人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示随堂练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示随堂练习题，共6页。

[合格基础练]
一、选择题
1．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为( )
A．0,0 B．1,1
C．3,0 D．3,4
D [因为e1与e2不共线，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＝4y－7，,10－y＝2x，))解方程组得x＝3，y＝4.]
2．已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是( )
A．{e1＋e2，e1－e2} B．{3e1－2e2,4e2－6e1}
C．{e1＋2e2，e2＋2e1} D．{e2，e1＋e2}
B [∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线．故应选B.]
3．在△ABC中，点D在BC边上，且eq \(BD,\s\up14(→))＝2eq \(DC,\s\up14(→))，设eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AC,\s\up14(→))＝b，则eq \(AD,\s\up14(→))可用基底a，b表示为( )
A.eq \f(1,2)(a＋b) B.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b
C.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b D.eq \f(1,3)(a＋b)
C [因为eq \(BD,\s\up14(→))＝2eq \(DC,\s\up14(→))，所以eq \(BD,\s\up14(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up14(→)).
所以eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BD,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b.]
4．在△ABC中，eq \(AE,\s\up14(→))＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up14(→))，EF∥BC，EF交AC于F，设eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AC,\s\up14(→))＝b，则eq \(BF,\s\up14(→))等于( )
A．－a＋eq \f(1,5)b B．a－eq \f(1,5)b
C.eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b D.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
A [∵eq \(AE,\s\up14(→))＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up14(→))，∴eq \(BE,\s\up14(→))＝－eq \f(4,5)eq \(AB,\s\up14(→)).
又∵EF∥BC，∴eq \(EF,\s\up14(→))＝eq \f(1,5)eq \(BC,\s\up14(→))＝eq \f(1,5)(eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→)))，
∴eq \(BF,\s\up14(→))＝eq \(BE,\s\up14(→))＋eq \(EF,\s\up14(→))＝－eq \f(4,5)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,5)(eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→)))
＝eq \f(1,5)eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→))＝－a＋eq \f(1,5)b.]
5．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则( )
A.eq \(BO,\s\up14(→))＝－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up14(→))
B.eq \(BO,\s\up14(→))＝eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up14(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up14(→))
C.eq \(BO,\s\up14(→))＝eq \f(5,6)eq \(AB,\s\up14(→))－eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up14(→))
D.eq \(BO,\s\up14(→))＝－eq \f(5,6)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up14(→))
D [如图，D为中点，O为靠近A的三等分点，eq \(BO,\s\up14(→))＝eq \(BA,\s\up14(→))＋eq \(AO,\s\up14(→))＝－eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up14(→))＝－eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→)))＝－eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up14(→))＝－eq \f(5,6)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up14(→)).]
二、填空题
6．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________.
eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b [由a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，由①＋②得e2＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b，代入①可求得e1＝eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b，
所以e1＋e2＝eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b.]
7．若向量a＝4e1＋2e2与b＝ke1＋e2共线，其中e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为________．
2 [∵向量a与b共线，
∴存在实数λ，使得b＝λa，
即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2.
∵e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝4λ，,1＝2λ，))∴k＝2.]
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC，若eq \(DE,\s\up14(→))＝λ1eq \(AB,\s\up14(→))＋λ2eq \(AC,\s\up14(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
eq \f(1,2) [如图，由题意知，D为AB的中点，
eq \(BE,\s\up14(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up14(→))，
所以eq \(DE,\s\up14(→))＝eq \(DB,\s\up14(→))＋eq \(BE,\s\up14(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up14(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→)))＝－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up14(→))，
所以λ1＝－eq \f(1,6)，λ2＝eq \f(2,3)，
所以λ1＋λ2＝－eq \f(1,6)＋eq \f(2,3)＝eq \f(1,2).]
三、解答题
9．如图，平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AD,\s\up14(→))＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝eq \f(1,3)BC，以a，b为基底表示向量eq \(AM,\s\up14(→))与eq \(HF,\s\up14(→)).
[解] 在平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AD,\s\up14(→))＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝eq \f(1,3)BC，
∴eq \(AM,\s\up14(→))＝eq \(AD,\s\up14(→))＋eq \(DM,\s\up14(→))＝eq \(AD,\s\up14(→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up14(→))＝eq \(AD,\s\up14(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up14(→))＝b＋eq \f(1,2)a，
eq \(HF,\s\up14(→))＝eq \(AF,\s\up14(→))－eq \(AH,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BF,\s\up14(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up14(→))＝a＋eq \f(1,3)b－eq \f(1,2)b＝a－eq \f(1,6)b.
10．如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若eq \(OC,\s\up14(→))＝λeq \(OE,\s\up14(→))＋μeq \(OF,\s\up14(→))，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．
[解] 在矩形OACB中，eq \(OC,\s\up14(→))＝eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(OB,\s\up14(→))，
又eq \(OC,\s\up14(→))＝λeq \(OE,\s\up14(→))＋μeq \(OF,\s\up14(→))
＝λ(eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(AE,\s\up14(→)))＋μ(eq \(OB,\s\up14(→))＋eq \(BF,\s\up14(→)))
＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up14(→))＋\f(1,3)\(OB,\s\up14(→))))＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up14(→))＋\f(1,3)\(OA,\s\up14(→))))
＝eq \f(3λ＋μ,3)eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \f(3μ＋λ,3)eq \(OB,\s\up14(→))，
所以eq \f(3λ＋μ,3)＝1，eq \f(3μ＋λ,3)＝1，
所以λ＝μ＝eq \f(3,4).
[等级过关练]
1．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \(OA,\s\up14(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)＋\f(\(AC,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|)))(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
B [eq \f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)为eq \(AB,\s\up14(→))上的单位向量，
eq \f(\(AC,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|)为eq \(AC,\s\up14(→))上的单位向量，则eq \f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|)的方向为∠BAC的角平分线eq \(AD,\s\up14(→))的方向．又λ∈[0，＋∞)，
∴λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)＋\f(\(AC,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|)))的方向与eq \f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)＋eq \f(\(AC,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|)的方向相同．
而eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \(OA,\s\up14(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up14(→)),|\(AB,\s\up14(→))|)＋\f(\(AC,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|)))，
∴点P在eq \(AD,\s\up14(→))上移动，
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．]
2．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：eq \(AM,\s\up14(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up14(→)).则△ABM与△ABC的面积之比为________．
1∶4 [如图，由eq \(AM,\s\up14(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up14(→))可知M，B，C三点共线，
令eq \(BM,\s\up14(→))＝λeq \(BC,\s\up14(→))则eq \(AM,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BM,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→))＋λeq \(BC,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→))＋λ(eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→)))＝(1－λ)eq \(AB,\s\up14(→))＋λeq \(AC,\s\up14(→))⇒λ＝eq \f(1,4)，所以eq \f(S△ABM,S△ABC)＝eq \f(1,4)，即△ABM与△ABC面积之比为1∶4.]