高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课时练习，共5页。

[合格基础练]
一、选择题
1．在△ABC中，若(eq \(CA,\s\up14(→))＋eq \(CB,\s\up14(→)))·(eq \(CA,\s\up14(→))－eq \(CB,\s\up14(→)))＝0，则△ABC( )
A．是正三角形 B．是直角三角形
C．是等腰三角形 D．形状无法确定
C [由条件知eq \(CA,\s\up14(→))2＝eq \(CB,\s\up14(→))2，即|eq \(CA,\s\up14(→))|＝|eq \(CB,\s\up14(→))|，即△ABC为等腰三角形．]
2．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
D [由题意作出示意图，由|F|＝|G|知△AOC，△BOC都是等边三角形，
所以θ＝120°.]
3．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→)))，则|eq \(AP,\s\up14(→))|等于( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D．4
B [设BC边的中点为M，则eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→)))＝eq \(AM,\s\up14(→))，
∴eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(AM,\s\up14(→))＝eq \(OM,\s\up14(→))，
∴P与M重合，
∴|eq \(AP,\s\up14(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(BC,\s\up14(→))|＝1.]
4．若向量eq \(OF1,\s\up14(→))＝(1,1)，eq \(OF2,\s\up14(→))＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(5,0) B．(－5,0) C.eq \r(,5) D．－eq \r(,5)
C [F1＋F2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，则|F1＋F2|＝eq \r(,－22＋－12)＝eq \r(,5).]
5．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A [建立平面直角坐标系，如图所示．设AD＝t(t＞0)，则A(0,0)，C(1，t)，B(2,0)，
则eq \(AC,\s\up14(→))＝(1，t)，eq \(BC,\s\up14(→))＝(－1，t)．
由AC⊥BC知eq \(AC,\s\up14(→))·eq \(BC,\s\up14(→))＝－1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1.]
二、填空题
6．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60 m，若纤绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为________J.
1 500eq \r(3) [所做的功W＝60×50×cs 30°＝1 500eq \r(3)(J)．]
7．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足eq \(OP,\s\up14(→))·eq \(OA,\s\up14(→))＝4.则点P的轨迹方程是________．
x＋2y－4＝0 [eq \(OP,\s\up14(→))·eq \(OA,\s\up14(→))＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，
∴x＋2y－4＝0，故填x＋2y－4＝0.]
8．在四边形ABCD中，已知eq \(AB,\s\up14(→))＝(4，－2)，eq \(AC,\s\up14(→))＝(7,4)，eq \(AD,\s\up14(→))＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
30 [eq \(BC,\s\up14(→))＝eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→))＝(3,6)＝eq \(AD,\s\up14(→)).
又因为eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(BC,\s\up14(→))＝(4，－2)·(3,6)＝0，
所以四边形ABCD为矩形，
所以|eq \(AB,\s\up14(→))|＝eq \r(42＋－22)＝2eq \r(5)，
|eq \(BC,\s\up14(→))|＝eq \r(32＋62)＝3eq \r(5)，
所以S＝|eq \(AB,\s\up14(→))||eq \(BC,\s\up14(→))|＝2eq \r(5)×3eq \r(5)＝30.]
三、解答题
9．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
[解] 设eq \(AD,\s\up14(→))＝a，eq \(AB,\s\up14(→))＝b，则eq \(BD,\s\up14(→))＝a－b，eq \(AC,\s\up14(→))＝a＋b，
而|eq \(BD,\s\up14(→))|＝|a－b|＝eq \r(,a2－2a·b＋b2)＝eq \r(,1＋4－2a·b)＝eq \r(,5－2a·b)＝2，
所以5－2a·b＝4，所以a·b＝eq \f(1,2)，又|eq \(AC,\s\up14(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
所以|eq \(AC,\s\up14(→))|＝eq \r(,6)，
即AC＝eq \r(,6).
10．质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离(g取9.8 N/kg)．
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；
(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？
[解] (1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如图所示．拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF＝F·s＝|F||s|cs 0°＝20(J)．
支持力FN的方向与位移方向垂直，不做功，
所以WN＝FN·s＝0.
重力G对物体所做的功为
WG＝G·s＝|G||s|cs(90°＋θ)＝－19.6(J)．
(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)．
[等级过关练]
1．△ABC中，若动点D满足eq \(CA,\s\up14(→))2－eq \(CB,\s\up14(→))2＋2eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(CD,\s\up14(→))＝0，则点D的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
A [取AB的中点E，则eq \(CA,\s\up14(→))2－eq \(CB,\s\up14(→))2＋2eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(CD,\s\up14(→))＝(eq \(CA,\s\up14(→))＋eq \(CB,\s\up14(→)))·(eq \(CA,\s\up14(→))－eq \(CB,\s\up14(→)))＋2eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(CD,\s\up14(→))＝2eq \(CE,\s\up14(→))·eq \(BA,\s\up14(→))＋2eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(CD,\s\up14(→))＝2eq \(AB,\s\up14(→))·(eq \(CD,\s\up14(→))－eq \(CE,\s\up14(→)))＝2eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(ED,\s\up14(→))＝0，
∴AB⊥ED，即点D在AB的垂直平分线上，
∴点D的轨迹一定通过△ABC的外心．]
2．河水的流速为5 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为( )
A．13 m/s B．12 m/s
C．17 m/s D．15 m/s
A [设小船的静水速度为v1，
河水的流速为v2，
静水速度与河水速度的合速度为v，
为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，
即静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，
静水速度与河水速度的合速度v指向对岸，
即静水速度|v1|＝eq \r(|v|2＋|v2|2)＝eq \r(122＋52)＝13(m/s)．]