的三个顶点的坐标为、、。

(1)在中，求边中线所在直线方程；

(2)求平行四边形的顶点的坐标及边的长度；

(3)求的面积。

【解析】如图建系，

(1)设边中点为，则点坐标为，                                    1分

∴直线，∴直线的方程为：，             3分

即：，∴边中线所在直线的方程为：；          4分

(2)设点的坐标为，由已知得为线段的中点，

有，解得，∴，                                      6分

又∵、，则；                 8分

(3)由、得直线的方程为：，                         9分

          ∴到直线的距离，∴。 12分

21．（本小题满分12分）

如图1，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点。将沿折起到的位置，如图2。

(1)证明：平面；

(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值。

【解析】(1)证明：在图1中，∵，，是的中点，，∴，

即在图2中，、，                                   1分

又，、平面，平面，            3分

又，∴平面；                                     4分

(2)解：由已知，平面平面，又由(1)知，、，

∴为二面角的平面角，∴，                    5分

如图，以为原点，、、为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，

∵，，

∴、、、，

∴，，，          7分

设平面的法向量，则，即，

令，则、，则，                                 9分

设平面的法向量，则，即，

令，则、，则，                               11分

设平面与平面的夹角的平面角为，

∴。                        12分

22．（本小题满分12分）

如图所示，直四棱柱的底面是菱形，，，，、、分别是、、的中点。

(1)证明：平面；

(2)求二面角的正弦值。

【解析】(1)由题可得，四边形为菱形，且，连接，则，

又∵为的中点，则，∴，即，           2分

又∵平面，平面，平面，

则，，

∴以为原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，  4分

由为中点，为中点，为中点，，，

可得，，，                          5分

则，，，则，，

则，∴，∴，

又∵平面，平面，∴平面；                 7分

(2)由题可得，，，，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

∴，，，，

∴由可得：，

令，则，，则，                                9分

∴由可得：，

令，则，，则，                               11分

设二面角为，则，

则，∴二面角的正弦值为。      12分