人教版新课标A必修24.2 直线、圆的位置关系课后复习题

课时作业(四十六)　[第46讲　直线与圆、圆与圆的位置关系]

[时间：45分钟　　分值：100分]

1．直线x＋y－2＝0被圆(x－1)2＋y2＝1截得的线段的长为(　　)

A．1  B.  C.  D．2

2．从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为(　　)

A．π  B．2π  C．4π  D．6π

3．[2011·哈尔滨九中二模]  已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是(　　)

A．(－2，2)  B．(－，)

C.  D.

4．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的取值集合为(　　)

A．{3}  B．{7}  C．{3,7}  D．{2,7}

5．[2011·山东实验中学二模]  圆2x2＋2y2＝1与直线xsinθ＋y－1＝0的位置关系是(　　)

A．相离  B．相切

C．相交  D．不能确定

6．[2011·重庆卷]  在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)

A．5  B．10  C．15  D．20

7．[2011·吉林一中冲刺]  曲线y＝1＋(|x|≤2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点时，实数k的取值范围是(　　)

A.  B.

C.  D.

8．[2010·江西卷]  直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　)

A.

B.∪[0，＋∞)

C.

D.

9．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是(　　)

A．a2＋2a＋2b－3＝0

B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0

C．a2＋2a＋2b＋5＝0

D．a2－2a－2b＋5＝0

10．[2011·吉林一中冲刺]  在平面直角坐标系xOy中，已知x2＋y2＝4圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．

11．[2010·山东卷]  已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．

12．已知直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，|＋|≥||，那么实数m的取值范围是________．

13．[2011·江苏卷]  设集合A＝，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________．

14．(10分)求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．

15．(13分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线m，使m被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．

16．(12分)已知与圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直线l交x轴，y轴于A，B两点，|OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)．

(1)求证：(a－2)(b－2)＝2；

(2)求线段AB中点的轨迹方程；

(3)求△AOB面积的最小值．

课时作业(四十六)

【基础热身】

1．C　[解析] 圆心到直线的距离d＝＝，

∴弦长l＝2＝.

2．B　[解析] 圆即x2＋(y－6)2＝32，数形结合知所求的圆弧长为圆周长的三分之一，即×(2π)×3＝2π.

3．C　[解析] 圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线方程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，根据点线距离公式得<1，即k2<，解得－<k<.

4．C　[解析] 集合A，B表示两个圆，A∩B中有且仅有一个元素即两圆相切，有内切和外切两种情况，由题意，外切时，r＝3；内切时，r＝7，即r的值是3或7.

【能力提升】

5．A　[解析] 圆心到直线的距离d＝，根据θ的取值范围，0≤sin2θ<1，故d>＝r.

6．B　[解析] 将圆方程配方得(x－1)2＋(y－3)2＝10.

设圆心为G，易知G(1,3)．

最长弦AC为过E的直径，则|AC|＝2.最短弦BD为与GE垂直的弦，如图1－2所示．

易知|BG|＝，|EG|＝＝，

|BD|＝2|BE|＝2＝2.

所以四边形ABCD的面积为S＝|AC||BD|＝10.故选B.

7．A　[解析] 曲线y＝1＋为一个半圆，直线y＝k(x－2)＋4为过定点的直线系，数形结合、再通过简单计算即可．曲线和直线系如图，当直线与半圆相切时，由＝2，解得k＝，又kAP＝，所以k的取值范围是.

8．C　[解析] 直线过定点(0,3)．当直线与圆的相交弦长为2时，由垂径定理定理可得圆心到直线的距离d＝1，再由点到线的距离公式可得＝1，解得k＝±.结合图象可知当直线斜率满足k∈时，弦长|MN|≥2.

9．C　[解析] 即两圆的公共弦必过(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0，将圆心坐标(－1，－1)代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0.

10．(－13,13)　[解析] 直线12x－5y＋c＝0是平行直线系，当圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到该直线的距离等于1时，得保证圆心到直线的距离小于1，即<1，故－13<c<13.

11．x＋y－3＝0　[解析] 由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：

2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直线方程为x＋y－3＝0.

12．(－2，－]∪[，2)　[解析] 方法1：将直线方程代入圆的方程得2x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝4m2－8(m2－2)>0得m2<4，即－2<m<2.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝，|＋|≥||即|＋|≥|－|，平方得·≥0，即x1x2＋y1y2≥0，即x1x2＋(m＋x1)(m＋x2)≥0，即2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2≥0，即2×＋m(－m)＋m2≥0，即m2≥2，即m≥或m≤－.综合知－2<m≤－或≤m<2.

方法2：根据向量加减法的几何意义|＋|≥||等价于向量，的夹角为锐角或者直角，由于点A，B是直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2的交点，故只要圆心到直线的距离大于或者等于1即可，也即m满足1≤<，即－2<m≤－或者≤m<2.

13.≤m≤2＋　[解析] 若m<0，则符合题的条件是：直线x＋y＝2m＋1与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，从而由≤|m|，解之得≤m≤，矛盾；

若m＝0，则代入后可知矛盾；

若m>0，则当≤m2，即m≥时，集合A表示一个环形区域，且大圆半径不小于，即直径不小于1，集合B表示一个带形区域，且两直线间距离为，

从而当直线x＋y＝2m与x＋y＝2m＋1中至少有一条与圆(x－2)2＋y2＝m2有交点，即可符合题意，从而有

≤|m|或≤|m|，解之得≤m≤2＋，

所以综上所述，实数m的取值范围是≤m≤2＋.

14．[解答] 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，

则＝r＋1.①

又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，

故＝.②

＝r.③

解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.

故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.

15．[解答] 设存在直线方程为y＝x＋b满足条件，

代入圆的方程得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，

直线与该圆相交则Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0，解得－3－3<b<－3＋3.

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝，

以AB为直径的圆过原点时，AO⊥BO，即x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，把上面式子代入得b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0，解得b＝－4或b＝1，都在－3－3<b<－3＋3内，故所求的直线是y＝x－4或y＝x＋1.

【难点突破】

16．[解答] (1)证明：圆的标准方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，设直线方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，圆心到该直线的距离d＝＝1，即a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2，即a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0，即ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2.

(2)设AB中点M(x，y)，则a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2，得(x－1)(y－1)＝(x>1，y>1)．

(3)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2＝2(a＋b)≥4，解得≥2＋(舍去≤2－)，当且仅当a＝b时，ab取最小值6＋4，所以△AOB面积的最小值是3＋2.