专题08 平面向量基本定理应用【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（北师大版2019必修第二册）

专题08 平面向量基本定理应用【专项训练】-2020-2021学年高一数学

下学期期中专项复习（北师大2019版）

一、多选题

1．（2021·临澧县第一中学高一月考）设是平面内所有向量的一个基底，下列四组向量中能作为基底的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】ACD

【分析】

如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共面向量基本定理进行判断．

【详解】

、是平面内所有向量的一组基底，

和，显然不共线，可以作为基底；

和，显然不共线，可以作为基底；

和，存在，使得，所以和共线，不可以作为基底；

因为和不存在，使得，故不共线，可以作为基底.

故选：ACD

2．（2021·全国高一课时练习）如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（    ）

A．λ+μ (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量

B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个

C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)

D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0

【答案】BC

【分析】

根据平面向量基本定理可以判定ABD，取向量λ+μ与λ2+μ2均为零向量或者λ2+μ2为零向量的特殊情况，可以判定C.

【详解】

由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.

对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.

对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1=λ2=μ1=μ2=0时，这样的λ有无数个，或当λ1+μ1为非零向量，而λ2+μ2为零向量(λ2=μ2=0)，此时λ不存在.

故选:BC.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理，属基础题，要准确全面掌握平面向量的基本定理的内容和意义.判定C时要注意考虑问题要周密.

二、单选题

3．（2021·浙江高一单元测试）点P满足向量，则点P与AB的位置关系是（    ）

A．点P在线段AB上

B．点P在线段AB延长线上

C．点P在线段AB反向延长线上

D．点P在直线AB外

【答案】C

【分析】

由题设条件得出，即可得出点P与AB的位置关系.

【详解】

∴点P在线段AB反向延长线上

故选：C.

4．（2021·平潭县新世纪学校高一月考）在中，点在线段上，且，若，则（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】D

【分析】

由已知得，然后结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求．

【详解】

解：因为，所以，

所以，故，

若，则，，所以．

故选：．

5．（2021·浙江高一单元测试）设，是两个不共线的向量，若向量(k∈R)与向量共线，则（    ）

A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝

【答案】D

【分析】

根据向量共线定理可得，再由与是不共线向量，可得，解方程组即可求解.

【详解】

由共线向量定理可知存在实数λ，使，

即，

又与是不共线向量，∴，解得

故选：D

6．（2021·浙江高一单元测试）如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据向量的加法减法运算即可求解.

【详解】

依题意，，

故选：B

7．（2021·全国高一课时练习）在下列向量组中，可以把向量＝(3，2)表示出来的是（    ）

A．＝(0，0)，＝(1，2)

B．＝(－1，2)，＝(5，－2)

C．＝(3，5)，＝(6，10)

D．＝(2，－3)，＝(－2，3)

【答案】B

【分析】

确定是否不共线，不共线的就可以作为基底表示

【详解】

A．＝(0，0)，， 不可以作为平面的基底；不能表示出；

B．由于，不共线，， 可以作为平面的基底；能表示出；

C．，， 不可以作为平面的基底；不能表示出；

D．，， 不可以作为平面的基底；不能表示出．

故选：B．

8．（2021·江苏高一课时练习）设是同一个平面内的两个向量，则有（    ）

A．平行

B．的模相等

C．同一个平面内的任一向量，有

D．若不共线，则对于同一个平面内的任一向量，有

【答案】D

【分析】

根据平面基本定理一一判定选项即可.

【详解】

A. 是同一个平面内的两个向量，不一定平行，所以A错；

B.向量长度不一定相等，即模不一定相等，所以B错；

C.如果是平面内的两个共线向量，所以C错；

D.由平面向量基本定理可得，D正确；

故选D

【点睛】

考查了平面向量基本定理的运用，基底必须选择同一平面内的不共线的两个向量.

9．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，矩形ABCD中，若，＝，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

利用向量减法、数乘运算以及平面向量的基本定理即可求解.

【详解】

.

故选：A

10．（2021·江苏高一课时练习）在△ABC中，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据条件可得出，从而得出，然后进行向量的数乘运算即可.

【详解】

∵，

∴，

∴.

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：

熟练掌握向量加法和减法的几何意义，向量的数乘运算是解题关键.

11．（2021·全国高一课时练习）在△ABC中，，EF∥BC，EF交AC于F，设，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

由图可知，，，利用平面向量的加法法则计算化简即可．

【详解】

，又∵EF∥BC，

故选：A

12．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模（文））如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

由向量的线性运算法则把用表示可得．

【详解】

由题意．

故选：C．

三、填空题

13．（2021·全国高一课时练习）已知向量，不共线，实数x，y满足(3x－4y) ＋(2x－3y) ＝6＋3，则x－y＝____.

【答案】3

【分析】

由向量，不共线，利用向量相等的条件列方程，即可解出.

【详解】

∵，不共线，且(3x－4y) ＋(2x－3y) ＝6＋3，

∴，解得　

∴x－y＝3.

故答案为：3

14．（2021·全国高一课时练习）在正方形ABCD中，E是DC边上的中点，且，则＝________.

【答案】

【分析】

利用平面向量的加法法则计算即可．

【详解】

故答案为：

15．（2021·江苏高一课时练习）已知，，是平面内任意三点，点在直线上，若，则________.

【答案】.

【分析】

由平面向量共线定理可得即可转化为整理后与已知条件比较，利用对应系数相等列方程即可求解.

【详解】

因为点在直线上，

所以，，，

即，所以 所以.

故答案为：.

16．（2021·江苏高一课时练习）已知不共线，，要使能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________________.

【答案】

【分析】

根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线的性质进行求解即可.

【详解】

当平面向量共线时，有，即，因此有，

因此要想能作为平面内的一组基底，则必有平面向量不共线，所以，

故答案为：

四、解答题

17．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知，，试用，表示，.

【答案】，.

【分析】

把MN放在△AMN中，把把MC放在△BMC中，利用向量加法的三角形法则.

【详解】

联结MN，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知，

；

.

【点睛】

在几何图形中进行向量运算:

(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；

(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.

18．（2021·全国高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，设，，试用基底表示，.

【答案】，.

【分析】

连接AC，BD交于点O，由，可得答案.

【详解】

设AC，BD交于点O，则有，，

所以，

.

19．（2020·全国高一单元测试）在平行四边形ABCD中，，.

（1）如图①，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用，分别表示，；

（2）如图②，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用，表示

.

【答案】（1） ，；（2）.

【分析】

(1)结合图形，由向量的加法运算可用基底表示出两向量.

(2)结合图形由向量的减法运算用基底表示，进而求出，由向量的加法运算可求出.

【详解】

解：（1），

.

（2），因为O是BD的中点，G是DO的中点，

所以，所以.

20．（2019·陕西西安市·高一期中）（Ⅰ）如图1，，，是平面内的三个点，且与不重合，是平面内任意一点，若点在直线上，试证明：存在实数，使得：；

（Ⅱ）如图2，设为的重心，过点且与、（或其延长线）分别交于，点，若，，试证明：为定值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.

【分析】

（Ⅰ）由于，，三点共线，所以存在实数使得：，变形，可得结论；

（Ⅱ）连结，利用为的重心，结合（Ⅰ）的结论即可得到结论．

【详解】

（Ⅰ）证明：由于，，三点共线，所以存在实数使得：，

即

化简为

结论得证．

（Ⅱ）解：连结，因为为的重心，

所以：

又因为，

所以

由（Ⅰ）知：所以为定值．

【点睛】

本题考查向量知识的运用，考查向量的共线，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．