高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算测试题，共5页。

[合格基础练]
一、选择题
1．下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BA,\s\up14(→))＝0；
③eq \(AC,\s\up14(→))＝eq \(DC,\s\up14(→))＋eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BD,\s\up14(→)).
A．②③ B．② C．① D．③
B [②错误，eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BA,\s\up14(→))＝0，①③正确．]
2．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反
A [因为a∥b，且|a|＞|b|＞0，由三角形法则知向量a＋b与a同向．]
3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行eq \r(,3) km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋eq \r(,3))km
B [eq \(AB,\s\up14(→))＝a表示“向东航行1 km，eq \(BC,\s\up14(→))＝b表示“向北航行eq \r(,3) km”，根据三角形法则，
∴eq \(AC,\s\up14(→))＝a＋b，∵tan A＝eq \r(,3)，∴A＝60°，且eq \(AC,\s\up14(→))＝eq \r(,\r(,3)2＋12)＝2，
∴a＋b表示向北偏东30°方向航行2 km.]
4.如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq \(OP,\s\up14(→))＋eq \(OQ,\s\up14(→))＝( )
A.eq \(OH,\s\up14(→)) B.eq \(OG,\s\up14(→))
C.eq \(FO,\s\up14(→)) D.eq \(EO,\s\up14(→))
C [设a＝eq \(OP,\s\up14(→))＋eq \(OQ,\s\up14(→))，以OP，OQ为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝eq \(OP,\s\up14(→))＋eq \(OQ,\s\up14(→))，则a与eq \(FO,\s\up14(→))长度相等，方向相同，所以a＝eq \(FO,\s\up14(→)).]
5．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
A [根据三角形法则可知，a∥b，且a与b方向相同．]
二、填空题
6．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
③ [单位向量不一定相等或相反，也不一定共线，但其模为1，故只有③正确．]
7.如图，在平行四边形ABCD中，eq \(AD,\s\up14(→))＋eq \(AB,\s\up14(→))＝________，eq \(AD,\s\up14(→))＋eq \(DC,\s\up14(→))＝________，eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \(BA,\s\up14(→))＝________.
eq \(AC,\s\up14(→)) eq \(AC,\s\up14(→)) eq \(BC,\s\up14(→))(或eq \(AD,\s\up14(→))) [利用三角形法则和平行四边形法则求解．]
8.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(FE,\s\up14(→))＋eq \(CD,\s\up14(→))|等于________．
2 [正六边形ABCDEF中，eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \(ED,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))＝eq \(AF,\s\up14(→))，∴eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(FE,\s\up14(→))＋eq \(CD,\s\up14(→))＝eq \(ED,\s\up14(→))＋eq \(FE,\s\up14(→))＋eq \(AF,\s\up14(→))＝eq \(AF,\s\up14(→))＋eq \(FE,\s\up14(→))＋eq \(ED,\s\up14(→))＝eq \(AD,\s\up14(→))，∵|eq \(AB,\s\up14(→))|＝1，
∴|eq \(AD,\s\up14(→))|＝2.]
三、解答题
9．如图所示，试用几何法分别作出向量eq \(BA,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CA,\s\up14(→))＋eq \(CB,\s\up14(→)).
[解] 以BA，BC为邻边作▱ABCE，根据平行四边形法则，可知eq \(BE,\s\up14(→))就是eq \(BA,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→)).以CB，CA为邻边作▱ACBF，根据平行四边形法则，可知eq \(CF,\s\up14(→))就是eq \(CA,\s\up14(→))＋eq \(CB,\s\up14(→)).
10．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且eq \(BP,\s\up14(→))＋eq \(CQ,\s\up14(→))＝0.
求证：eq \(AP,\s\up14(→))＋eq \(AQ,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→)).
[证明] ∵eq \(AP,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BP,\s\up14(→))，eq \(AQ,\s\up14(→))＝eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \(CQ,\s\up14(→))，
∴eq \(AP,\s\up14(→))＋eq \(AQ,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \(BP,\s\up14(→))＋eq \(CQ,\s\up14(→)).
又∵eq \(BP,\s\up14(→))＋eq \(CQ,\s\up14(→))＝0，∴eq \(AP,\s\up14(→))＋eq \(AQ,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→)).
[等级过关练]
1．若a＝(eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(CD,\s\up14(→)))＋(eq \(BC,\s\up14(→))＋eq \(DA,\s\up14(→)))，b是任一非零向量，则在下列结论中：
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
正确结论的序号是( )
A．①⑤ B．②④⑤
C．③⑤ D．①③⑤
D [a＝eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→))＋eq \(CD,\s\up14(→))＋eq \(DA,\s\up14(→))＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即①对；0＋b＝b，即②错，③对；④中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即④错，⑤对．故选D.]
2．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→))|＝eq \r(2)，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
D [设线段BC的中点为O，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知
|eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→))|＝2|eq \(AO,\s\up14(→))|，又|eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→))|＝eq \r(2)，
故|eq \(AO,\s\up14(→))|＝eq \f(\r(2),2)，
又BO＝CO＝eq \f(\r(2),2)，
所以△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，
所以△ABC是等腰直角三角形．]