期中测试02-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（北师大版2019必修第二册）

期中测试02-2020-2021学年高一年级数学下学期期中专项复习

（北师大2019版）

一、单选题

1．（2020·广西桂林十八中高二月考（文））已知向量，，若，则=（    ）

A．0 B． C．6 D．

【答案】C

【分析】

先建立方程，再求解即可.

【详解】

解：因为向量，，且，

所以，解得：，

故选：C.

【点睛】

本题考查利用向量垂直求参数、向量数量积的坐标表示，是基础题.

2．（2019·东台创新高级中学高一月考）函数的图象是中心对称图形，其中它的一个对称中心是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先利用整体代入法求出函数图象的对称中心是（），再令求解该题.

【详解】

解：令（），解得：（），

所以函数的图象的对称中心是（）

当时，对称中心为，

故选：B

【点睛】

本题考查求三角函数的对称中心，运用了整体代入法，是基础题.

3．（2021·全国高三专题练习）若向量，满足，，则在方向上的投影为（    ）．

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】

设，的夹角为，利用，求解的值即可.

【详解】

设，的夹角为，则 ，则，即在方向上的投影为.

故选：B.

4．（2021·台州市书生中学高一开学考试）函数的图象，可由函数的图象经过下述________变换而得到（　　）.

A．向右平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍

B．向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍

C．向右平移个单位，横坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩小到原来的

D．向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标缩小到原来的

【答案】B

【分析】

先横向平移，再周期变换，最后纵向伸缩变换.

【详解】

向左平移得，

横坐标缩小到原来的 得，

纵坐标扩大到原来的3倍得

故选：B

【点睛】

本题中如果先周期变换，则变换方式如下：

横坐标缩小到原来的得，

向左平移得，

纵坐标扩大到原来的3倍得.

5．（2021·辽宁高一期末）已知为所在平面内一点，，则 （    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

利用平面向量的基本定理结合向量的加减线性运算计算表示.

【详解】

由题意作图，如图所示，因为，所以.

故选：A.

6．（2021·浙江高一单元测试）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据向量的加法减法运算即可求解.

【详解】

依题意，，

故选：B

7．（2021·湖南高三月考（文））下列函数中，同时满足以下两个条件①“，”；②“将图象向左平移个单位长度后得到的图象对应函数为”的一个函数是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先判断出函数的对称性，然后逐项检验即可.

【详解】

因为，

所以关于点成中心对称

对于A，时，，排除；

对于B，时，，排除；

对于C，时，，待进一步检验；

对于D，时，，待进一步检验.

又将图象向左平移个单位长度后得到的图象对应函数为

对于C，平移后，，排除；

对于D，平移后，，正确.

故选：D.

8．（2021·河南高三月考（理））的图象向左平移个单位，恰与的图象重合，则的取值可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先得到平移后的解析式，再将转化为正弦型函数，然后根据两函数图象重合，由求解.

【详解】

的图象向左平移个单位得到，

，

因为的图象平移后与的图象重合，

所以，

解得，

当时，，

故选：D

9．（2021·辽宁高三其他模拟（理））已知向量，是单位向量，若，则与的夹角为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

首先求出、，将两边平方展开结合数量积的定义即可求解.

【详解】

因为，是单位向量，所以，，

，

即，所以，

解得：，因为，所以，

所以与的夹角为，

故选：C.

10．（2021·吉林长春市·高三二模（理））四边形中，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意可知，四边形为直角梯形，而，再根据数量积的定义以及数量积的运算律即可求出．

【详解】

由题意知，四边形为直角梯形，，

所以．

故选：B．

二、多选题

11．（2020·广东高三）如图是函数的部分图象，则下列说法正确的是（    ）

A． B．是函数，的一个对称中心

C． D．函数在区间上是减函数

【答案】ACD

【分析】

根据函数图像得函数解析式为，进而判断函数图像性质.

【详解】

由题知，，函数的最小正周期，所以，故A正确；

因为，所以，，解得，，又，所以，故C正确；

函数，因为，所以不是函数的一个对称中心，故B错误；

令，，得，，当时，，因为，所以函数在区间上是减函数，故D正确．

故选：ACD．

【点睛】

已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：

(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

12．（2021·江苏高一课时练习）已知，是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是（    ）

A．，的夹角是 B．，的夹角是或

C．或 D．或

【答案】BC

【分析】

向量模平方转化为的二次函数的最小值问题.

【详解】

设的夹角为，由题可知，

，

，是两个单位向量，且的最小值为，

的最小值为，则，

解得，与的夹角为或，

或，

或.

故选: BC

【点睛】

向量模的最值问题转化为函数最值问题研究是数形结合典型形式.注意向量夹角的范围，防止漏解.

三、填空题

13．（2020·广西高三月考（理））已知向，若在方向上的投影为4，则实数的值为____________.

【答案】

【分析】

先利用数量积的坐标运算求出，代入投影公式即可解出实数的值.

【详解】

依题意，得，

所以在方向上的投影为，解得．

故答案为：

【点睛】

本题考查了数量积的坐标运算，属于容易题.

14．（2020·陕西高一期末）已知扇形的圆心，弧长为，则该扇形的面积为______.

【答案】

【分析】

用弧长公式求出扇形半径，再用扇形面积公式得解.

【详解】

因为扇形的圆心，弧长为

，，

故答案为：

【点睛】

本题考查弧长公式和扇形面积公式，属于基础题.

15．（2020·北京铁路二中高三期中）已知函数，若满足，则的一个取值为________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】

根据的值域为可知若满足则必有的值分别为,再根据三角函数的性质分析即可.

【详解】

因为的值域为,故若满足则必有的值分别为,故的最小值当且仅当为相邻的两个最值点取得.此时为的半个周期,即.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：相邻的两个最值点的横坐标的距离为半个周期是解题的突破点.

16．（2021·全国高三月考（文））已知函数的部分图象如图所示，则______.

【答案】

【分析】

根据周期求出，再根据五点法作图求得，可得函数的解析式，从而求得的值．

【详解】

由题意可得,可得,则，所以

则

由，所以

则，所以

所以

故答案为：

四、解答题

17．（2020·陕西高一期末）已知向量、的夹角为，且，

（1）求的值；

（2）求与的夹角的余弦.

【答案】（1）（2）.

【分析】

（1）先求出的值，再开方即可求出的值；

（2）设与的夹角为，由 可以求出.

【详解】

（1），

；

（2）设与的夹角为，

，

，

故与的夹角的余弦.

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积，正确使用数量积的定义运算，对于，一般先平方，再开方进行求解.

18．（2020·黑龙江建三江分局第一中学高三期中（理））已知函数.

（1）求函数的对称轴；

（2）当时，求函数的最大值与最小值.

【答案】（1）对称轴方程为：()；（2）最大值为2，最小值为.

【分析】

（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程.

（2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域，进一步求出函数的最大和最小值.

【详解】

（1）函数.

令()，解得()，

所以函数的对称轴方程为：().

（2）由于，所以，

故.则：

故当时，函数的最小值为.

当时，函数的最大值为2.

【点睛】

本题考查正弦型函数的性质，属于基础题.

19．（2021·江苏高一课时练习）已知向量，．

（1）若时，求的值；

（2）若向量与向量的夹角为锐角，求的取值范围．

【答案】（1）或；（2）且．

【分析】

（1）先求出，的坐标，再由得，列方程可求出的值；

（2）由向量与向量的夹角为锐角，可得，且向量与向量不共线，从而可求出的取值范围

【详解】

解：（1）因为向量，，

所以，，

因为 ，所以，

所以，即，

解得或，

（2）因为向量与向量的夹角为锐角，所以，且向量与向量不共线，

所以，解得且，

所以的取值范围为且

20．（2021·安徽芜湖市·高一期末）已知集合

（1）求集合；（2）求集合.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）作出正弦函数一个周期内的图象，利用图象即可求解.

（2）利用集合的交运算即可求解.

【详解】

（1）作出正弦函数在内的图象，如下：

由图象可知当时，

则，

所以不等式的解集.

（2）由，，

所以.

21．（2021·江苏高一课时练习）设是不共线的非零向量，且.

（1）证明：可以作为一组基底；

（2）以为基底，求向量的分解式；

（3）若，求λ，μ的值.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）3和1.

【分析】

（1）根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理进行求解即可；

（2）根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理进行求解即可；

（3）根据平面向量共线定理进行求解即可

【详解】

（1）证明　若共线，则存在λ∈R，使，则.

由不共线得，

，

所以λ不存在，故平面向量不共线，可以作为一组基底；

（2）解　设 (m，n∈R)，得：

，因为，

是不共线的非零向量，

所以

所以；

（3）解　由得：

又是不共线的非零向量，

所以

故所求λ，μ的值分别为3和1.

22．（2021·安徽省泗县第一中学高一开学考试）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.

（1）已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；

（2）若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解

（2）根据扇形的扇形公式结合二次函数的性质进行求解即可．

【详解】

解：（1）由题意得，解得(舍去)，.

故扇形圆心角为.

（2）由已知得，.

所以，所以当时，取得最大值25，此时，.