第3章指数运算与指数函数 基础测试-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册期末复习

北师大新版数学必修第一册第三章指数运算与指数函数基础测试题

一、单选题

1．以下关于函数的说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

2．下列各式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

3．已知，则的值为（    ）

A． B．1 C． D．

4．已知指数函数过点，则（    ）

A． B． C． D．

5．函数（且）的图象过定点（    ）

A． B． C． D．

6．下列函数中，在上为减函数的是（    ）

A． B． C． D．

7．若,则函数的图象一定经过（   ）

A．第一、二象限 B．第二、四象限

C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

8．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

9．函数的图象是（    ）

A． B．

C． D．

10．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

11．下列式子成立的是（    ）

A． B．

C． D．

12．函数是指数函数，则有（    ）

A．或 B．

C． D．或

二、填空题

13．函数，的值域为___________.

14．=________.

15．关于的方程有实数根，则实数的取值范围为______.

16．已知函数且，若，则实数的取值范围是___________.

三、解答题

17．计算：（1）；

（2）已知：，求

18．已知函数.

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）判断并证明在其定义域上的单调性.

19．函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.

（1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；

（2）结合函数图象，判断与，f(2 019)与g(2 019)的大小．

20．已知（，且），

（1）讨论函数和的单调性.

（2）如果，那么x的取值范围是多少？

21．已知函数是上的偶函数．

（1）解不等式；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

22．已知函数，

（1）求的值；

（2）画出函数的图像；

（3）求函数的单调区间，并写出函数的值域.

参考答案

1．D

【分析】

利用特殊值法可判断ABC选项的正误，利用指数幂的运算性质可判断D选项的正误.

【详解】

对于A选项，取，则，，

此时，A选项错误；

对于B选项，取，则，，

此时，B选项错误；

对于C选项，取，则，，

此时，C选项错误；

对于D选项，，D选项正确.

故选：D.

2．D

【分析】

根据指数幂的性质即可化简判断.

【详解】

对于A，，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，显然不成立，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选：D.

3．C

【分析】

将平方即可求解.

【详解】

由，知，

故选：C.

4．B

【分析】

设出函数解析式，代入点可求得，即可求出.

【详解】

设（且），

，解得，

.

故选：B.

5．A

【分析】

令，解出的值，代入函数的解析式，计算可得出该函数的图象所过定点的坐标.

【详解】

令，可得，则，

因此，函数（且）的图象过定点.

故选：A.

6．D

【分析】

结合相应的函数的性质对选项进行逐一判断.

【详解】

对于A，由指数函数的性质知，在上为增函数，不满足，

对于B，在上为增函数，不满足，

对于C，在上为增函数，不满足

对于D，二次函数在上为减函数，满足

故选：D

7．D

【分析】

根据,，得到，且是是R上的减函数判断.

【详解】

因为,，

所以，且函数是R上的减函数，

图象如图所示：

所以其图象一定经过第二、三、四象限，

故选：D

8．C

【分析】

直接求出的值，即可得答案；

【详解】

，

，

故选：C.

9．B

【分析】

，根据指数函数的性质，作出分段函数的图象即可.

【详解】

，

当时，因为，所以过点且单调递增，结合指数函数的图象特点，排除选项A、C、D，

故选：B

10．C

【分析】

利用复合函数判断单调性“同增异减”的方法求解即可

【详解】

解：令，则，

因为在上单调递增，在上单调递减，

在定义域内为减函数，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故选：C

11．B

【分析】

根据根式有意义求得的符号，结合根式的运算性质可得出与相等的代数式.

【详解】

若有意义，则，可得，.

故选：B.

12．B

【分析】

根据指数函数的概念，得到，求解，即可得出结果.

【详解】

因为函数是指数函数，

所以，解得.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查由指数函数的概念求参数，属于基础题型.

13．

【分析】

利用指数函数的单调性即可得到答案.

【详解】

因为在区间为增函数，所以值域为.

故答案为：

14．2

【分析】

利用指数的运算法则直接进行运算；

【详解】

，

故答案为：2.

15．

【分析】

根据指数函数的性质，由题中条件，得到，求解，即可得出结果.

【详解】

因为指数函数的值域为，关于的方程有实数根，

所以只需，即，解得；

故答案为：.

16．

【分析】

由已知可得，从而可求出的取值范围

【详解】

解：因为且，且，

所以，即，

所以，

所以实数的取值范围为

17．（1）4，（2）

【分析】

（1）把根式化为分数指数幂，然后利用分数指数幂运算性质求解即可；

（2）对两边平方化简求出，再平方可求出的值，从而可求出结果

【详解】

解：（1）原式

（2）由，得，得，

所以，所以，

所以

18．（1）详见解答；（2）详见解答.

【分析】

（1）求出判断与的关系，即可得出结论；

（2）将分离常数，任取，用作差法比较大小，即可得出结论.

【详解】

（1）的定义域为实数集，

，

所以是奇函数；

（2），设，

，

，

所以在实数集上增函数.

【点睛】

本题考查函数奇偶性和单调性的证明，意在考查逻辑推理能力，属于基础题.

19．（1）C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x； （2）；f(2 019)＞g(2 019)．

【分析】

（1）观察图象可得结果；

（2）从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，进而可得与的大小，当x＞2时，f(x)＞g(x)，可得f(2 019)与g(2 019)的大小关系.

【详解】

（1）由图像可得：C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x.

（2）∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)

从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，

∴；

当x＞2时，f(x)＞g(x)，

∴f(2 019)＞g(2 019).

【点睛】

本题考查函数图象的应用，利用函数图象以比较函数值的大小，是基础题.

20．（1）当时，是R上的增函数，是R上的减函数；当时，是R上的减函数，是R上的增函数；（2）当时，x的取值范围是；当时，x的取值范围是.

【分析】

（1）对底数分类讨论即可得出结论；

（2）由题意得，再推出，再结合单调性即可求得答案．

【详解】

解：（1）当时，是R上的增函数.

由于，所以是R上的减函数.

当时，是R上的减函数，

由于，所以是R上的增函数.

（2），

当时，；

当时，；

∴当时，x的取值范围是；

当时，x的取值范围是．

【点睛】

本题主要考查指数函数单调性的应用，属于基础题．

21．（1）；（2）.

【分析】

(1）先利用偶函数的定义求出，设，则不等式即为，再解关于x的不等式即可;

(2）问题转化为在恒成立，设，(t <0) ，则在时恒成立，即可求出的取值范围.

【详解】

（1）为偶函数

恒成立，

恒成立，

即恒成立，

，，

，

，

设，则不等式即为，

，

所以原不等式解集为．

（2）在上恒成立，

即：在上恒成立，

令，则，

在时恒成立，所以，

又，当且仅当时等号成立，

则．

所以．

22．（1）；（2）图象见解析；（3）的单调递增区间是和，单调递减区间是，值域是.

【分析】

（1）根据分段函数，先求，再求即可.

（2）根据指数函数和二次函数的图象和性质画出函数的图象.

（3）由（2）中函数的图象，写出单调区间和值域即可.

【详解】

（1）因为函数，

所以，

所以，

即.

（2）画函数图象如图所示：

（3）由图象知：函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.

函数的值域是.