学易金卷：高二数学上学期期中测试卷04（测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章、第三章）

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测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章、第三章
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．若双曲线的一个焦点为，则( )。
A、
B、
C、
D、
2．在三棱锥中，平面平面，，，，，，则的长为( )。
A、
B、
C、
D、
3．若点是直线：外一点，则方程表示( )。
A、过点且与垂直的直线
B、过点且与平行的直线
C、不过点且与垂直的直线
D、不过点且与平行的直线
4．已知圆：和两点、，若圆上存在点，使得，则的最小值为( )。
A、
B、
C、
D、
5．若圆上有且仅有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为( )。
A、
B、
C、
D、
6．如图所示，在三棱锥中，平面，是棱的中点，已知，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )。
A、
B、
C、
D、
7．已知、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、()，若的最小值为，则椭圆的离心率为( )。
A、
B、
C、
D、
8．已知双曲线(，)与抛物线()有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，，则双曲线的离心率为( )。
A、
B、
C、
D、
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程为( )。
A、
B、
C、
D、
10．给出下列命题，其中正确的有( )。
A、空间任意三个向量都可以作为一组基底
B、已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底
C、、、、是空间四点，若、、不能构空间的一组基底，则、、、共面
D、已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间的一组基底
11．设抛物线：()的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为( )。
A、
B、
C、
D、
12．我们把离心率为的双曲线(，)称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是( )。
A、双曲线是黄金双曲线
B、若，则该双曲线是黄金双曲线
C、若，则该双曲线是黄金双曲线
D、若，则该双曲线是黄金双曲线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 。
14．如图所示，平面，，，，则二面角的余弦值大小为________。
15．抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于、两点，且满足，点为原点，则的面积为 。
16．如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是 。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知圆上一定点，为圆内一点，、为圆上的动点。
(1)求线段中点的轨迹方程；
(2)若，求线段中点的轨迹方程。
18．（本小题满分12分）
已知点，点是圆：上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点。
(1)求点的轨迹方程；
(2)若直线与点的轨迹有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围。
19．（本小题满分12分）
如图所示，已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，，为的中点，为的中点。
(1)证明：直线平面；
(2)求平面和平面所成的锐二面角的余弦值。
20．（本小题满分12分）
已知椭圆：()的左、右顶点分别为、，其离心率，过点的直线与椭圆交于、两点(异于、)，当直线的斜率不存在时，。
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与交于点，试问：点是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由。
21．（本小题满分12分）
如图所示，在多面体中，底面是梯形，，，，底面，，，点为的中点，点在线段上。
(1)证明：平面；
(2)如果直线与平面所成的角的正弦值为，求点的位置。
22．（本小题满分12分）
已知椭圆：()上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上。
(1)求椭圆的方程；
(2)过点任作一条直线，与椭圆交于不同于的、两点，与直线：交于点，记直线、、的斜率分别为、、，求证：。