第5章函数的应用 综合测试-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册期末复习

北师大新版数学必修第一册第五章函数的应用综合测试题

一、单选题

1．函数的零点是（     ）

A．-2 B．1 C．2 D．3

2．若的零点个数为，求的值（    ）

A． B． C． D．或

3．若函数f（x）＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2－ax－1的零点是（    ）

A．－1和 B．1和

C．  和  D．和

4．若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C．，且 D．，且

5．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：）的影响，对近6年的年宣传费和年销售量进行整理，得数据如表所示：

根据表中数据，下列函数中，适宜作为年销售量关于年宣传费的拟合函数的是（    ）

A． B．

C． D．

6．若为奇函数，且是函数的一个零点，在下列函数中，一定是其零点的函数是（    ）

A． B．

C． D．

7．若是方程的解，则属于区间 （    ）

A． B． C． D．

8．某工厂去年12月份的产量是去年1月份产量的倍，则该厂去年月产量的平均增长率为（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

则函数的零点所在的区间是（    ）

A． B．

C． D．

10．已知两点为坐标原点，动点在线段(不含端点)上运动，过点分别向轴作垂线，垂足分别为，则四边形的面积的最大值为(    )

A． B． C． D．

11．用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，，可得其中一个零点     ，第二次应计算      ，以上横线应填的内容依次为（    ）

A． B．

C． D．

12．已知，函数，实数满足，若，则（    ）

A． B．

C． D．与的大小关系不能确定

二、填空题

13．函数的零点个数是________

14．函数在区间上有零点，则实数m的取值范围为____________.

15．网上购鞋常常看到下面的表格：

依据表中脚长与鞋号的对应规律，计算30号童鞋对应的脚长是________mm.

16．若函数满足以下三个条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③恰有3个零点.请写出一个满足上述条件的函数______.

三、解答题

17．某人向天上掷一小石子，设秒后离地面的高度为米．

（1）几秒后，小石子离地面的高度为米？

（2）几秒后，小石子落到地面？

18．已知函数，其中.

（1）若函数在区间上单调，求实数的取值范围；

（2）若方程在区间上有两个不等的实根，求实数的取值范围.

19．已知是定义在上的奇函数，当时，，且.

（1）若当时，求实数，，的值；

（2）在（1）条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.

20．已知函数

（Ⅰ）若，求在上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若关于的方程在上有两个不相等实根，求实数的取值范围．

21．已知函数，满足，

（1）求函数的解析式；

（2）当时，求函数的最大值和最小值.

（3）若函数的两个零点分别在区间和内，求的取值范围.

22．已知函数，函数．

（1）若函数在和上单调性相反，求的解析式；

（2）若，不等式在上恒成立，求的取值范围；

（3）已知，若函数在内有且只有一个零点，试确定实数的取值范围．

参考答案

1．B

【分析】

令，由此求得的零点.

【详解】

令，解得，所以的零点为.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查函数零点的求法，属于基础题.

2．C

【分析】

因为为二次函数，只需即可满足条件，求解可得结果.

【详解】

的零点个数为，

，解得：.

故选：C.

【点睛】

本题考查二次函数零点个数问题，利用判别式是解题的关键，属于基础题.

3．B

【分析】

根据零点的定义，结合一元二次方程根与系数关系、一元二次方程的解法进行求解即可.

【详解】

因为f（x）＝x2－ax＋b有两个零点2和3，

所以2和3是方程x2－ax＋b=0的两个根，

，所以，

令或.

故选：B

【点睛】

本题考查了已知函数零点求参数，考查了求函数的零点，属于基础题.

4．C

【分析】

由题意可得，从而可求出实数的取值范围.

【详解】

解：由方程有两个不相等的实数根可知，此方程为一元二次方程且判别式大于零，即可得

，解得，且.

故选:C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的分布问题.本题的关键是由不同两根得判别式大于零.本题的易错点是忽略了这一条件.

5．C

【分析】

观察表中数据，对所给函数进行逻辑推理即可.

【详解】

由题表知，当自变量增加1个单位时，函数值依次增加0.55，0.40，0.16，0.14，0.20，

因此A、B不符合题意，当x取1，4时，的值分别为，与表中数据相

差较大.

故选：C

【点睛】

本题考查函数模型的选取，考查学生逻辑推理与数据分析的能力，是一道容易题.

6．D

【分析】

根据题意，是的一个零点，则有，结合函数的奇偶性依次分析选项，验证是不是其零点，即可得答案.

【详解】

解：根据题意，是的一个零点，则有，
依次分析选项：
对于A、，将代入可得：，不符合题意；
对于B、，将代入可得：，不符合题意；
对于C、，将代入可得：，不符合题意；
对于D、，将代入可得：，即一定是其零点，符合题意；
故选：D.

【点睛】

本题考查函数的零点的定义，涉及函数奇偶性的性质，关键是灵活运用函数的奇偶性性质.

7．C

【分析】

构造函数，结合的单调性和零点存在性定理，求得所在区间.

【详解】

构造函数，的定义域为，在定义域上是单调递减函数，且，由零点存在性定理可知，唯一零点在区间，也即方程的解属于区间.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查零点存在性定理判断零点所在区间，属于基础题.

8．C

【分析】

设月产量的平均增长率，求出去年12月份的产量与1月的产量关系，建立关于等量关系，即可求出结论.

【详解】

设去年1月份产量的为，去年12月份的产量为，

设月产量的平均增长率，

.

故选:C.

【点睛】

本题考查函数模型的选择，利用了有关增长率的函数模型，属于基础题.

9．C

【分析】

由函数的图象是连续不断的，且，结合零点定理即可得解.

【详解】

解：由函数的图象是连续不断的，且，

由零点定理可得函数的零点所在的区间是，

故选：C.

【点睛】

本题考查了零点定理，属基础题.

10．B

【分析】

设，根据平行线的性质，可得 之间的关系，可得，代入可得四边形的面积的最大值.

【详解】

解：如图：

设，根据平行线的性质，可得: ,整理可得：，

故：，

当，可得的最大值为：2,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查二次函数在几何中的应用，注意建立合适的函数模型并运算准确.

11．A

【分析】

首先应结合零点定理判断函数零点的所在区间，然后用二分法的思想将区间逐次减半．即可获得问题解答．

【详解】

由题意可知：对函数，，，且函数在区间上连续，可得其中一个零点，使得，

根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算，

所以答案为：，．

故选：．

【点睛】

本题考查的是二分法研究函数零点的问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、二分法的思想以及数据处理的能力．值得同学们体会和反思．

12．C

【分析】

根据题目条件可得：， 进一步直接化简，从而得到答案．

【详解】

由题易知：，且满足根与方程的关系

，所以，

则

又因为，所以，所以

所以.

故选：C.

【点睛】

在解题中要注意等式的变换，要适当的利用基本不等式和根与方程的关系，解题的时候要注意条件与结论的统一.

13．

【分析】

首先求出函数的定义域为，将原问题转化为，解方程，即可得出的零点个数．

【详解】

由题意可知的定义域为，令，

可得， 解得（舍去）或，

；

所以函数的零点个数为个．

故答案为：1．

【点睛】

本题把二次函数与二次方程有机的结合来，由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点．

14．

【分析】

根据零点存在原理直接求解即可.

【详解】

因为函数在区间上有零点，所以有：

.

故答案为：

【点睛】

本题考查了零点存在原理，考查了解一元二次不等式的能力，考查了数学运算能力.

15．200

【分析】

先根据已知求出函数的解析式，把代入求出即得解．

【详解】

由题意，脚的长度与鞋号是一次函数关系，设

所以

所以函数的解析式为，

时，，

故答案为：200

【点睛】

本题主要考查一次函数模型的应用，求出解析式是解题的关键，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．

16．（答案不唯一）.

【分析】

结合题目要求，写出满足题意的函数即可得解.

【详解】

若，则该函数的定义域是，且图象连续，

由，为偶函数，

且有3个零点，所以函数满足题意.

故答案为：（答案不唯一）.

17．（1）秒或秒；（2）秒.

【分析】

记秒后小石子离地面的高度为，则；

（1）令，得到对应方程求解，即可得出结果；

（2）令，得到对应方程求解，即可得出结果.

【详解】

记秒后小石子离地面的高度为，则；

（1）令，则，解得或，

则秒或秒后，小石子离地面的高度为米；

（2）令，则，解得（舍）或，

则秒后，小石子落到地面.

【点睛】

本题主要考查二次函数模型的应用，属于基础题型.

18．（1）或；（2）

【分析】

（1）由题意得，对称轴不在区间；

（2）利用根的分布可得不等式组，解不等式组即可得答案；

【详解】

（1），函数图象开口向上，

对称轴或，

解得：或；

（2）由根的分布得：.

【点睛】

根据二次函数的图象与性质，只有当对称轴不穿过区间时，函数才有可能单调.

19．（1），，；（2）.

【分析】

（1）由已知代入立方程组可解得；

（2）方程有解转化为二次函数与直线有两个不同交点，画图可知.

【详解】

（1）据题设分析知，.

又当时，，，

所以，

所以，，.

（2）据（1）求解知，当时.

令，则，所以.

又据为定义在上的奇函数，所以，

所以.

又，所以.

又因为关于的方程有两个不同实数根，

所以据函数的图象分析知，，

即所求实数的取值范围是.

【点睛】

待定系数法是确定函数表达式的基本方法，选择适当的设法可以简化过程.

20．（Ⅰ）最大值0，最小值；（Ⅱ）.

【分析】

（Ⅰ）根据，得到，由二次函数性质，即可得出结果；

（Ⅱ）由题意得到方程有两个不相等正根，得到，求解，即可得出结果.

【详解】

（Ⅰ）若，则，

因为二次函数开口向上，对称轴为：；又，

所以函数在上单调递减，在上单调递增；

因此；又，，

所以；

（Ⅱ）由关于的方程在上有两个不相等实根，可得方程有两个不相等正根，

则，解得．

【点睛】

本题主要考查由二次函数在给定区间的最值，以及由一元二次方程根的分布求参数的问题，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.

21．（1）；（2），；

（3）

【分析】

（1）由得，由待定系数法得、的值；

（2）利用二次函数的对称轴和单调区间即可求得最值；

（3），由题意可得，求解即可.

【详解】

（1）由得，

又，得

即，所以， ，解得： ， ，

所以，

（2）对称轴，

所以，，，

所以，，

（3），若有2个零点分别在区间和内，

则 ，即，解得：

【点睛】

本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析，考查二次函数的最值，以及零点分布情况，属于中档题.

22．（1）；（2）；（3）.

【分析】

（1）根据函数单调性，以及函数解析式，得到其对称轴为，求出，即可得出解析式；

（2）根据题意，将不等式恒成立，转化为在上恒成立，令，则转化为在上恒成立，求出，即可得出结果；

（3）设，，，根据原函数有一个零点，得到两个函数与的图象在区间内有唯一交点；分别讨论，，三种情况，结合二次函数与对数函数的性质，即可求出结果.

【详解】

（1）因为函数在和上单调性相反,

所以函数为二次函数，

且其对称轴为，解得，

所求；

（2）依题意得，

即在上恒成立，

转化为在上恒成立，

在上恒成立，

转化为在上恒成立，

令，则转化为在上恒成立，

即，而是开口向下，对称轴为的二次函数，

因此其在上单调递减，因此，

所以，

因此的取值范围是 ；

（3），

设，，，

则原命题等价于两个函数与的图象在区间内有唯一交点．

当时，在内为减函数，，为增函数，

且，，函数在区间有唯一的交点；

当时，图象开口向下，对称轴为，

在内为减函数，，为增函数，

且，

.

当时，图象开口向上，对称轴为，

在内为减函数，，为增函数，

则由，

.

综上，所求的取值范围为.

【点睛】

本题主要考查求二次函数的解析式，考查二次不等式恒成立的问题，考查由函数零点个数求参数的问题，属于常考题型.