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2021-2022学年上学期初中数学北师大新版七年级期末必刷常考题之探索与表达规律
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这是一份2021-2022学年上学期初中数学北师大新版七年级期末必刷常考题之探索与表达规律，共20页。试卷主要包含了观察下列两行数，请观察等内容，欢迎下载使用。
1．（2021春•吉安县期末）求1+2+22+23+…+22021的值，可令S＝1+2+22+23+…+22021，则2S＝2+22+23+24+…+22022，因此2S﹣S＝22022﹣1．仿照以上推理，计算出1+3+32+33+…+32021的值为（ ）
A．32021﹣1B．32022﹣1C．D．
2．（2021春•邵阳县期末）图中的式子是按规律排列的一列等式，按规律写出用含n（n为自然数）的式子表示的第n个等式是（ ）
A．n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2
B．n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+2）+2]2
C．（n﹣1）n（n+1）（n+2）+1＝[n（n+2）﹣2]2
D．（n﹣1）n（n+1）（n+2）+1＝[n（n+1）﹣1]2
3．（2020秋•宁波期末）计算：31﹣1＝2，32﹣1＝8，33﹣1＝26，34﹣1＝80，35﹣1＝242，…，归纳并计算结果中的个位数字的规律，猜测32021的个位数字是（ ）
A．1B．2C．3D．9
4．（2020秋•温江区校级期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2021次输出的结果为（ ）
A．6B．3C．24D．12
5．（2021春•保山期末）按一定规律排列的单项式：﹣2a2，4a4，﹣8a6，16a8，﹣32a10，64a12，…，第n个单项式是（ ）
A．（﹣2）na2（n﹣1）B．（﹣2）na2n
C．（﹣2）n﹣1a2nD．（﹣2）n﹣1a2（n﹣1）
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•郏县期末）观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，
1，4，7，10，13，16，19，22，25，
探索发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是115，则n等于 ．
7．（2021春•滦州市期末）为计算1+2+22+23+…+22019，可另S＝1+2+22+23+…+22019，则2S＝2+22+23+24+…+22020，因此2S﹣S＝22020﹣1，根据以上解题过程，猜想：1+3+32+33+…+32019＝ ．
8．（2020秋•天桥区期末）小刚在做数学题时，发现下面有趣的结果：
第1行：3﹣2＝1
第2行：8+7﹣6﹣5＝4
第3行：15+14+13﹣12﹣11﹣10＝9
第4行：24+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17＝16
……
根据以上规律，“2021”在第m行，从左往右数第n个，那么m+n＝ ．
9．（2020秋•鄞州区期末）如图，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，则1+3+5+7+…+399＝ ．
10．（2021春•玉屏县期末）请观察：﹣、1、﹣、1、﹣、…则第100个数是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•霍邱县期末）观察如图图形及对应的等式：①12＝02+1；②22＝12+3；③32＝22+5；④42＝32+7；…
（1）根据上面的规律，写出第⑦个等式： ．
（2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并验证你的猜想是正确的．
12．（2021春•开江县期末）观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝ 2＝ 2；
根据以上规律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝ 2＝ 2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
13．（2021春•南陵县期末）观察下面各式的规律：
12+（1×2）2+22＝（1×2+1）2；
22+（2×3）2+32＝（2×3+1）2；
32+（3×4）2+42＝（3×4+1）2；
…
（1）写出第2021个式子；
（2）写出第n个式子，并验证你的结论．
14．（2021春•蜀山区期末）观察以下等式：
第1个等式：1×3﹣0×4＝3；
第2个等式：2×4﹣1×5＝3；
第3个等式：3×5﹣2×6＝3；
第4个等式：4×6﹣3×7＝3；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示）．
（3）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？请说明理由．
15．（2020•安徽）观察以下等式：
第1个等式：×（1+）＝2﹣，
第2个等式：×（1+）＝2﹣，
第3个等式：×（1+）＝2﹣，
第4个等式：×（1+）＝2﹣．
第5个等式：×（1+）＝2﹣．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版七年级期末必刷常考题之探索与表达规律
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•吉安县期末）求1+2+22+23+…+22021的值，可令S＝1+2+22+23+…+22021，则2S＝2+22+23+24+…+22022，因此2S﹣S＝22022﹣1．仿照以上推理，计算出1+3+32+33+…+32021的值为（ ）
A．32021﹣1B．32022﹣1C．D．
【考点】有理数的混合运算；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力；应用意识．
【分析】根据题中规律令原式等于S，求出3S，再用3S﹣S计算整理即可．
【解答】解：令S＝1+3+32+33+…+32021，
则3S＝3+32+33+…+32022，
∴3S﹣S＝3+32+33+…+32022﹣（1+3+32+33+…+32021）＝32022﹣1，
即2S＝32022﹣1，
∴S＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据题中规律令原式乘3是解题的关键．
2．（2021春•邵阳县期末）图中的式子是按规律排列的一列等式，按规律写出用含n（n为自然数）的式子表示的第n个等式是（ ）
A．n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2
B．n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+2）+2]2
C．（n﹣1）n（n+1）（n+2）+1＝[n（n+2）﹣2]2
D．（n﹣1）n（n+1）（n+2）+1＝[n（n+1）﹣1]2
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】整式；运算能力；推理能力．
【分析】观察所给式子，找到规律第n个式子的左边＝（n﹣1）n（n+1）（n+2），再将此式子化简可得（n﹣1）n（n+1）（n+2）＝[n（n+1）﹣1]2．
【解答】解：通过观察所给式子，第n个式子的左边＝（n﹣1）n（n+1）（n+2），
∵0×1×2×3+1＝12＝（1×2﹣1）2
1×2×3×4+1＝52＝（2×3﹣1）2
2×3×4×5+1＝112＝（3×4﹣1）2
3×4×5×6+1＝192＝（4×5﹣1）2
……
（n﹣1）n（n+1）（n+2）＝[n（n+1）﹣1]2，
∴（n﹣1）n（n+1）（n+2）＝[n（n+1）﹣1]2，
故选：D．
【点评】本题考查多项式乘以多项式，数字的变化规律，根据所给图形能够找到规律，得到多项式后能够因式分解是解题的关键．
3．（2020秋•宁波期末）计算：31﹣1＝2，32﹣1＝8，33﹣1＝26，34﹣1＝80，35﹣1＝242，…，归纳并计算结果中的个位数字的规律，猜测32021的个位数字是（ ）
A．1B．2C．3D．9
【考点】有理数的混合运算；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】由31＝3，32＝9，33＝7，34＝1，35＝243，…得出末尾数字以3，9，7，1四个数字不断循环出现，由此用2021除以4看得出的余数确定个位数字即可．
【解答】解：∵2021÷4＝505…1，
∴32021的个位数字是3，
故选：C．
【点评】本题考查了尾数的特征，关键是能根据题意得出个位数字循环的规律是解决问题的关键．
4．（2020秋•温江区校级期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2021次输出的结果为（ ）
A．6B．3C．24D．12
【考点】有理数的混合运算；代数式求值；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；实数；推理能力．
【分析】根据运算的程序，把24代入，求出前几个数，可发现从第2个数开始，每2个数循环出现，据此作答即可．
【解答】解：第1次输出的数为：；
第2次输出的数为：；
第3次输出的数为：；
第4次输出的数为：3+3＝6；
第5次输出的数为：；
…
由此得从第2个数开始，每2个数循环出现，
∵（2021﹣1）÷2＝1010，
∴第2021次输出的数为3．
故选：B．
【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，代数式求值，解答的关键是根据所给的程序写出前几个数，从而总结出规律．
5．（2021春•保山期末）按一定规律排列的单项式：﹣2a2，4a4，﹣8a6，16a8，﹣32a10，64a12，…，第n个单项式是（ ）
A．（﹣2）na2（n﹣1）B．（﹣2）na2n
C．（﹣2）n﹣1a2nD．（﹣2）n﹣1a2（n﹣1）
【考点】规律型：数字的变化类；单项式．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】通过分析单项式的系数和指数与单项式的序号之间的关系找出规律即可．
【解答】解：观察排列的单项式可以发现：①均为关于字母a的单项式；
②序号为奇数的项为负，序号为偶数的项为正；
③单项式的系数的绝对值为2的幂，幂的指数与序号相同；
④每个单项式中a的指数是序号的2倍．
由上述规律可得第n个单项式是：（﹣2）na2n．
故选：B．
【点评】本题主要考查了数字的变化的规律，单项式的系数与次数，准确找出单项式的系数和指数与单项式的序号之间的关系规律是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•郏县期末）观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，
1，4，7，10，13，16，19，22，25，
探索发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是115，则n等于 20 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；应用意识．
【分析】根据规律可知，第n个相同的数是6（n﹣1）+1，令6（n﹣1）+1＝115，求出n值即可．
【解答】解：由题知，第1个相同的数是1＝0×6+1，
第2个相同的数是7＝1×6+1，
第3个相同的数是13＝2×6+1，
..．
第n个相同的数是6（n﹣1）+1，
令6（n﹣1）+1＝115，
解得n＝20，
故答案为：20．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，归纳出第n个相同的数是6（n﹣1）+1是解题的关键．
7．（2021春•滦州市期末）为计算1+2+22+23+…+22019，可另S＝1+2+22+23+…+22019，则2S＝2+22+23+24+…+22020，因此2S﹣S＝22020﹣1，根据以上解题过程，猜想：1+3+32+33+…+32019＝ ．
【考点】有理数的混合运算；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】根据题意设M＝1+3+32+33+…+32019，则可得3M＝3+32+33+34+…+32020，即可得3M﹣M的值，计算即可得出答案．
【解答】解：设M＝1+3+32+33+…+32019，
则3M＝3+32+33+34+…+32020，
3M﹣M＝3+32+33+34+…+32020﹣（1+3+32+33+…+32019），
2M＝32020﹣2，
则M＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数字的变化规律，准确理解题目所给的例题解法进行求解是解决本题的关键．
8．（2020秋•天桥区期末）小刚在做数学题时，发现下面有趣的结果：
第1行：3﹣2＝1
第2行：8+7﹣6﹣5＝4
第3行：15+14+13﹣12﹣11﹣10＝9
第4行：24+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17＝16
……
根据以上规律，“2021”在第m行，从左往右数第n个，那么m+n＝ 48 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】根据左起第一个数3，8，15，24…的变化规律得出第n行左起第一个数为（n+1）2﹣1，每一行数的个数为2n+1，由此估算出2021所在的行数，以及所在行数的位置即可．
【解答】解：∵（43+1）2﹣1＝1935，
（44+1）2﹣1＝2024，
∴2021这个数出现在第44行，左起第2024﹣2021+1＝4个数．
∴m＝44，n＝4，
∴m+n＝44+4＝48，
故答案为48．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，找出数字之间的联系，根据已知得出数字的变化规律解决问题．
9．（2020秋•鄞州区期末）如图，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，则1+3+5+7+…+399＝ 40000 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】根据观察发现，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，根据此规律进行计算即可得解．
【解答】解：1+3+5+7+9+…+399＝2002＝40000，
故答案为：40000．
【点评】本题考查了数字变化规律，观察出平方的底数与等式左边首尾两个奇数的关系是解题的关键．
10．（2021春•玉屏县期末）请观察：﹣、1、﹣、1、﹣、…则第100个数是 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】由所给的数分析其规律，再写出第100个数即可．
【解答】解：∵＝（﹣1）1×，
1＝（﹣1）2×，
＝（﹣1）3×，
1＝（﹣1）4×，
＝（﹣1）5×，
…
∴第n个数为：（﹣1）n×，
∴第100个数为：（﹣1）100×＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类，解答的关键是分析清楚所给数字之间的关系，得出规律．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•霍邱县期末）观察如图图形及对应的等式：①12＝02+1；②22＝12+3；③32＝22+5；④42＝32+7；…
（1）根据上面的规律，写出第⑦个等式： 72＝62+13 ．
（2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并验证你的猜想是正确的．
【考点】列代数式；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；运算能力；应用意识．
【分析】（1）将所给等式稍加变形即可发现等式中的数字与等式的序号之间的规律，结论可得；
（2）利用（1）中发现的规律易得第n个等式；利用完全平方公式展开后合并同类项可以验证等式的正确．
【解答】解：（1）∵①12＝02+2×1﹣1，；
②22＝12+2×2﹣1；
③32＝22+2×3﹣1；
④42＝32+2×4﹣1；
•••
∴⑦72＝62+2×7﹣1＝62+13．
故答案为：72＝62+13．
（2）由（1）中的规律可得：
第n个等式（用含n的代数式表示）为：n2＝（n﹣1）2+2n﹣1．
验证：∵右边＝（n﹣1）2+2n﹣1＝n2﹣2n+1+2n﹣1＝n2＝左边，
∴等式n2＝（n﹣1）2+2n﹣1成立．
【点评】本题主要考查了数字的变化的规律，列代数式，完全平方公式，合并同类项．正确发现等式中的数字与等式的序号之间的规律并正确应用是解题的关键．
12．（2021春•开江县期末）观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝ （1+2+3+4+5） 2＝ 15 2；
根据以上规律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝ （1+2+3+...+n） 2＝ [] 2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
【考点】有理数的混合运算；规律型：数字的变化类．
【专题】计算题；规律型；实数；运算能力．
【分析】（1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（3）利用（2）中的结论进行计算．
【解答】解：（1）由题意可得：
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，
故答案为：（1+2+3+4+5）；15；
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[]2，
故答案为：（1+2+3+...+n）；[]；
（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）
＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2
＝[]2﹣[]2
＝2102﹣1202
＝44100﹣14400
＝29700．
【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．
13．（2021春•南陵县期末）观察下面各式的规律：
12+（1×2）2+22＝（1×2+1）2；
22+（2×3）2+32＝（2×3+1）2；
32+（3×4）2+42＝（3×4+1）2；
…
（1）写出第2021个式子；
（2）写出第n个式子，并验证你的结论．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】（1）仿照已知式子得出第2021个式子即可；
（2）以此类推得出第n个式子，再验证即可．
【解答】解：（1）根据题意得：第2021个式子为20212+（2021×2022）2+20222＝（2021×2022+1）2；
（2）以此类推，第n行式子为n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2．
理由：左边＝n2+（n2+n）2+（n+1）2
＝n4+2n3+3 n2+2n+1，
右边＝（n2+n+1）2
＝n4+2n3+3 n2+2n+1，
∴n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2．
【点评】此题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解本题的关键．
14．（2021春•蜀山区期末）观察以下等式：
第1个等式：1×3﹣0×4＝3；
第2个等式：2×4﹣1×5＝3；
第3个等式：3×5﹣2×6＝3；
第4个等式：4×6﹣3×7＝3；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： 5×7﹣4×8＝3 ．
（2）写出你猜想的第n个等式： n（n+2）﹣（n﹣1）（n+3）＝3 （用含n的等式表示）．
（3）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？请说明理由．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】（1）根据规律直接写出第五个等式即可；
（2）归纳规律写出第n个等式即可；
（3）检验等式左边等于等式右边恒等，可证明式子成立．
【解答】解：（1）根据规律可知，第五个等式为：5×7﹣4×8＝3，
故答案为：5×7﹣4×8＝3；
（2）根据规律可知，第n个等式为：n（n+2）﹣（n﹣1）（n+3）＝3，
故答案为：n（n+2）﹣（n﹣1）（n+3）＝3；
（3）（2）中式子成立；
理由：等式左边＝n2+2n﹣n2﹣2n+3＝3＝右边，故成立．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，总结出等式左边的变化规律是解题的关键．
15．（2020•安徽）观察以下等式：
第1个等式：×（1+）＝2﹣，
第2个等式：×（1+）＝2﹣，
第3个等式：×（1+）＝2﹣，
第4个等式：×（1+）＝2﹣．
第5个等式：×（1+）＝2﹣．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ×（1+）＝2﹣ ；
（2）写出你猜想的第n个等式： ×（1+）＝2﹣ （用含n的等式表示），并证明．
【考点】列代数式；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
【解答】解：（1）第6个等式：×（1+）＝2﹣；
（2）猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣．
证明：∵左边＝×＝＝2﹣＝右边，
∴等式成立．
故答案为：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．
考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
3．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
4．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
5．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
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日期：2021/12/9 14:25:48；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867
1．（2021春•吉安县期末）求1+2+22+23+…+22021的值，可令S＝1+2+22+23+…+22021，则2S＝2+22+23+24+…+22022，因此2S﹣S＝22022﹣1．仿照以上推理，计算出1+3+32+33+…+32021的值为（ ）
A．32021﹣1B．32022﹣1C．D．
2．（2021春•邵阳县期末）图中的式子是按规律排列的一列等式，按规律写出用含n（n为自然数）的式子表示的第n个等式是（ ）
A．n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2
B．n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+2）+2]2
C．（n﹣1）n（n+1）（n+2）+1＝[n（n+2）﹣2]2
D．（n﹣1）n（n+1）（n+2）+1＝[n（n+1）﹣1]2
3．（2020秋•宁波期末）计算：31﹣1＝2，32﹣1＝8，33﹣1＝26，34﹣1＝80，35﹣1＝242，…，归纳并计算结果中的个位数字的规律，猜测32021的个位数字是（ ）
A．1B．2C．3D．9
4．（2020秋•温江区校级期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2021次输出的结果为（ ）
A．6B．3C．24D．12
5．（2021春•保山期末）按一定规律排列的单项式：﹣2a2，4a4，﹣8a6，16a8，﹣32a10，64a12，…，第n个单项式是（ ）
A．（﹣2）na2（n﹣1）B．（﹣2）na2n
C．（﹣2）n﹣1a2nD．（﹣2）n﹣1a2（n﹣1）
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•郏县期末）观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，
1，4，7，10，13，16，19，22，25，
探索发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是115，则n等于 ．
7．（2021春•滦州市期末）为计算1+2+22+23+…+22019，可另S＝1+2+22+23+…+22019，则2S＝2+22+23+24+…+22020，因此2S﹣S＝22020﹣1，根据以上解题过程，猜想：1+3+32+33+…+32019＝ ．
8．（2020秋•天桥区期末）小刚在做数学题时，发现下面有趣的结果：
第1行：3﹣2＝1
第2行：8+7﹣6﹣5＝4
第3行：15+14+13﹣12﹣11﹣10＝9
第4行：24+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17＝16
……
根据以上规律，“2021”在第m行，从左往右数第n个，那么m+n＝ ．
9．（2020秋•鄞州区期末）如图，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，则1+3+5+7+…+399＝ ．
10．（2021春•玉屏县期末）请观察：﹣、1、﹣、1、﹣、…则第100个数是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•霍邱县期末）观察如图图形及对应的等式：①12＝02+1；②22＝12+3；③32＝22+5；④42＝32+7；…
（1）根据上面的规律，写出第⑦个等式： ．
（2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并验证你的猜想是正确的．
12．（2021春•开江县期末）观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝ 2＝ 2；
根据以上规律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝ 2＝ 2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
13．（2021春•南陵县期末）观察下面各式的规律：
12+（1×2）2+22＝（1×2+1）2；
22+（2×3）2+32＝（2×3+1）2；
32+（3×4）2+42＝（3×4+1）2；
…
（1）写出第2021个式子；
（2）写出第n个式子，并验证你的结论．
14．（2021春•蜀山区期末）观察以下等式：
第1个等式：1×3﹣0×4＝3；
第2个等式：2×4﹣1×5＝3；
第3个等式：3×5﹣2×6＝3；
第4个等式：4×6﹣3×7＝3；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ．
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示）．
（3）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？请说明理由．
15．（2020•安徽）观察以下等式：
第1个等式：×（1+）＝2﹣，
第2个等式：×（1+）＝2﹣，
第3个等式：×（1+）＝2﹣，
第4个等式：×（1+）＝2﹣．
第5个等式：×（1+）＝2﹣．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版七年级期末必刷常考题之探索与表达规律
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•吉安县期末）求1+2+22+23+…+22021的值，可令S＝1+2+22+23+…+22021，则2S＝2+22+23+24+…+22022，因此2S﹣S＝22022﹣1．仿照以上推理，计算出1+3+32+33+…+32021的值为（ ）
A．32021﹣1B．32022﹣1C．D．
【考点】有理数的混合运算；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力；应用意识．
【分析】根据题中规律令原式等于S，求出3S，再用3S﹣S计算整理即可．
【解答】解：令S＝1+3+32+33+…+32021，
则3S＝3+32+33+…+32022，
∴3S﹣S＝3+32+33+…+32022﹣（1+3+32+33+…+32021）＝32022﹣1，
即2S＝32022﹣1，
∴S＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据题中规律令原式乘3是解题的关键．
2．（2021春•邵阳县期末）图中的式子是按规律排列的一列等式，按规律写出用含n（n为自然数）的式子表示的第n个等式是（ ）
A．n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2
B．n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+2）+2]2
C．（n﹣1）n（n+1）（n+2）+1＝[n（n+2）﹣2]2
D．（n﹣1）n（n+1）（n+2）+1＝[n（n+1）﹣1]2
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】整式；运算能力；推理能力．
【分析】观察所给式子，找到规律第n个式子的左边＝（n﹣1）n（n+1）（n+2），再将此式子化简可得（n﹣1）n（n+1）（n+2）＝[n（n+1）﹣1]2．
【解答】解：通过观察所给式子，第n个式子的左边＝（n﹣1）n（n+1）（n+2），
∵0×1×2×3+1＝12＝（1×2﹣1）2
1×2×3×4+1＝52＝（2×3﹣1）2
2×3×4×5+1＝112＝（3×4﹣1）2
3×4×5×6+1＝192＝（4×5﹣1）2
……
（n﹣1）n（n+1）（n+2）＝[n（n+1）﹣1]2，
∴（n﹣1）n（n+1）（n+2）＝[n（n+1）﹣1]2，
故选：D．
【点评】本题考查多项式乘以多项式，数字的变化规律，根据所给图形能够找到规律，得到多项式后能够因式分解是解题的关键．
3．（2020秋•宁波期末）计算：31﹣1＝2，32﹣1＝8，33﹣1＝26，34﹣1＝80，35﹣1＝242，…，归纳并计算结果中的个位数字的规律，猜测32021的个位数字是（ ）
A．1B．2C．3D．9
【考点】有理数的混合运算；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】由31＝3，32＝9，33＝7，34＝1，35＝243，…得出末尾数字以3，9，7，1四个数字不断循环出现，由此用2021除以4看得出的余数确定个位数字即可．
【解答】解：∵2021÷4＝505…1，
∴32021的个位数字是3，
故选：C．
【点评】本题考查了尾数的特征，关键是能根据题意得出个位数字循环的规律是解决问题的关键．
4．（2020秋•温江区校级期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，…，则第2021次输出的结果为（ ）
A．6B．3C．24D．12
【考点】有理数的混合运算；代数式求值；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；实数；推理能力．
【分析】根据运算的程序，把24代入，求出前几个数，可发现从第2个数开始，每2个数循环出现，据此作答即可．
【解答】解：第1次输出的数为：；
第2次输出的数为：；
第3次输出的数为：；
第4次输出的数为：3+3＝6；
第5次输出的数为：；
…
由此得从第2个数开始，每2个数循环出现，
∵（2021﹣1）÷2＝1010，
∴第2021次输出的数为3．
故选：B．
【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，代数式求值，解答的关键是根据所给的程序写出前几个数，从而总结出规律．
5．（2021春•保山期末）按一定规律排列的单项式：﹣2a2，4a4，﹣8a6，16a8，﹣32a10，64a12，…，第n个单项式是（ ）
A．（﹣2）na2（n﹣1）B．（﹣2）na2n
C．（﹣2）n﹣1a2nD．（﹣2）n﹣1a2（n﹣1）
【考点】规律型：数字的变化类；单项式．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】通过分析单项式的系数和指数与单项式的序号之间的关系找出规律即可．
【解答】解：观察排列的单项式可以发现：①均为关于字母a的单项式；
②序号为奇数的项为负，序号为偶数的项为正；
③单项式的系数的绝对值为2的幂，幂的指数与序号相同；
④每个单项式中a的指数是序号的2倍．
由上述规律可得第n个单项式是：（﹣2）na2n．
故选：B．
【点评】本题主要考查了数字的变化的规律，单项式的系数与次数，准确找出单项式的系数和指数与单项式的序号之间的关系规律是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2021春•郏县期末）观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，
1，4，7，10，13，16，19，22，25，
探索发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是115，则n等于 20 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；应用意识．
【分析】根据规律可知，第n个相同的数是6（n﹣1）+1，令6（n﹣1）+1＝115，求出n值即可．
【解答】解：由题知，第1个相同的数是1＝0×6+1，
第2个相同的数是7＝1×6+1，
第3个相同的数是13＝2×6+1，
..．
第n个相同的数是6（n﹣1）+1，
令6（n﹣1）+1＝115，
解得n＝20，
故答案为：20．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，归纳出第n个相同的数是6（n﹣1）+1是解题的关键．
7．（2021春•滦州市期末）为计算1+2+22+23+…+22019，可另S＝1+2+22+23+…+22019，则2S＝2+22+23+24+…+22020，因此2S﹣S＝22020﹣1，根据以上解题过程，猜想：1+3+32+33+…+32019＝ ．
【考点】有理数的混合运算；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】根据题意设M＝1+3+32+33+…+32019，则可得3M＝3+32+33+34+…+32020，即可得3M﹣M的值，计算即可得出答案．
【解答】解：设M＝1+3+32+33+…+32019，
则3M＝3+32+33+34+…+32020，
3M﹣M＝3+32+33+34+…+32020﹣（1+3+32+33+…+32019），
2M＝32020﹣2，
则M＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数字的变化规律，准确理解题目所给的例题解法进行求解是解决本题的关键．
8．（2020秋•天桥区期末）小刚在做数学题时，发现下面有趣的结果：
第1行：3﹣2＝1
第2行：8+7﹣6﹣5＝4
第3行：15+14+13﹣12﹣11﹣10＝9
第4行：24+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17＝16
……
根据以上规律，“2021”在第m行，从左往右数第n个，那么m+n＝ 48 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】根据左起第一个数3，8，15，24…的变化规律得出第n行左起第一个数为（n+1）2﹣1，每一行数的个数为2n+1，由此估算出2021所在的行数，以及所在行数的位置即可．
【解答】解：∵（43+1）2﹣1＝1935，
（44+1）2﹣1＝2024，
∴2021这个数出现在第44行，左起第2024﹣2021+1＝4个数．
∴m＝44，n＝4，
∴m+n＝44+4＝48，
故答案为48．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，找出数字之间的联系，根据已知得出数字的变化规律解决问题．
9．（2020秋•鄞州区期末）如图，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，则1+3+5+7+…+399＝ 40000 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】根据观察发现，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，根据此规律进行计算即可得解．
【解答】解：1+3+5+7+9+…+399＝2002＝40000，
故答案为：40000．
【点评】本题考查了数字变化规律，观察出平方的底数与等式左边首尾两个奇数的关系是解题的关键．
10．（2021春•玉屏县期末）请观察：﹣、1、﹣、1、﹣、…则第100个数是 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】由所给的数分析其规律，再写出第100个数即可．
【解答】解：∵＝（﹣1）1×，
1＝（﹣1）2×，
＝（﹣1）3×，
1＝（﹣1）4×，
＝（﹣1）5×，
…
∴第n个数为：（﹣1）n×，
∴第100个数为：（﹣1）100×＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类，解答的关键是分析清楚所给数字之间的关系，得出规律．
三．解答题（共5小题）
11．（2021春•霍邱县期末）观察如图图形及对应的等式：①12＝02+1；②22＝12+3；③32＝22+5；④42＝32+7；…
（1）根据上面的规律，写出第⑦个等式： 72＝62+13 ．
（2）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并验证你的猜想是正确的．
【考点】列代数式；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；运算能力；应用意识．
【分析】（1）将所给等式稍加变形即可发现等式中的数字与等式的序号之间的规律，结论可得；
（2）利用（1）中发现的规律易得第n个等式；利用完全平方公式展开后合并同类项可以验证等式的正确．
【解答】解：（1）∵①12＝02+2×1﹣1，；
②22＝12+2×2﹣1；
③32＝22+2×3﹣1；
④42＝32+2×4﹣1；
•••
∴⑦72＝62+2×7﹣1＝62+13．
故答案为：72＝62+13．
（2）由（1）中的规律可得：
第n个等式（用含n的代数式表示）为：n2＝（n﹣1）2+2n﹣1．
验证：∵右边＝（n﹣1）2+2n﹣1＝n2﹣2n+1+2n﹣1＝n2＝左边，
∴等式n2＝（n﹣1）2+2n﹣1成立．
【点评】本题主要考查了数字的变化的规律，列代数式，完全平方公式，合并同类项．正确发现等式中的数字与等式的序号之间的规律并正确应用是解题的关键．
12．（2021春•开江县期末）观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝ （1+2+3+4+5） 2＝ 15 2；
根据以上规律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝ （1+2+3+...+n） 2＝ [] 2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
【考点】有理数的混合运算；规律型：数字的变化类．
【专题】计算题；规律型；实数；运算能力．
【分析】（1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（3）利用（2）中的结论进行计算．
【解答】解：（1）由题意可得：
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，
故答案为：（1+2+3+4+5）；15；
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[]2，
故答案为：（1+2+3+...+n）；[]；
（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）
＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2
＝[]2﹣[]2
＝2102﹣1202
＝44100﹣14400
＝29700．
【点评】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．
13．（2021春•南陵县期末）观察下面各式的规律：
12+（1×2）2+22＝（1×2+1）2；
22+（2×3）2+32＝（2×3+1）2；
32+（3×4）2+42＝（3×4+1）2；
…
（1）写出第2021个式子；
（2）写出第n个式子，并验证你的结论．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】（1）仿照已知式子得出第2021个式子即可；
（2）以此类推得出第n个式子，再验证即可．
【解答】解：（1）根据题意得：第2021个式子为20212+（2021×2022）2+20222＝（2021×2022+1）2；
（2）以此类推，第n行式子为n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2．
理由：左边＝n2+（n2+n）2+（n+1）2
＝n4+2n3+3 n2+2n+1，
右边＝（n2+n+1）2
＝n4+2n3+3 n2+2n+1，
∴n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2．
【点评】此题主要考查了数字的变化规律，发现规律，运用规律是解本题的关键．
14．（2021春•蜀山区期末）观察以下等式：
第1个等式：1×3﹣0×4＝3；
第2个等式：2×4﹣1×5＝3；
第3个等式：3×5﹣2×6＝3；
第4个等式：4×6﹣3×7＝3；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： 5×7﹣4×8＝3 ．
（2）写出你猜想的第n个等式： n（n+2）﹣（n﹣1）（n+3）＝3 （用含n的等式表示）．
（3）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？请说明理由．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】（1）根据规律直接写出第五个等式即可；
（2）归纳规律写出第n个等式即可；
（3）检验等式左边等于等式右边恒等，可证明式子成立．
【解答】解：（1）根据规律可知，第五个等式为：5×7﹣4×8＝3，
故答案为：5×7﹣4×8＝3；
（2）根据规律可知，第n个等式为：n（n+2）﹣（n﹣1）（n+3）＝3，
故答案为：n（n+2）﹣（n﹣1）（n+3）＝3；
（3）（2）中式子成立；
理由：等式左边＝n2+2n﹣n2﹣2n+3＝3＝右边，故成立．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，总结出等式左边的变化规律是解题的关键．
15．（2020•安徽）观察以下等式：
第1个等式：×（1+）＝2﹣，
第2个等式：×（1+）＝2﹣，
第3个等式：×（1+）＝2﹣，
第4个等式：×（1+）＝2﹣．
第5个等式：×（1+）＝2﹣．
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ×（1+）＝2﹣ ；
（2）写出你猜想的第n个等式： ×（1+）＝2﹣ （用含n的等式表示），并证明．
【考点】列代数式；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
【解答】解：（1）第6个等式：×（1+）＝2﹣；
（2）猜想的第n个等式：×（1+）＝2﹣．
证明：∵左边＝×＝＝2﹣＝右边，
∴等式成立．
故答案为：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．
考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
3．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
4．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
5．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
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