数学必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质当堂检测题
展开课时作业(四十四)A [第44讲 直线、平面垂直的判定与性质]
[时间:45分钟 分值:100分]
1.已知p:直线a与平面α内无数条直线垂直,q:直线a与平面α垂直.则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.[2011·温州十校联考] 若m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则以下命题正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥n,m⊥α,则n⊥α
C.若m∥β,α∥β,则m∥α D.若α∩β=m,m⊥n,则n⊥α
3.给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是( )
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④
4.以等腰直角三角形斜边上的高为棱,把它折成直二面角,则折后两条直角边的夹角为________.
5.[2011·浙江卷] 下列命题中错误的是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
6.正方体ABCD-A′B′C′D′中,E为A′C′的中点,则直线CE垂直于( )
A.A′C′ B.BD C.A′D′ D.AA′
图K44-1
7.如图K44-1,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在平面,那么( )
A.PA=PB>PC B.PA=PB<PC C.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC
8.[2011·西安模拟] 在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
9.[2011·淮南一模] 给出命题:
(1)在空间里,垂直于同一平面的两个平面平行;
(2)设l,m是不同的直线,α是一个平面,若l⊥α,l∥m,则m⊥α;
(3)已知α,β表示两个不同平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件;
(4)a,b是两条异面直线,P为空间一点,过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一个平行.
其中正确命题个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10.[2011·扬州模拟] 已知直线l,m,n,平面α,m⊂α,n⊂α,则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)
11.已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,下面有三个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β.则真命题的个数为________.
12.如图K44-2所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
图K44-2
13.如图K44-3所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,过A点作平面A1BD的垂线,垂足为点H,有下列三个命题:
图K44-3
①点H是△A1BD的中心;②AH垂直于平面CB1D1;③AC1与B1C所成的角是90°.
其中正确命题的序号是________.
14.(10分)[2011·广州统考] 如图K44-4,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=4,AB=2DC=2.
(1)求证:BD⊥平面PAD;
(2)求三棱锥A-PCD的体积.
图K44-4
15.(13分)[2011·浙江卷] 如图K44-5,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.
(1)证明:AP⊥BC;
(2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.
图K44-5
16.(12分)[2011·湖南师大附中二模] 如图K44-6,五面体ABCDE中,面BCD⊥面ABC,AC⊥BC,ED∥AC,且AC=BC=2ED=2,DC=DB=,H、F分别是BC、AE的中点.
(1)求证:FH∥面BED;
(2)求异面直线FH与AC所成角的余弦值.
图K44-6
课时作业(四十四)A
【基础热身】
1.B [解析] 由线面垂直的定义,知q⇒p;反之,直线a与平面α内无数条直线垂直,则直线a与平面α不一定垂直,故选B.
2.B [解析] B选项为直线与平面垂直的判定方法:若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面.
3.D [解析] 当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故①不对;由平面与平面垂直的判定可知②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面,故③不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正确.
4.60° [解析] 翻折后,原三角形的三个顶点构成等边三角形.
【能力提升】
5.D [解析] 若平面α⊥平面β,在平面α内与交线不相交的直线平行于平面β,故A正确;B中若α内存在直线垂直于平面β,则α⊥β,与题设矛盾,所以B正确;由面面垂直的性质知选项C正确.由A正确可推出D错误.
6.B [解析] 连接B′D′,
∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′,且A′C′∩CC′=C′,
∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E,
∴B′D′⊥CE.
又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE.
7.C [解析] ∵M为AB的中点,△ACB为直角三角形,∴BM=AM=CM.
又PM⊥平面ABC,
∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,
故PA=PB=PC.
8.C [解析] 如图,取BC中点E,连接DE、AE,依题意知三棱柱为正三棱柱,易得AE⊥平面BB1C1C,故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角.设棱长为1,则AE=,DE=,tan∠ADE===,
∴∠ADE=60°.
9.B [解析] (1)错;(2)正确;(3)“α⊥β”是“m⊥β”的必要条件,命题错误;(4)只有当异面直线a,b垂直时可以作出满足要求的平面,命题错误.
10.充分不必要 [解析] 若l⊥α,则l垂直于平面α内的任意直线,故l⊥m且l⊥n,但若l⊥m且l⊥n,不能得出l⊥α.
11.2 [解析] 对于①,由直线l⊥平面α,α∥β,得l⊥β,又直线m⊂平面β,故l⊥m,故①正确;对于②,由条件不一定得到l∥m,还有l与m垂直和异面的情况,故②错误;对于③,显然正确.故正确命题的个数为2.
12.DM⊥PC(或BM⊥PC等) [解析] 连接AC,则BD⊥AC,由PA⊥底面ABCD,可知BD⊥PA,
∴BD⊥平面PAC,则BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,
而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.
13.①②③ [解析] 由于ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以A-A1BD是一个正三棱锥,因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心,故①正确;又因为平面CB1D1与平面A1BD平行,所以AH⊥平面CB1D1,故②正确;从而可得AC1⊥平面CB1D1,即AC1与B1C垂直,所成的角等于90°,③也正确.
14.[解答] (1)证明:在△ABD中,
∵AD=2,BD=4,AB=2,
∴AD2+BD2=AB2.
∴AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥平面PAD.
(2)过P作PO⊥AD交AD于O.
又平面PAD⊥平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.
∵△PAD是边长为2的等边三角形,∴PO=.
由(1)知,AD⊥BD,在Rt△ABD中,
斜边上的高为h==.
∵AB∥DC,∴S△ACD=CD·h=××=2.
∴VA-PCD=VP-ACD=S△ACD·PO=×2×=.
15.[解答] (1)证明:由AB=AC,D是BC的中点,
得AD⊥BC.
又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC.
因为PO∩AD=O,所以BC⊥平面PAD.
故BC⊥PA.
(2)如图,在平面PAB内作BM⊥PA于M,连接CM,
由(1)中知AP⊥BC,得AP⊥平面BMC.
又AP⊂平面APC,所以平面BMC⊥平面APC.
在Rt△ADB中,AB2=AD2+BD2=41,得AB=.
在Rt△POD中,PD2=PO2+OD2,
在Rt△PDB中,PB2=PD2+BD2,
所以PB2=PO2+OD2+DB2=36,得PB=6,
在Rt△POA中,PA2=AO2+OP2=25,得PA=5,
又cos∠BPA==,
从而PM=PBcos∠BPA=2,所以AM=PA-PM=3.
综上所述,存在点M符合题意,AM=3.
【难点突破】
16.[解答] (1)设CD中点为G,连接FG、GH,
因为ED∥AC,F、G分别为AE、CD的中点,
所以FG∥ED.
因为H、G分别为CB、CD的中点,所以HG∥BD,
所以平面FGH∥平面BED,
所以FH∥面BED.
(2)因为FG∥AC,故∠GFH为异面直线FH与AC所成的角.
因为AC⊥BC,且面BCD⊥面ABC,所以AC⊥面BCD,
故AC⊥GH.
又因为FG∥AC,所以FG⊥GH,
因为FG是梯形ACDE的中位线,
故FG==.
因为GH是△CDB的中位线,故GH==.
在Rt△FGH中可求得FH=2,
所以cos∠HFG==,
即异面直线FH与AC所成角的余弦值为.
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人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质习题: 这是一份人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质习题,共6页。
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