浙江省杭州地区(含周边)重点中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题含答案

绝密★考试结束前

2021学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学

高二年级数学学科试题

选择题部分

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．直线的倾斜角为

A．  B．  C．       D．    

2．若复数（为虚数单位），则=

A．               B．              C．  D．

3．如图，在四面体中，是棱上靠近的三等分点，分别是的中点，设，，，用，，表示，则

A．     B．

C．             D．

4．两条平行直线和间的距离为，则的值分别为

A．   B． 

C．  D．

5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则一定能使成立的条件是

A．    B． 

C．     D．

6．如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，为圆锥底面圆的直径，是的中点，是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 

A．         B．        

C．      D．        

7．已知平面向量，，，满足，与的夹角为，且，则的最小值为 

A．          B．1     C． D．        

8．在矩形中，，为的中点，将和分别沿翻折，使点与点重合于点，若，则三棱锥的外接球的表面积为

A．  B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．已知直线，其中，下列说法正确的是

A．当时，直线与直线垂直  B．若直线与直线平行，则

C．直线的倾斜角一定大于               D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等

10．圆和圆相交于两点，则有

A．公共弦所在直线方程为    

B．圆上到直线距离等于1的点有2个

C．公共弦的长为      

D．为圆上的一个动点，则到直线距离的最大值为

11．有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则

A．甲与丙相互独立       B．甲与丁相互独立    

C．乙与丙相互独立    D．乙与丁相互独立

12．如图，若正方体的棱长为1，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是

A．沿正方体的表面从点A到点的最短路程为

B．若保持，则点在侧面内运动路径的长度为

C．三棱锥的体积最大值为 

D．若点在上运动，则到直线的距离的最小值为

非选择题部分

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．费马大定理又称为“费马最后定理”，由17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出，他断言当时，关于的方程没有正整数解.他提出此结论后，历经多人猜想辩证，最终在1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．某同学对这个数学问题很感兴趣，决定从1,2,3,4,5,6这6个自然数中随机选一个数字作为方程中的指数，则方程存在正整数解的概率为   ▲  

14．若复数（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则

=   ▲  

15．由10个实数组成的一组数据，方差为，将其中一个数3改为1，另一个数6改为8，其余的数不变，得到新的一组数，方差为，

则   ▲    

16．如右图，在四棱台中，，

，

则的最小值为   ▲  

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本题满分10分）在中，已知角所对应的边分别为，且，

，是线段上一点，且满足.

（Ⅰ）求的面积；

（Ⅱ）求的长.

18．（本题满分12分）第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的众数，平均数和第分位数（分位数精确到0.1）；

（Ⅲ）在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.

19．（本题满分12分）如图，平行六面体中，，

，

（Ⅰ）求对角线的长度；         

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

20．（本题满分12分）已知直线的方程为：，分别交轴，轴于两点，

（Ⅰ）求原点到直线距离的最大值及此时直线的方程；

（Ⅱ）若为常数，直线与线段有一个公共点，求的最小值().

21．（本题满分12分）如图，四棱锥中，，

且，

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的正弦值.

22．（本题满分12分）已知圆的方程为：.

（Ⅰ）已知过点的直线交圆于两点，

若，，求直线的方程；

（Ⅱ）如图，过点作两条直线分别交抛物线于点，并且都与动圆相切，求证：直线经过定点，并求出定点坐标.

 一、单项选择题：本大题共8小题，第小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

二、填空题：每空5分，共20分

13．      14．      15．      16．

17．（本题满分10分）解：

（1）由余弦定理得：,  

=     ------5分

（2）+, =++=     ---10分

18．（本题满分12分）解：

（1）由题意可知：，

解得，，------------------4分

（2）众数：70，平均数等于

第分位数等于-----------9分

（3）根据分层抽样，在和中分别选取4人和1人，则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点个数为10个，即记事件A=“两人来自不同组”，则事件A包含的样本点个数为,所以=  --------------------12分

19．（本题满分12分）解：

（1）求得CD=以向量为基底，,-----2分

平方得==9，

所以=3                    -------6 分

（2）

设二面角C-BD-为，求得所以为等边三角形，取BD中点O，连接

则又------------8分      ,----------------9分

平方得：+2+2+2=，

所以=1，           --------12分

20．（本题满分12分）解：

（1）因为可化为：,

所以直线过定点，所以当时距离最大，最大值为，--------------3分

此时直线的斜率为，即，所以直线方程为：

-------------6分

（2）求得，

---------8分

直线表示不经过原点的任意一条直线，同时与线段AB有且只有一个公共点，

考虑对应的几何意义，因为原点到直线的距离为：，所以，

-------9分

若P是线段AB与直线的公共点，则，

----10分

当时，，当且仅当直线过点B，且与轴垂直时等号成立；

------------11分

当时，，当且仅当直线过点A，且与轴垂直时等号成立；

---------12分

21．（本题满分12分）解：

（1）

，             -----------5分

（2）如图，

平面PAD⊥平面ABCD，PF⊥AD，PF平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

PF⊥平面ABCD----7分

以D为原点，DA,DC的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则C (0,3,0),,), ，

设平面PCD的法向量为，则,求得法向量为  

------10分

由=，所以直线BE与平面PCD所成角的正弦值为

 -----12分

22．（本题满分12分）解：

（1）时，圆C:,

因为，所以可得圆心C到直线的距离        

当直线的方程为：时，符合题意               ------1分

当直线的斜率存在，设直线的方程为：，即=0，由得,

， ------------------3分     解得：，直线

综上：直线的方程为：或            ----------5分

（2）如图

设直线NQ,NP的斜率分别为，则直线NQ：，

++1=0，同理得直线NP：++1=0

由NQ,NP与动圆A相切得：=，       -------------------7分

化简得：,

因为，所以，           ------------8分

联立得，同理：------10分

易得,

则              

化简得：，所以直线过定点----------------12分