第7章概率 基础测试-【新教材】北师大版（2019）高中数学必修第一册期末复习

北师大新版数学必修第一册第七章概率基础测试题

一、单选题

1．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上点数之和为8的概率（    ）

A． B． C． D．

2．已知某工厂生产的产品的合格率为90%现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品，经随机模拟产生了如下20组随机数：

7527 0293 7040 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698

0301 6233 2616  8045  6001 3661  9597 7424 7610 4001

掘此估计，4件产品中至少有3件合格品的概率为（    ）

A． B． C． D．

3．从数字1，2，3，4中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．袋内装有个红球、个白球，从中任取个，其中是互斥而不对立的两事件是（    ）

A．至少有一个白球；全部都是红球 B．至少有一个白球；至少有一个红球

C．恰有一个白球；恰有一个红球 D．恰有一个白球；全部都是红球

5．某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀(含80分)，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，其中第一､三､四､五小组的频率分别为，，，，而第二小组的频数是40，则参赛的人数以及成绩优秀的概率分别是（    ）

A．50， B．50， C．100， D．100，

6．今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表（单位：人）如表：

则今年第一季度该医院男婴的出生频率是（    ）

A． B． C． D．

7．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为

A．0.28 B．0.12 C．0.42 D．0.16

8．从集合的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合子集的概率是（    ）

A． B． C． D．

9．我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某大学美术学院的甲、乙、丙、丁四个同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成其中一个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是（    ）

A． B． C． D．

10．已知f1（x）=x，f2（x）=，，从以上三个函数中任意取两个相乘得到新函数，则所得新函数为奇函数的概率为（  ）

A． B．

C． D．

11．某保密单位有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率为（    ）

A． B． C． D．

12．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，其中，，，为下雨，，，，，，为不下雨，这三天中恰有一天下雨的概率大约是（    ）

附随机数表:

A．25% B．30% C．45% D．55%

二、填空题

13．我国的旅游资源丰富，是人们假期旅游的好去处，小五现从大理、黄果树瀑布、阳朔、张家界和青海湖中任选两处去旅游，则恰好选中青海湖的概率为______.

14．从某校高一年级所有学生中随机选取100名学生，将他们参加知识竞赛的成绩的数据绘制成频率分布直方图，如图所示.从成绩在，两组内的学生中，用分层抽样的方法选取了6人参加一项活动，若从这6人中随机选取两人担任正副队长，则这两人来自同一组的概率为__________.

15．某城市2011年的空气质量状况如下表示：

其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染.该城市2011年空气质量达到优或良的概率为______.

16．下列事件中，是随机事件的为_________（填所有正确的序号）

①实数，都不为0，则；

②任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面；

③汽车排放尾气会污染环境；

④明天早晨不会有雾．

三、解答题

17．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)， 随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;

（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.

18．有6件产品，其中有2件次品，从中随机抽取3件，求：

（1）其中恰有1件次品的概率；

（2）至少有一件次品的概率.

19．为了了解某市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：，并绘制出频率分布直方图，如图所示.

（1）求频率分布直方图中的值，并估计该市高中学生的平均成绩；

（2）设、、、四名学生的考试成绩在区间内，、两名学生的考试成绩在区间内，现从这6名学生中任选两人参加座谈会，求学生、至少有一人被选中的概率.

20．为了解某种产品的质量，从一大批产品中抽出若干批进行质量检查，结果如下:

（1）计算各批产品中优等品的频率，把上表补充完整；

（2）从这一大批产品中随机抽取1个，则抽到优等品的概率约是多少?

21．为缓解堵车现象，解决堵车问题，银川市交警队调查了甲､乙两个路口的车流量，在2019年6月随机选取了14天，统计每天上午7：30-9：00早高峰时段各自的车流量（单位：百辆）得到如图所示的茎叶图，根据茎叶图回答以下问题.

（1）甲､乙两个路口的车流量的中位数分别是多少?

（2）试计算甲､乙两个路口的车流量在之间的频率.

22．2019年10月1日我国隆重纪念了建国70周年，期间进行了一系列大型庆祝活动，极大地激发了全国人民的爱国热情.某校高三学生也投入到了这场爱国活动中，他(她)们利用周日休息时间到社区做义务宣讲员，学校为了调查高三男生和女生周日的活动时间情况，随机抽取了高三男生和女生各40人，对他(她)们的周日活动时间进行了统计，分别得到了高三男生的活动时间(单位：小时)的频数分布表和女生的活动时间(单位：小时)的频率分布直方图.（活动时间均在内）

（1）根据调查，试判断该校高三年级学生周日活动时间较长的是男生还是女生？并说明理由；

（2）在被抽取的80名高三学生中，从周日活动时间在内的学生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.

参考答案

1．A

【分析】

先求得基本事件的总数，再用列举法求得点数之和为8的事件个数，利用古典概型概率公式，即可求得概率.

【详解】

抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数种结果，

向上点数之和为8包含基本事件有（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5种结果，

所以向上点数之和为8的概率，

故选：A

2．D

【分析】

0表示不是合格品，4件产品中至多出现一次0，根据概率计算公式即可求解.

【详解】

4件产品中至多出现一次0，共个，

所以4件产品中至少有3件合格品的概率为.

故选：D

3．D

【分析】

利用列举法，结合古典概型概率计算公式计算出所求概率.

【详解】

基本事件为共6个，其中符合条件的基本事件为共4个，所求概率为.

故选：D

4．D

【分析】

列举出每个选项中两个事件所包含的基本情况，结合互斥事件和对立事件的定义可得出合适的选项.

【详解】

袋内装有个红球、个白球，从中任取个.

对于A选项，事件“至少有一个白球”包含：“个白球”、“红白”，

所以，A选项中的两个事件为对立事件；

对于B选项，事件“至少有一个红球”包含：“个红球”、“红白”，

所以，B选项中的两个事件有交事件，这两个事件不是互斥事件；

对于C选项，事件“恰有一个白球”和“恰有一个红球”为同一事件；

对于D选项，事件“恰有一个白球”与“全部都是红球”是互斥事件，但不是对立事件.

故选：D.

5．C

【分析】

由于所有组的频率和为1，从而可求出第二组的频率，再由第二组的频数可求出总人数，求出成绩优秀的频率可得其概率

【详解】

由已知得第二小组的频率是，频数为40，

设共有参赛学生x人，则，所以.

因为成绩优秀的频率为，

所以成绩优秀的概率为，

故选：C.

【点睛】

此题考查频率和频数的关系，考查频率与概率的关系，属于基础题

6．D

【分析】

利用已知条件得到第一季度的男婴数和婴儿总数，计算比值即得出生频率.

【详解】

解：根据题意：第一季度的男婴数为64，婴儿总数为123，

故该医院生男婴的出生频率为.

故选：D.

【点睛】

本题考查了频率的计算方法，属于基础题.

7．B

【分析】

两人考试相互独立，所以是相互独立事件同时发生的概率，按照公式求即可.

【详解】

甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为．选B.

【点睛】

本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.

8．C

【分析】

根据集合元素个数可确定子集的个数，根据古典概型概率公式可求得结果.

【详解】

集合的子集共有个，集合的子集共有个，

则从的所有子集中任取一个，恰是集合子集的概率为.

故选：.

【点睛】

本题考查古典概型概率问题求解，涉及到集合子集个数的求解，属于基础题.

9．B

【分析】

列举法得到甲所抽到的所有基本事件，抽到绘制夏季6幅彩绘的只有1个基本事件，根据古典概型概率公式计算即可.

【详解】

甲从春、夏、秋、冬四个季节中选一个季节的6幅彩绘绘制，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为，

故选：B.

【点睛】

本题考查古典概型概率公式的应用条件和公式，属于基础题.

10．C

【分析】

从三个函数中任意取两个相乘得到新函数，基本事件总数n＝,所得新函数为奇函数包含的基本事件个数m＝=2，所以根据概率计算公式p=求得概率为

【详解】

解：∵f1（x）＝x是奇函数，

f2（x）＝ 是奇函数，

是偶函数，

从以上三个函数中任意取两个相乘得到新函数，

基本事件总数n＝，

所得新函数为奇函数包含的基本事件个数m＝＝2，

∴所得新函数为奇函数的概率p＝.

故选C．

【点睛】

本题考查了概率的求法，考查古典概型概率公式，考查运算求解能力，是基础题．

11．C

【分析】

根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接计算即可得到答案.

【详解】

在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率，.

故选：C.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，是基础题.

12．C

【分析】

根据随机模拟试验以及古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】

三天中恰有一天下雨的次数为：

，共次，

所以这三天中恰有一天下雨的概率大约为.

故选：C

【点睛】

本题考查了随机模拟试验、古典概型的概率计算公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

13．

【分析】

利用古典概型的概率公式求解.

【详解】

依次将大理、黄果树瀑布、阳朔、张家界和青海湖编号为1，2，3，4，5，

则从中任选两处的所有可能情况有，，，，，，，，，，共10种，

恰好选中青海湖的情况有，，，，共4种，

则由古典概型的概率公式得所求概率为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14．

【分析】

由题意可知，成绩在的学生共有人，成绩在的学生共有人，则成绩在的学生抽取4人，成绩在的学生抽取2人，再利用组合数即可得解.

【详解】

成绩在的学生共有人，

成绩在的学生共有人，

若用分层抽样的方法选取了6人，

则成绩在的学生抽取4人，成绩在的学生抽取2人，

则这两人来自同一组的概率.

故答案为：

【点睛】

本题考查了频率分布直方图和分层抽样，考查了利用组合数求概率，计算量不大，属于基础题.

15．

【分析】

由表格数据得空气质量为优和良的概率，相加即可得解.

【详解】

由表格知空气质量为优的概率为，空气质量为良的概率为，

所以该城市2011年空气质量达到优或良的概率为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了互斥事件概率的求解，属于基础题.

16．②④

【分析】

在一定条件下，事件按发生的可能性大小来分类，分为：不可能事件、随机事件、必然事件，根据它们的定义，即可对本题求解.

【详解】

解：逐一考查所给的事件：

①实数，都不为0，则是不可能事件；

②任取一个正方体的4个顶点，这4个顶点不共面是随机事件；

③汽车排放尾气会污染环境是必然事件；

④明天早晨不会有雾是随机事件．

综上可得，随机事件包括：②④．

故答案为：②④．

【点睛】

本题主要考查事件分类的应用，考查理解辨析能力，属于基础题.

17．（1）25小时；（2）0.3.

【分析】

（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有、，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.

【详解】

（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，

∴由频率最大区间为，则众数为；

（2）由图知：不少于30小时的区间有、，

∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.

【点睛】

本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题.

18．（1）;（2）.

【分析】

(1)利用超几何分布的概率公式，直接求出恰有1件次品的概率;

(2)利用对立事件，计算即可求得至少有一件次品的概率.

【详解】

（1）设事件A为"从中随机抽取3件，则恰有1件次品",则.

（2）设事件B为"从中随机抽取3件，则至少有一件次品",则.

【点睛】

本题考查超几何分布的概率及对立事件的概率求解问题，属于基础题.

19．（1）；（2）.

【分析】

（1）由频率分布直方图能求出a．由此能估计该市高中学生的平均成绩；

（2）现从这6名学生中任选两人参加座谈会，求出基本事件总数，再学生M、N至少有一人被选中包含的基本事件个数，由此能求出学生M、N至少有一人被选中的概率．

【详解】

（1）由频率分布直方图得：

，

∴估计该市高中学生的平均成绩为：

．

（2）设A、B、C、D四名学生的考试成绩在区间[80，90）内，

M、N两名学生的考试成绩在区间[60，70）内，

现从这6名学生中任选两人参加座谈会，

基本事件总数，

学生M、N至少有一人被选中包含的基本事件个数，

∴学生M、N至少有一人被选中的概率．

【点睛】

本题考查了利用频率分布直方图求平均数，考查了古典概型计算公式，考查了数学运算能力.

20．（1）表见解析（2）0.95

【分析】

（1）直接计算的值，即可得答案；

（2）由频率与概率的关系，可估计概率值.

【详解】

（1）

（2）由（1），知随着抽取个数的增加，频率都在常数0.95附近摆动，所以从这一大批产品中随机抽取1个，抽到优等品的概率约是0.95.

【点睛】

本题考查频率计算、频率与概率的关系，即概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值.

21．（1）甲､乙两个交通站的车流量的中位数分别是､；（2）甲､乙两交通站的车流量在之间的频率分别为，

【分析】

（1）根据茎叶图中的数据，直接判断最中间的数字，取平均值，即可得出结果；

（2）根据茎叶图，分别两交通站统计车流量在之间的天数，即可得出对应频率.

【详解】

（1）根据茎叶图中的数据分析并作出判断，甲交通站的车流量的中位数为，乙交通站的车流量的中位数为；

综上所述，甲､乙两个交通站的车流量的中位数分别是､.

（2）甲交通站的车流量在之间的有4天，故频率为，乙交通站的车流量在之间的有6天，故频率为，

综上所述，甲､乙两交通站的车流量在之间的频率分别为，

【点睛】

本题主要考查由茎叶图计算中位数，以及求频率的问题，熟记中位数的概念，以及频率的概念即可，属于基础题型.

22．（1）女生，理由见解析；（2）

【分析】

（1）列出女生周日活动时间频数表，对比男生和女生活动时间频数表即可得出结论；

（2）运用古典概型的概率计算公式求解即可．

【详解】

解：（1）该校高三年级周日活动时间较长的是女生，

理由如下：列出女生周日活动时间频数表

对比男生和女生活动时间频数表，可以发现：

活动时间在2小时及其以上的男生有22人，女生有34人；

活动时间在3小时及其以上的男生有15，女生有26人；

都是女生人数多于男生人数，所以该校高三年级周日活动时间较长的是女生；

（2）被抽到的80学生中周日活动时间在内的男生有2人，分别记为，，女生有4，分别记为，，，，

从这6人中抽取2.共有以下15个基本事件，分别为：

，，，，，，，，，，，，，；

其中恰为1男1女的共有8种情形，

所以所求概率．

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．