人教版第十五章 分式综合与测试课时训练

这是一份人教版第十五章 分式综合与测试课时训练，共44页。试卷主要包含了下列各式中，分式的个数是，下列等式成立的是，下列各式从左到右的变形正确的是等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年八年级上到十五章《分式》检测卷-基础篇

一．选择题（共9小题）
1．下列各式中，分式的个数是（　　）
．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．除了通过分式的基本性质进行分式变形外，有时，就是只把分式中的a，b同时扩大为原来的2倍后，分式的值也不会变，则此时h的值可以是下列中的（　　）
A．2 B． C．ab D．a2
4．下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如果将分式中x，y都扩大到原来的2倍，则分式的值（　　）
A．扩大到原来的2倍 B．不变
C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的．
6．不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为（　　）
A． B． C． D．
7．若a、b是实数，且分式＝0，则3a+b的值是（　　）
A．10 B．10或2 C．2 D．非上述答案
8．不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（　　）
A．x+1 B．x2﹣1 C． D．（x+1）2
9．已知abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，则的值为（　　）
A．﹣1 B． C．2 D．
二．填空题（共12小题）
10．在分式，，，，中，最简分式有　 　个．
11．在式子、、、、+、9x+中，分式有　 　个．
12．若式子1+在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
13．式子无意义，则（y+x）（y﹣x）+x2的值等于　 　．
14．分式无意义的条件是　 　．
15．已知﹣（x﹣1）0有意义，则x的取值范围是　 　 ．
16．不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项系数化为整数：＝　 　．
17．不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则＝　 　．
18．若，则＝　 　；若，则＝　 　．
19．已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是　 　．
20．若分式的值为0，则m的值为　 　．
21．①已知x＝3是方程＝1的一个根，则a＝　 　；
②已知x＝1是方程的一个增根，则k＝　 　．
三．解答题（共39小题）
22．把下列各式化为最简分式：
（1）＝　 　 　； （2）＝　 　 　．
23．已知y＝3xy+x，求代数式的值．



24．若，求的值＝　 　．
25．已知，求分式的值．　 　
26．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是　 　（填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：＝＝
小强：＝＝
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：　 　，
请你接着小强的方法完成化简．
27． 当a取何值时，分式的值为零．


28． 已知分式的值为零，求x的值．



29．



30．计算下列各式：
（1） （2）．



31．阅读下列材料：
小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：
小铭：“我知道一般当m≠n时，m2+n≠m+n2．可是我见到有这样一个神奇的等式：（）2+＝+（）2（其中a，b为任意实数，且b≠0）．你相信它成立吗？”
小雨：“我可以先给a，b取几组特殊值验证一下看看．”
完成下列任务：
（1）请选择两组你喜欢的、合适的a，b的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立；
①当a＝　 　，b＝　 　时，等式　 　（填“成立”或“不成立”）；
②当a＝　 　，b＝　 　时，等式　 　（填“成立”或“不成立”）．
（2）对于任意实数a，b（b≠0），通过计算说明（）2+＝+（）2是否成立．
32．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：＝＝2+＝2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：＝＝1﹣；
再如：＝＝＝x+1+．
解决下列问题：
（1）分式是　 　分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）假分式可化为带分式　 　的形式；
（3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为　 　．
33．先化简，再求值：（﹣）÷（﹣1），其中x是不等式≤x﹣3的最小整数解．


34． 先化简，再求值：÷（﹣），其中a＝+1，b＝﹣1．




35． 先化简，再求值：÷•，其中x＝．



36．观察下列各式：
第一式：；
第二式：＝﹣；
第三式：＝﹣；
…
（1）请你根据观察得到的规律写出这列式子的第n式：　 　；
（2）求和：；
（3）已知a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，求的值．
37．探索发现：＝1﹣；＝﹣；＝﹣…
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）＝　 　，＝　 　；
（2）利用你发现的规律计算：+++…+
（3）灵活利用规律解方程：++…+＝．
38．请阅读下列材料并回答问题：
在解分式方程时，小明的解法如下：
解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣3＝1①
去括号，得2x﹣1＝3﹣1 ②
解得x＝
检验：当x＝时，（x+1）（x﹣1）≠0 ③
所以x＝是原分式方程的解 ④

（1） 你认为小明在哪里出现了错误　 　（只填序号）


（2） 针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出三条解分式方程时的注意事项；



（3） 写出上述分式方程的正确解法．




39． 若关于x的方程只有一个解（相等的解也算作一个），试求k的值与方程的解．



40．因为＝1﹣，＝﹣，…，＝﹣，
所以++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．
解答下列问题：
（1）在和式+++…中，第九项是　 　；第n项是　 　．
（2）解方程++…+＝1﹣．
41．解方程：
（1）＝+2


（2） 若方程＝﹣1的解是正数，求a的取值范围．


42． 解方程：x2+3x﹣＝8．



43．已知关于x的分式方程+＝
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值

（3） 若方程有增根，求m的值


（4） 若方程无解，求m的值．



44.解关于x的方程﹣＝ 时产生了增根，请求出所有满足条件的k的值．




45. a为何值时，关于x的方程会产生增根？



46．疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题：
（1）求购进的第一批医用口罩有多少包？



（2） 政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？



47．春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．
（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；



（3） 若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？



48．某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？



（2） 若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？



49．近年来，安全快捷、平稳舒适的中国高铁，为世界高速铁路商业运营树立了新的标杆．随着中国特色社会主义进入新时代，作为“中国名片”的高速铁路也将踏上自己的新征程，跑出发展新速度，这就意味着今后外出旅行的路程与时间将大大缩短，但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车；已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题：
（1）普通列车的行驶路程为多少千米？



（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度．



50．为顺利通过“国家文明城市”验收，某市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在40天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍．若甲、乙两工程队合作只需要10天完成．
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？


(2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少．


51．骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．
A，B两种型号车的进货和销售价格表：

A型车
B型车
进货价格（元/辆）
1100
1400
销售价格（元/辆）
今年的销售价格
2400
（1） 求今年6月份A型车每辆销售价多少元；


（2） 该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？



52．哈佳高铁建设工程中，有一段6000米的路段由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成的工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用30天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各完成多少米？


(2)由于施工条件限制，每天只能一个工程队施工，但是工程指挥部仍然要求工期不能超过50天，求甲工程队至少施工多少天？


53．用电脑程序控制小型赛车进行50m比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差3m．已知“畅想号”的平均速度为2.5m/s．
（1）求“和谐号”的平均速度；


(2)如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退3m，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点．


54．节日里，姐妹两人在50米的跑道上进行短路比赛，两人从出发点同时起跑，姐姐到达终点时，妹妹离终点还差3米，已知姐妹两人的平均速度分别为a米/秒、b米/秒．
（1）如果两人重新开始比赛，姐姐从起点向后退3米，姐妹同时起跑，两人能否同时到达终点？若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．


(2) 如果两人想同时到达终点，应如何安排两人的起跑位置？请你设计两种方案．



55．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？


(2) 若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？


（3） 在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？




56．某市正在进行“打造宜居靓城，建设幸福之都”活动．在城区美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算，获得以下信息：
信息1：乙队单独完成这项工程需要60天；
信息2：若先由甲、乙两队合做16天，剩下的工程再由乙队单独做20天可以完成；
信息3：甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．
根据以上信息，解答下列问题：
（1） 甲队单独完成这项工程需要多少天？


（2） 若该工程计划在50天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？


57．大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里料的单价的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元．
（1）求面料和里料的单价；


（2）该款外套9月份投放市场的批发价为150元/件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡季，厂方决定采取打折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套的利润不低于30元．
①设10月份厂方的打折数为m，求m的最小值；（利润＝销售价﹣布料成本﹣固定费用）
②进入11月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对VIP客户在10月份最低折扣价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮．已知对VIP客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个VIP客户用9120元批发外套的件数和一个普通客户用10080元批发外套的件数相同，求VIP客户享受的降价率．



58．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
（3）若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．



59．松滋临港贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务，已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资．
（1）求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？


(2)公司制定如下方案，可以单独由甲乙任意一个车主完成，也可以由两车主合作完成．请你通过计算，帮该公司选择一种既省钱又省时的外包方案．


60．在某市实施城中村改造的过程中，“旺鑫”拆迁工程队承包了一项10000m2的拆迁工程．由于准备工作充分，实际拆迁效率比原计划提高了25%，提前2天完成了任务，请解答下列问题：
（1）求“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁多少m2；


（2）为了尽量减少拆迁给市民带来的不便，在拆迁工作进行了2天后，“旺鑫”拆迁工程队的领导决定加快拆迁工作，将余下的拆迁任务在5天内完成，那么“旺鑫”拆迁工程队平均每天至少再多拆迁多少m2？


2021-2022学年八年级上到十五章《分式》检测卷-基础篇
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．【分析】判断分式的依据是看代数式的分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；
a+的分子不是整式，因此不是分式．
，，的分母中含有字母，因此是分式．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
2．【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，从而求出答案．
【解答】解：，
故选：C．
【点评】此题考查了分式的基本性质，一定要熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，是一道基础题．
3．【分析】直接利用分式的基本性质分别代入判断得出答案．
【解答】解：当h＝，原式＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，②分式分子的符号，分式分母的符号，分式本身的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变．
4．【分析】根据分式的基本性质依次进行判断即可．
【解答】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、，原变形不符合分式的运算法则，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、，原变形不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
5．【分析】x，y都扩大成原来的2倍就是变成2x和2y．用2x和2y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
【解答】解：用2x和2y代替式子中的x和y得：＝，
则分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的基本性质，解题的关键是把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
6．【分析】因为要求不改变分式的值，把的分子分母的各项系数都化为整数，根据此题的特点，只要将分子、分母同乘以10即可．
【解答】解：∵不改变分式的值，
∴把的分子分母的各项系数都乘以10得：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式的基本性质，运用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基本性质：＝，＝（其中m≠0）和分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变．
7．【分析】根据分式为0的条件得，再根据绝对值的非负性以及平方的非负性，求得a＝2，b＝4，从而解决此题．
【解答】解：∵分式＝0，
∴．
∴b≠﹣4．
又∵（a﹣2）2≥0，|b2﹣16|≥0，
∴（a﹣2）2＝0，|b2﹣16|＝0．
∴a＝2，b＝4．
∴3a+b＝3×2+4＝10．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式值为0的条件、绝对值的非负性、平方的非负性，熟练掌握分式值为0的条件、绝对值的非负性、平方的非负性是解决本题的关键．
8．【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断．
【解答】解：A、当x＝﹣1时，x+1＝0，故不合题意；
B、当x＝±1时，x2﹣1＝0，故不合题意；
C、分子是1，而1≠0，则≠0，故符合题意；
D、当x＝﹣1时，（x+1）2＝0，故不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
9．【分析】由a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac＝；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．
【解答】解：由a+b+c＝2，两边平方，
得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝4，
将已知代入，得ab+bc+ac＝；
由a+b+c＝2得：c﹣1＝1﹣a﹣b，
∴ab+c﹣1＝ab+1﹣a﹣b＝（a﹣1）（b﹣1），
同理，得bc+a﹣1＝（b﹣1）（c﹣1），
ca+b﹣1＝（c﹣1）（a﹣1），
∴原式＝++
＝
＝
＝
＝＝﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果．
二．填空题（共12小题）
10．【分析】根据最简分式的定义对各个分式逐一判断即可得．
【解答】解：＝＝，
是最简分式，
＝＝m﹣n，
＝＝，
＝＝﹣1，
所以最简分式只有1个，
故答案为：1．
【点评】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．本题的关键是找出分子分母的公因式．
11．【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：式子、、9x+的分母中含有字母，属于分式，其他的分母中不含有字母，不是分式．
故答案是：3．
【点评】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．
12．【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．
【解答】解：若式子1+在实数范围内有意义，则x+2≠0，即x≠﹣2，
故答案为：x≠﹣2．
【点评】本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
13．【分析】根据式子无意义，先确定y的值，再化简代数式（y+x）（y﹣x）+x2，最后代入求值．
【解答】解：因为式子无意义，所以3y﹣1＝0，y＝．
（y+x）（y﹣x）+x2＝y2﹣x2+x2＝y2
当y＝时，原式＝（）2＝
故答案为：
【点评】本题考查了分式无意义的条件和多项式的化简求值．当分母等于0时，分式无意义．
14．【分析】根据分式无意义的条件是分母等于零可得x﹣1＝0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣1＝0，
解得：x＝1，
故答案为：x＝1．
【点评】此题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件是分母等于零．
15．【分析】根据分式有意义，分母不等于0，零指数幂的底数不等于0解答．
【解答】解：由题意得，x﹣2≠0且x﹣1≠0，
解得x≠2且x≠1．
故答案为：x≠2且x≠1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
16．【分析】根据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．
【解答】解：分子分母都乘以10，分式的值不变，得
，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的基本性质．在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求．
17．【分析】分式中在分子，分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．因而在分子的符号，分母的符号，分式本身的符号，三者中同时改变其中的两个分式的值不变．
【解答】解：∵分式分子，分母的符号同时改变，分式的值不变，
∴＝．
故答案为．
【点评】这类题目容易出现的错误是把分子的符号，分母的项的符号，特别是首项的符号当成分子或分母的符号．
18．【分析】（1）可设a＝3x，b＝4x，c＝3y，d＝4y，e＝3z，f＝4z，将其代入原式即可；
（2）将已知条件变换即可得．
【解答】解：1）可设a＝3x，b＝4x，c＝3y，d＝4y，e＝3z，f＝4z，将其代入分式得：＝＝；
（2）由已知可得出，3（x﹣2y）＝2y，3x＝8y，所以＝．
故答案为、．
【点评】在分式中，无论进行何种运算，如果要不改变分式的值，则所做变化必须遵循分式基本性质的要求．
19．【分析】将已知条件进行变换，然后将分式代简，即可得出结果．
【解答】解：∵＝，
∴＝3，即+＝3①；
同理可得+＝4②，
+＝5③；
∴①+②+③得：2（++）＝3+4+5；++＝6；
又∵的倒数为，即为++＝6，则原数为．
故答案为．
【点评】本题先把已知式子转化为倒数计算，可使计算简便．
20．【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：由题意，得
m2﹣9＝0且m+3≠0，
解得m＝3，
故答案为：3．
【点评】此题考查分式的值为零的问题，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
21．【分析】①中有两个未知数，但x的值是已知的，只需把x的值代入即可．
②增根是由整式方程解出的不适合分式方程的根，所以要把x＝1代入化为整式方程的方程来求解．
【解答】解：①把x＝3代入原方程，得
，解得a＝3，
经检验，a＝3是分式方程的解．
②方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得
x（x+1）+k（x+1）＝x（x﹣1），
把x＝1代入得，k＝﹣1．
【点评】①属于一元一次方程的问题，比较简单；
②属于增根问题，增根需代入化为整式方程的方程才能求得未知字母的值．
三．解答题（共39小题）
22．【分析】（1）先把分子和分母分解因式，再约分即可；
（2）先把分子和分母分解因式，再约分即可．
【解答】解：（1）
＝
＝，
故答案为：；

（2）
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了最简分式，分式的基本性质的应用，能正确根据分式的基本性质进行约分是解此题的关键．
23．【分析】根据已知条件y＝3xy+x，求出x﹣y与xy的关系，再将所求分式的分子、分母整理成x﹣y与xy和的形式，进行整体代入求解．
【解答】解：因为y＝3xy+x，所以x﹣y＝﹣3xy，当x﹣y＝﹣3xy时，．
【点评】运用整体代入法时解答本题的关键．本题首先根据已知条件得到x﹣y＝﹣3xy，再把要求的代数式化简成含有x﹣y的式子，然后整体代入，使代数式中只含有xy，约分后得解．
24．【分析】将通分变形，转化为x﹣y＝﹣3xy，再把它整体代入原式约分求值．
【解答】解：∵，∴x﹣y＝﹣3xy，再把它整体代入原式：＝＝3．
故答案为3．
【点评】正确对已知的式子进行变形，用已知的式子把未知的式子表示出来，是代数式求值的一种基本思路．
25．【分析】先将整理变形，转化为，再将分式化简，求出分式的值．
【解答】解：由整理变形，转化为，分式＝．
故答案为．
【点评】解决本题的关键是将式子整理变形，对分式进行化简．
26．【分析】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题；
（2）根据和谐分式的定义可以得到a的值；
（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题．
【解答】解：（1）②分式＝，不可约分，
∴分式是和谐分式，
故答案为：②；

（2）∵分式为和谐分式，且a为正整数，
∴a＝4，a＝5；

（3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，
原式＝＝＝＝
故答案为：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．
【点评】本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答．
27．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由分式的值为零，得
3﹣|a|＝0，且6+2a≠0．
解得a＝3，
当a＝3时，分式的值为零．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
28．【分析】根据分式的值为0，分子为0且分母不为0，可得出x的值．
【解答】解：根据题意得，x2﹣5x﹣6＝0，
即（x+1）（x﹣6）＝0，
∴x+1＝0，x﹣6＝0，
解得x＝﹣1或x＝6，
又x+1≠0，
解得x≠﹣1，
∴x的值是6．
【点评】本题考查了分式值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子为0且分母不为0是解题的关键．
29．【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．
【解答】解：
＝
＝
＝﹣y．
故答案为﹣y．
【点评】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．
30．【分析】（1）先将除法转化为乘法，再计算乘法即可得；
（2）先通分，再计算减法，最后约分即可得．
【解答】解：（1）原式＝•（﹣）•
＝﹣；

（2）原式＝﹣
＝
＝﹣
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
31．【分析】（1）任取两个符合要求的数代入题目中的式子，等式两边的结果看是否一致即可解答本题；
（2）分别对等式两边展开化简，看最后的结果是否相等，即可解答本题．
【解答】解：（1）①当a＝1，b＝1时，
（）2+＝，+（）2＝＝1，
∴（）2+＝+（）2成立，
故答案为：1，1，成立；
②当a＝1，b＝2时，
（）2+＝，+（）2＝＝，
∴（）2+＝+（）2成立，
故答案为：1，2，成立；
（2）∵，
，
∴等式＝成立．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
32．【分析】（1）根据阅读材料中真分式与假分式的定义判断即可；
（2）原式变形，化为带分式即可；
（3）分式化为带分式后，即可确定出x的整数值．
【解答】解：（1）分式是真分式；
（2）＝＝1﹣；
（3）＝＝2﹣为整数，
则x的可能整数值为 0，﹣2，2，﹣4．
故答案为：（1）真；（2）1﹣；（3）0，﹣2，2，﹣4
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
33．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出不等式的取值范围，找出符合条件的x的最小整数解代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]÷（﹣）
＝[﹣]÷
＝•
＝，
解不等式≤x﹣3，得：x≥4，
则不等式得最小整数解为x＝4，
当x＝4时，分式无意义，
所以符合条件的x的最小整数解为x＝5，
则原式＝．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
34．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把a、b的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝+1，b＝﹣1时，原式＝＝1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
35．【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后代入计算即可．
【解答】解：••
＝，
当x＝时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
36．【分析】（1）直接根据给出的例子找出规律即可；
（2）根据（1）中的规律直接计算即可；
（3）先根据相反数的定义求出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵第一式，第二式＝﹣，第三式＝﹣，
∴第n式＝﹣．
故答案为：＝﹣；

（2）原式＝﹣+﹣+…+﹣
＝﹣
＝﹣
＝；

（3）∵a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，
∴a2﹣6a+9+|b﹣1|＝0，即（a﹣3）2+|b﹣1|＝0，
∴a＝3，b＝1，
∴原式＝++…+
＝﹣+﹣+…+﹣
＝﹣
＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
37．【分析】（1）利用分式的运算和题中的运算规律求解；
（2）利用前面的运算规律得到原式＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣，然后合并后通分即可；
（3）利用前面的运算规律方程化为（﹣+﹣+…+﹣）＝，然后合并后解分式方程即可．
【解答】解：（1）＝﹣，＝﹣；
（2）原式＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；
（3）（﹣+﹣+…+﹣）＝，
（﹣）＝
﹣＝，
＝，
解得x＝50，
经检验，x＝50为原方程的根．
故答案为﹣，﹣．
【点评】本题考查了解分式方程：熟练掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．理解分式的计算规律：＝﹣．
38．【分析】（1）观察解方程过程，找出错误步骤即可；
（2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，写出三条注意事项即可；
（3）写出正确的解答过程即可．
【解答】解：（1）小明在①②出现了错误；
故答案为：①②；
（2）三条注意事项：去分母时，注意方程中的每项都要乘以最简公分母；去括号时，注意正确运用去括号法则；解整式方程求出x要进行检验；
（3）正确解法为：
去分母得：2（x﹣1）﹣3（x+1）＝1，
去括号得：2x﹣2﹣3x﹣3＝1，
移项合并得：﹣x＝6，
解得：x＝﹣6，
经检验x＝﹣6是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
39．【分析】先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出k的值．
【解答】解：原方程化为kx2+（2﹣3k）x﹣1＝0①．
（1）当k＝0时，原方程有一个解，x＝；
（2）当k≠0时，方程①△＝5k2+4（k﹣1）2＞0，总有两个不同的实数根，
由题意知必有一个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是0或1，显然0不是①的根，
故x＝1，得k＝．
综上可知，k的值为0或，当k＝0时，方程的解为x＝；k＝时，方程的解为x＝﹣2．
【点评】本题考查了解分式方程．注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能是转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析．
40．【分析】（1）归纳总结得到第九项，确定出第n项即可；
（2）方程利用拆项法变形，计算即可求出解．
【解答】解：（1）第九项为；第n项是；
（2）方程整理得：﹣+﹣+…+﹣＝1﹣，
整理得：﹣＝1﹣，即＝1，
解得：x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．
故答案为：（1）；
【点评】此题考查了解分式方程，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
41．【分析】（1）方程两边都乘以3（x﹣3），化分式方程为整式方程，解之求得x的值后检验即可得；
（2）去分母化分式方程为整式方程，解之可得x＝，根据方程的解为正数知＞0且x≠2，即≠2，解之可得答案．
【解答】解：（1）方程两边都乘以3（x﹣3），得：2x+9＝3（4x﹣7）+6（x﹣3），
解得：x＝3，
检验：x＝3时，3（x﹣3）＝0，
则x＝3是分式方程的增根，
所以原分式方程无解；

（2）两边都乘以x﹣2，得：2x+a＝2﹣x，
解得：x＝，
∵方程的解为正数，
∴＞0，且x≠2，即≠2，
解得：a＜2且a≠﹣4．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论，并根据题意得出关于a的不等式．
42．【分析】根据换元法：设u＝，可得关于u的分式方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：设u＝，原方程等价于﹣20u＝8．
化简，得
20u2+8u﹣1＝0．
解得u＝，u＝﹣．
当u＝时，x2+3x＝10．解得x＝﹣5，x＝2，经检验x＝﹣5，x＝2是原分式方程的解；
当u＝﹣时，x2+3x+2＝0．解得x＝﹣1，x＝﹣2，经检验：x＝﹣1，x＝﹣2是原分式方程的解；
综上所述：x＝﹣5，x＝2，x＝﹣1，x＝﹣2是原分式方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，换元法是解题关键，要检验分式方程的解，以防产生增根，体现了化繁为简的化归转化思想．
43．【分析】方程去分母转化为整式方程，
（1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可；
（2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值；
（3）分m+1＝0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），
去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，
移项合并得：（m+1）x＝﹣5，
（1）∵x＝1是分式方程的增根，
∴1+m＝﹣5，
解得：m＝﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣2或x＝1，
当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6；
（3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m＝，
综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
44．【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据方程的增跟适合整式方程，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：方程去分母后得：（k+2）x＝﹣3，分以下两种情况：
令x＝1，k+2＝﹣3，∴k＝﹣5
令x＝﹣2，﹣2（k+2）＝﹣3，∴k＝﹣，
综上所述，k的值为﹣5，或﹣．
【点评】本题考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出关于k的方程是解题关键．
45．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣2）（x﹣2）＝0，得到x＝2或﹣2，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣2）（x+2），
得x+2+ax＝3（x﹣2）
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣2）（x+2）＝0，
解得x＝2或﹣2，
x＝2时，a＝﹣2，
当x＝﹣2，a＝6，
当a＝﹣2或a＝6时，关于x的方程会产生增根．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
46．【分析】（1）设购进的第一批医用口罩有x包，根据“每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元”列出方程并解答．
（2）设药店销售该口罩每包的售价是y元，根据“售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱”列出不等式．
【解答】（1）设购进的第一批医用口罩有x包，则
＝﹣0.5．
解得：x＝2000．
经检验x＝2000是原方程的根并符合实际意义．
答：购进的第一批医用口罩有2000包；

（2）设药店销售该口罩每包的售价是y元，则由题意得：
[2000+2000（1+50%）]y﹣4000﹣7500≤3500．
解得：y≤3．
答：药店销售该口罩每包的最高售价是3元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
47．【分析】（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，根据第二批购进数量是第一批箱数的倍，列方程求解；
（2）设每箱饮料的标价为y元，根据两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%，列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进（x+20）元，
根据题意，得
解得：x＝200
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，∴第一批箱装饮料每箱的进价是200元．
（2）设每箱饮料的标价为y元，
根据题意，得（30+40﹣10）y+0.8×10y≥（1+36%）（6000+8800）
解得：y≥296
答：至少标价296元．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意找出题目所给的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
48．【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为360平方米区域的绿化时甲队比乙队少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，根据总费用＝700×甲队工作时间+500×乙队工作时间结合这次的绿化总费用不超过14500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x平方米，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5x平方米，
依题意，得：﹣＝3，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝60．
答：甲工程队每天能完成绿化的面积是60平方米，乙工程队每天能完成绿化的面积是40平方米．

（2）设安排甲队工作m天，则需安排乙队工作天，
依题意，得：700m+500×≤14500，
解得：m≥10．
所以m最小值是10．
答：至少应安排甲队工作10天．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
49．【分析】（1）根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可得出答案；
（2）设普通列车平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）普通列车的行驶路程为：400×1.3＝520（千米）；

（2）设普通列车的平均速度为x千米/时，则高铁的平均速度为2.5x千米/时，则题意得：
＝﹣3，
解得：x＝120，
经检验x＝120是原方程的解，
则高铁的平均速度是120×2.5＝300（千米/时），
答：普通列车的平均速度是120千米/时，高铁的平均速度是300千米/时．
【点评】此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验．
50．【分析】（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题；
（2）首先根据（1）中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．
【解答】解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天．
根据题意得：，
方程两边同乘以2x，得
2x＝30
解得：x＝15
经检验，x＝15是原方程的解．
∴当x＝15时，2x＝30．
答：甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天；
（2）因为甲乙两工程队均能在规定的40天内单独完成，所以有如下三种方案：
方案一：由甲工程队单独完成．所需费用为：4.5×15＝67.5（万元）；
方案二：由乙工程队单独完成．所需费用为：2.5×30＝75（万元）；
方案三：由甲乙两队合作完成．所需费用为：（4.5+2.5）×10＝70（万元）．
∵75＞70＞67.5
∴应该选择甲工程队承包该项工程．
【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
51．【分析】（1）设去年6月份A型车每辆销售价x元，那么今年6月份A型车每辆销售（x+400）元，根据销售总额和每辆销售价列出方程，即可解决问题．
（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，先求出m的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题．
【解答】解：（1）设去年6月份A型车每辆销售价x元，那么今年6月份A型车每辆销售（x+400）元，
根据题意得＝，
解得：x＝1600，
经检验，x＝1600是方程的解．
x＝1600时，x+400＝2000．
答：今年6月份A型车每辆销售价2000元．

（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，
根据题意得50﹣m≤2m，
解得：m≥16，
∵y＝（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）＝﹣100m+50000，
∴y随m 的增大而减小，
∴当m＝17时，可以获得最大利润．
答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．
【点评】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据单价＝总价÷数量，列出关于x的分式方程；（2）根据总利润＝单辆利润×购进数量，找出w关于m的函数关系式．
52．【分析】（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米．根据甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用30天，列方程求解；
（2）设甲工程队至少施工a天，根据工期不能超过50天，列出不等式，再进行求解即可得出答案．
【解答】解：（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米．
＝+30
解得x＝100，
经检验：x＝100是原方程的解
2x＝2×100＝200 （米）
答：甲、乙两工程队每天分别完成200米、100米；

（2）设甲工程队施工a天，根据题意得：
200a+100（50﹣a）≥6000，
解得：a≥10，
答：甲工程队至少施工10天．
【点评】此题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，理解题意，找出等量关系和不等关系是解决问题的关键．
53．【分析】（1）设“和谐号”的平均速度为x，根据，“畅想号”运动50m与“和谐号”运动47m所用时间相等，可得方程，解出即可．
（2）不能同时到达，设调整后“和谐号”的平均速度为y，根据时间相等，得出方程求解即可．
【解答】解：（1）设“和谐号”的平均速度为xm/s，
由题意得，＝，
解得：x＝2.35，
经检验x＝2.35是原方程的解．
答：“和谐号”的平均速度2.35m/s．

（2）不能同时到达．
设调整后“和谐号”的平均速度为y，
＝，
解得：y＝．
答：调整“和谐号”的车速为m/s可使两车能同时到达终点．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，建立方程，难度一般．
54．【分析】（1）姐妹两人在相同时间内所走的路程之比为：50：47，可得两人的速度之比为50：47，设出其中一人的速度，得到另一人的速度，分别算出两人到底终点的时间，比较即可得到谁先到达终点；
（2）①若妹妹在起跑线不动，表示出同时到终点所用时间，所以姐姐应该后退的米数为姐姐的速度乘以到达的时间数﹣50；
②同理，若姐姐在起跑线不动，则妹妹只需向前3米，便可与姐姐同时到达终点．
【解答】解：（1）姐妹两人在相同时间内所走的路程之比为：50：47，可得两人的速度之比为50：47，设姐姐的速度为50k米/秒，则妹妹的速度为47k米/秒，
姐姐所用的时间为：秒，
妹妹所用的时间为：秒，
﹣＝＝＜0，
∴姐姐先到；

（2）若安排姐姐后退，则两人同时到达的时间为妹妹跑50米用的时间为，此时姐姐跑的米数为：×50k＝米，
后退的米数为：﹣50＝米；
若安排妹妹前进，则两人同时到达的时间为姐姐跑50米用的时间为＝，此时妹妹跑的米数为：×47k＝47m，需前进的米数为50﹣47＝3米；
答：姐姐后退米或妹妹前进3米．
【点评】考查行程问题的相关的知识点；判断出姐妹两人的速度之比是解决本题的突破点．
55．【分析】（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，根据题意建立方程求出其解就可以了．
（2）本题中“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出不等式；
（3）根据“使销售两种商品的总利润（利润＝售价﹣进价）超过380元”可以得出关于利润的不等式，组成不等式组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案．
【解答】解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，
根据题意，得＝，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．

（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．
由题意得：3y﹣5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；

（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，
解得：y＞23．
∵y为整数，y≤25，
∴y＝24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【点评】本题考查了列分式方程解应用题与列不等式组解实际问题的运用，重点在于准确地找出相等关系与不等关系．
56．【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需x天，总工作量为单位1，根据题意列方程求解；
（2）分别求出甲乙单独和甲乙合作所需要的钱数，然后比较大小．
【解答】解：（1）设：甲队单独完成这项工程需要x天．
由题意可列：
解得：x＝40
经检验，x＝40是原方程的解．
答：甲队单独完成这项工程需要40天；
（2）
因为：
全程用甲、乙两队合做需要：（3.5+2）×24＝132万元
单独用甲队完成这项工程需要：40×3.5＝140万元
单独用乙队完成这项工程需要：60×2＝120万元，但60＞50．
所以，全程用甲、乙两队合做该工程最省钱．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
57．【分析】（1）设里料的单价为x元/米，面料的单价为（2x+10）元/米，根据成本为76元，列方程求解即可；
（2）设打折数为m，根据利润大于等于30元，列不等式求解即可；
（3）设vip客户享受的降价率为x，然后根据VIP客户与普通用户批发件数相同，列方程求解即可．
【解答】解：（1）设里料的单价为x元/米，面料的单价为（2x+10）元/米，根据题意得：
0.8x+1.2（2x+10）＝76，
解得：x＝20，
∴2x+10＝2×20+10＝50．
答：面料的单价为50元/米，里料的单价为20元/米．

（2）设打折数为m，根据题意得：
150×﹣76﹣14≥30，
解得：m≥8，
∴m的最小值为8．
答：m的最小值为8．

（3）150×0.8＝120元．
设vip客户享受的降价率为x，根据题意得：
，
解得：x＝0.05
经检验x＝0.05是原方程的解．
答：vip客户享受的降价率为5%．
【点评】本题主要考查的是一元一次方程、一元一次不等式以及分式方程的应用，找出题目的相等关系和不等关系是解题的关键．
58．【分析】方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，求出费用即可判断，方案（2）显然不符合要求．
【解答】解：设规定日期为x天．由题意得
+＝1，
3（x+6）+x2＝x（x+6），
3x＝18，
解之得：x＝6．
经检验：x＝6是原方程的根．
方案（1）：1.2×6＝7.2（万元）；
方案（2）比规定日期多用6天，显然不符合要求；
方案（3）：1.2×3+0.5×6＝6.6（万元）．
∵7.2＞6.6，
∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
59．【分析】（1）设甲车主每天能运输x吨货物，则乙车主每天能运输1.5x吨货物，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据工作时间＝工作总量÷工作效率及总费用＝每日所需费用×运输天数，分别求出甲车主单独完成、乙车主单独完成及甲、乙两车主合作完成所需时间及总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲车主每天能运输x吨货物，则乙车主每天能运输1.5x吨货物，
根据题意得：﹣＝10，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝24．
答：甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物．
（2）甲车主单独完成所需时间为480÷16＝30（天），
乙车主单独完成所需时间为480÷24＝20（天），
甲、乙两车主合作完成所需时间为480÷（16+24）＝12（天），
甲车主单独完成所需费用为30×（800+200）＝30000（元），
乙车主单独完成所需费用为20×（1200+200）＝28000（元），
甲、乙两车主合作完成所需费用为12×（800+1200+200）＝26400（元）．
∵30000＞28000＞26400，30＞20＞12，
∴该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）分别求出三种外包方案所需时间及总费用．
60．【分析】（1）设“旺鑫”拆迁工程队原计划平均每天拆迁xm2．根据它们速率提高前后的时间差为2天列出方程并解答；
（2）设“旺鑫”拆迁工程队平均每天再多拆迁ym2．根据工作时间必须在5天内完成列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设“旺鑫”拆迁工程队原计划平均每天拆迁xm2．
由题意，得﹣＝2，
解得x＝1000，
经检验，x＝1000是原方程的解并符合题意．
（1+25%）×1000＝1250（m2）．
答：“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁1250 m2．

（2）设“旺鑫”拆迁工程队平均每天再多拆迁ym2．
由题意，得5（1250+y）≥10000﹣2×1250
解得y≥250．
答：“旺鑫”拆迁工程队平均每天至少再多拆迁250m2．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程求解．
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日期：2022/1/5 10:56:49；用户：江凯旋；邮箱：18079131761；学号：41362289