广东省汕头市2020届高三普通高考第二次模拟考试理科数学试题 Word版含答案

2020年汕头市普通高考第二次模拟考试试题

理科数学

第Ⅰ卷选择题

一、选择题：本题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则（）

A.B.C.D.

2．已知，是虚数单位，若，则（）

A.     B.      C.D.

3．数列中，首项，且点在直线上，则数列的前项和等于（）

A. B.     C. D.

4．已知椭圆的离心率为，直线与该椭圆交于、两点，分别过、向轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则等于（）

A.      B.       C.      D.

5．已知非零向量，，若，且，则与的夹角为（）

A.      B.       C.      D.

6．“众志成城，抗击疫情，一方有难，八方支援”，在此次抗击疫情过程中，各省市都派出援鄂医疗队. 假设汕头市选派名主任医生，名护士，组成三个医疗小组分配到湖北甲、乙、丙三地进行医疗支援，每个小组包括名主任医生和名护士，则不同的分配方案有（）

A. 种     B. 种      C. 种     D. 种

7．已知，则“”是“展开式各项系数和为0”的（）

A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件

8．已知函数，则的大致图象为（）

9．如图，在正四棱柱中，，，点为正方形的中心，点为的中点，点为的中点，则（）

A. 、、、四点共面，且.

B. 、、、四点共面，且.

C. 、、、四点不共面，且.

D. 、、、四点不共面，且.

10．梅赛德斯—奔驰（Mercedes – Benz）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化.已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点为圆心，，若在圆内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）

A. B. C. D.

11．已知函数的最小正周期为，若，且，则的最大值为（）

A.      B.       C.      D.

12．若函数，，若有两个零点，则的取值范围为（）

A.      B.       C.      D.

第Ⅱ卷非选择题

二、填空题：本题共小题，每小题分，共分.

13．已知变量，满足约束条件，则的最大值是.

14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作渐近线的一条垂线，若该垂线恰好与以为圆心，为半径的圆相切，则该双曲线的离心率为.

15．已知数列满足，，则的最小值为.

16．已知三校锥的四个顶点在球的球面上，平面，是边长为的正三角形，、、分别是、、的中点，且，则球的表面积为.

三、解答题：共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第题为必考题，每个试题考生都必须作答.第、题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共分.

17．（本小题满分12分）

内角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求角的大小；

（2）是边上一点，且，，求面积的最大值.

18．（本小题满分12分）

如图，在直角中，，，，，分别是，上一点，且满足平分，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面

（1）证明：；

（2）求二面角的正弦值.

19．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，已知是以为底边，且边平行于轴的等腰三角形.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知直线交轴于点，且与曲线相切于点，点在曲线上，且直线，点关于点的对称点为点，试判断点、、三点是否共线，并说明理由.

20．（本小题满分12分）

冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病. 而今年出现的新型冠状病毒（COVID-19）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中感染可导致肺奖、严重急性呼吸综合征、贤衰竭，甚至死亡.

核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为，现有例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.

现有以下三种方案:

方案一：逐个化验；

方案二：四个样本混在一起化验；

方案三: 平均分成两组化验.

在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”.

（1）若，求个疑似病例样本混合化验结果为阳性的概率；

（2）若，现将该例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二, 三中哪个最“优”?

（3）若对例疑似病例样本进行化验，且“方案二”比“方案一”更“优”，求的取值范围.

21．（本小题满分12分）

已知函数，

（1）讨论的单调性；

（2）若，是函数的两个不同零点，证明：.

（二）选考题：共分.请考生在第、题中任选一题作答.如果多做，则按所作的第一题计分.

22．【选修：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为：.

（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）直线与轴、轴分别交于，两点，设点为上的一点，水面积的最小值.

23．【选修：不等式选讲】（本小题满分10分）

已知实数、满足：.

（1）求证：；

（2）若，求的最小值.