2013届高三数学复习随堂训练（文科）湖南专版 第6讲《函数的奇偶性与周期性》人教A版必修1B

课时作业(六)B　[第6讲　函数的奇偶性与周期性]

 [时间：35分钟　　分值：80分]

1．[2011·湖北卷]  若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　)

A．ex－e－x  B.(ex＋e－x)

C.(e－x－ex)  D.(ex－e－x)

2．函数f(x)＝x3＋sinx＋1的图象(　　)

A．关于点(1,0)对称  B．关于点(0,1)对称

C．关于点(－1,0)对称  D．关于点(0，－1)对称

3．[2011·陕西卷]  设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是(　　)

图K6－1

4．[2010·江苏卷]  设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．

5．[2011·永州一中模拟] 下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是(　　)

A．f(x)＝ln  B．f(x)＝－|x＋1|

C．f(x)＝(ax＋a－x)  D．f(x)＝sinx

6．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝(　　)

A．{x|x＜－2或x＞4}  B．{x|x＜0或x＞4}

C．{x|x＜0或x＞6}  D．{x|x＜－2或x＞2}

7．[2011·怀化模拟] 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2011)＋f(2013)的值为(　　)

A．－1  B．1

C．0  D．无法计算

8．关于函数f(x)＝lg(x∈R，x≠0)，有下列命题：

①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；

②在区间(－∞，0)上，f(x)是减函数；

③函数y＝f(x)的最小值是lg2；

④在区间(－∞，0)上，f(x)是增函数．

其中正确的是(　　)

A．①②  B．②④  C．①③   D．③

9．[2011·长沙周南中学模拟] 设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f＝(　　)

A．0  B．1

C．－1  D．2

10．设a为常数，f(x)＝x2－4x＋3，若函数f(x＋a)为偶函数，则a＝________；f[f(a)]＝________.

11．[2011·合肥模拟]  设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f的所有x之和为________．

12．(13分)设函数f(x)＝是奇函数(a，b，c都是整数)，且f(1)＝2，f(2)<3，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．

(1)求a，b，c的值；

(2)当x<0时，f(x)的单调性如何？证明你的结论．

13．(12分)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足：①∀x，y∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)>0，且f(2)＝1.

(1)试判断函数f(x)的奇偶性；

(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；

(3)求函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；

(4)求不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集．

课时作业(六)B

【基础热身】

1．D　[解析] 因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x.又因为f(x)＋g(x)＝ex，所以g(x)＝.

2．B　[解析] 令g(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，则g(x)为奇函数，所以g(x)的图象关于原点(0,0)对称，当x＝0时，有f(0)－1＝0，此时f(0)＝1，所以对称中心为(0,1)．

3．B　[解析] 由f(－x)＝f(x)可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可以结合选项排除A、C，再利用f(x＋2)＝f(x)，可知函数为周期函数，且T＝2，必满足f(4)＝f(2)，排除D，故只能选B.

4．－1　[解析] 设g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋ae－x为奇函数．又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.

【能力提升】

5．A　[解析] y＝sinx与y＝ln为奇函数，而y＝(ax＋a－x)为偶函数，y＝－|x＋1|是非奇非偶函数．y＝sinx在[－1,1]上为增函数．故选A.

6．B　[解析] ∵f(x)＝2x－4(x≥0)，∴令f(x)＞0，得x＞2.又f(x)为偶函数且f(x－2)＞0，∴f(|x－2|)＞0，∴|x－2|＞2，解得x＞4或x＜0，∴{x|x＜0或x＞4}．

7．C　[解析] 由题意得g(－x)＝f(－x－1)，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2011)＝f(3)＝f(－1)，f(2013)＝f(1)．又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2011)＋f(2013)＝0.

8．C　[解析] 由函数f(x)的定义域为∪，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当x>0时，f(x)＝lg＝lg≥lg2，函数f(x)在，上为减函数，在，上为增函数．故①③正确．

9．A　[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.又因为y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f＝0.于是f＝－f＝0，故选A.

10．2　8　[解析] 由题意得f(x＋a)＝(x＋a)2－4(x＋a)＋3＝x2＋(2a－4)x＋a2－4a＋3，因为f(x＋a)为偶函数，所以2a－4＝0，a＝2.f[f(a)]＝f[f(2)]＝f(－1)＝8.

11．－8　[解析] ∵f(x)是偶函数，f(2x)＝f，

∴f(|2x|)＝f，

又∵f(x)在(0，＋∞)上为单调函数，

∴|2x|＝，

即2x＝或2x＝－，

整理得2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋1＝0，

设方程2x2＋7x－1＝0的两根为x1，x2，方程2x2＋9x＋1＝0的两根为x3，x4.

则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－＋＝－8.

12．[解答] (1)由f(1)＝2，得＝2，由f(2)<3，得<3.∵函数f(x)是奇函数，∴函数f(x)的定义域关于原点对称．又函数f(x)的定义域为，

则－＝0，∴c＝0，于是得f(x)＝＋，且＝2，<3，∴<3，即0<b<.

又b∈Z，∴b＝1，则a＝1.

a＝1，b＝1，c＝0符合f(x)在(1，＋∞)上单调递增．

(2)由(1)知f(x)＝x＋.已知函数f(x)是奇函数，且在(1，＋∞)上单调递增，根据奇函数的对称性，可知f(x)在(－∞，－1)上单调递增；

以下讨论f(x)在区间[－1,0)上的单调性．

当－1≤x1<x2<0时，f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)·，显然x1－x2<0,0<x1x2<1,1－<0，

∴f(x1)－f(x2)>0，

∴函数f(x)在[－1,0)上为减函数．

综上所述，函数f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数．

【难点突破】

13．[解答] (1)令x＝y＝1，则f(1×1)＝f(1)＋f(1)，得f(1)＝0；再令x＝y＝－1，则f[(－1)·(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，得f(－1)＝0.对于条件f(x·y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，所以f(－x)＝f(x)．又函数f(x)的定义域关于原点对称，所以函数f(x)为偶函数．

(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则有>1.又∵当x>1时，f(x)>0，∴f>0.又f(x2)＝f＝f(x1)＋f>f(x1)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(3)∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，又f(2)＝1，∴f(4)＝2.又由(1)(2)知函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数，∴函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)＝f(－4)＝2.

(4)∵f(3x－2)＋f(x)＝f[x(3x－2)]，4＝2＋2＝f(4)＋f(4)＝f(16)，∴原不等式等价于f[x(3x－2)]≥f(16)．又函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又等价于|x(3x－2)|≥16，即x(3x－2)≥16或x(3x－2)≤－16，解得x≤－2或x≥，∴不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集为.