【假期专项练习】小题压轴题训练-2021-2022学年上学期八年级数学(人教版)

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2021-2022学年八上期末金牌小题压轴题训练（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分一、选择题如图，是的角平分钱，，垂足为若，，则的度数为A.
B.
C.
D. 【答案】【解析】解：，，
，
，
，
是的角平分钱，
，
又，
≌
，
，，
≌  ，
，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形的内角和求出，利用三角形全等，求出，再利用外角求出答案．
考查角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识，根据三角形的内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键．
 如图，平分，，过作于，交的延长线于，有下列结论：，其中结论正确的序号为   
A.  B.  C.  D. 【答案】【解析】解： 平分，，，
．
在和中，
，故正确．，
．
在和中，，
，，
故正确．，
，设交于点，，故正确．平分，，，，，，，故正确．综上所述，正确的结论为故选A．
 若，均为正整数，且，则的值为A.  B.  C. 或 D. 或或【答案】【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键，把已知的式子两边都化成以为底数的式子，然后根据幂相等即可得到和的关系，然后根据和是正整数即可求得和的值，进而求解．【解答】解：，即，
即，
，
、均是正整数，
，或，，
则或．
故选C．  我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”如图，此图揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：

请你猜想的展开式中所有系数的和是A.  B.  C.  D. 【答案】【解析】【分析】
本题通过阅读理解寻找规律，观察可得为非负整数展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是，中间各项系数等于相邻两项的系数和．
本题考查了完全平方公式、展开式；关键在于观察、分析已知数据，找出规律是解决问题的关键．
【解答】
解：，展开式共有项，系数和，
，展开式共有项，系数和，

展开式共有项，系数和为．
的展开式中所有系数的和是：
故选：．  已知，，，那么的值等于     A.  B.  C.  D. 【答案】【解析】【分析】
本题考查了完全平方式以及代数式的求值，正确利用完全平方公式把所求的式子进行变形是关键．把已知的式子化成的形式，然后代入求解．
【解答】
解：，，．
，，，
则原式

，
故选：．  在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为A.  B.  C.  D. 或【答案】【解析】解：分两种情况：
如图，当时，

，
；
如图，当时，

，，
，
，
综上，的度数为或，
故选：．
当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理可得结论．
本题考查了三角形的内角和定理，分情况讨论是解决本题的关键．
 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到，，第次移动到则的面积是   
A.  B.  C.  D. 【答案】【解析】略
 如图，则的度数为A.
B.
C.
D. 【答案】【解析】【分析】
本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
【解答】

解：如图，
，
，，
，
，
故选B．  如图，在四边形中，将四边形沿直线折叠，使点、分别落在四边形的内部的点、处，若，，则度．A.
B.
C.
D. 【答案】【解析】解：，，
，，
四边形沿直线折叠，使点、分别落在四边形的内部的点、处，
，，
，
．
故选：．
利用平角的定义得到，，再利用折叠的性质得，，接着利用四边形的内角和计算出，然后计算的度数．
本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：且为整数，此公式推导的基本方法是从边形的一个顶点出发引出条对角线，将边形分割为个三角形，这个三角形的所有内角之和正好是边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
 如图，点在线段上不与点，重合，在的上方分别作和，且，，，连接，交于点，下列结论错误的是   
A.  B.
C.  D. 连接，则平分【答案】【解析】解：  ，
，
在和中，

，
，，故A中结论正确
，，
当时，，则，故B中结论错误
，
，

，
，故C中结论正确
如图，连接，过点作于，于，

，
，，
，
，
又，，
平分，故D中结论正确．
 如图，等腰直角中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，下列结论：；；是等边三角形；，．
其中正确的结论有A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】【解析】解：，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，故正确；错误，
为的中点，
，故正确；
过点作于点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，故正确；
，
，
，，
≌，
，
，
故正确，
故选：．
根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得，继而可得，即可判断；由为的中点且可判断；作，证≌可判断，证明≌，推出，即可判断．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．
 如图，等腰中，，于点，的平分线分别交、于、两点，于点，连接、下列结论：；为等腰三角形；为等腰直角三角形；
其中正确结论的个数是
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】【解析】解：平分，，
，故符合题意，
，
≌
，，
，，
，
，
，
是等腰三角形，故符合题意，
等腰中，，，
，，
，，
是的垂直平分线，
，且，，
≌
，
，
，，
，
，且，
是等腰直角三角形，故符合题意，
，，，
≌
，故符合题意；
故选：．
利用全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理一一判断即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列选项中结论错误的是    A.
B.
C. 点到各边的距离相等
D. 设，，则【答案】【解析】解：在中，和的平分线相交于点，，， ，，故B选项结论正确；在中，和的平分线相交于点，，，，，，，，，，，故A选项结论正确；过点作于，于，连接，如图，在中，和的平分线相交于点，，
 ，故D选项结论错误；在中，和的平分线相交于点，点到各边的距离相等，故C选项结论正确．
故选D． 如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使E.得到第个按此做法继续下去，则第个三角形中以为顶点的内角度数是
A.  B.  C.  D. 【答案】【解析】解：在中，，，
，
，是的外角，
；
同理可得，，
第个三角形中以为顶点的内角度数是．
故选：．
先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的内角度数．
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键．
 如图，等边中，为边上的高，点、分别在、上，且，连、，当最小时，的度数为    A.
B.
C.
D. 【答案】【解析】【分析】
本题考查等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
如图中，作，使得，连接，证明≌，推出，由，可知，，共线时，的值最小，即可解决问题．
【解答】
解：如图中，作，使得，连接，．

是等边三角形，，，
，，
，
，，
在和中，

≌，
，
，
当，，共线时，的值最小，
如图中，当，，共线时，

≌，
，
，
，
，
当的值最小时，，
故答案为．  如图，在的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中最多能画出个格点三角形与成轴对称．A. 个
B. 个
C. 个
D. 个【答案】【解析】【分析】
本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．
【解答】
解：如图，最多能画出个格点三角形与成轴对称．

故选A．   二、填空题若关于的方程无解，则的值为_______________．【答案】或或【解析】【分析】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．【解答】解：去分母得：，
可得：，
当时，一元一次方程无解，
此时，
当时，
则，
解得：或，
综上所述：或或，
故答案为：或或．  若，，则的值为______．【答案】【解析】解：解方程组，解得，
原式．
故答案为：．
先把当作已知条件表示出、的值，再代入原式进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 若，则          ．【答案】【解析】解法一
 

 ，
 ，，，，，，
 ．

解法二：取时，
 阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法．
二次项系数；
常数项，验算：“交叉相乘之和”；

              
发现第个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数．
即：，则．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：______ ．【答案】【解析】解：．
故答案为：．
根据“十字相乘法”分解因式得出即可．
本题考查了因式分解、十字相乘法等，解此题的关键是熟练掌握“十字相乘法”分解因式，题目比较好，难度也不大．
 已知，则          ．【答案】【解析】【分析】
本题主要考查代数式求值的知识和完全平方公式的知识．
先把等式变形为，得出，即可解答．
【解答】
解：

故答案为．  如图，把的各边延长一倍，得到，则          
如图，若将四边形的各边延长一倍，得到四边形，则          ．
【答案】 【解析】连接、、．
因为的各边延长了一倍，
所以，，．
在中，
在中，，
所以．
同理，可得 ，，
所以 

．
 如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为_________．
【答案】【解析】【分析】
本题考查图形规律问题，涉及角平分线的定义，三角形内外角的关系等，解题的关键是正确掌握角与角之间的关系．
利用角平分线及内外角的关系得到规律即可解决问题．
【解答】
解：因为和分别是的内角平分线和外角平分线，
所以

，
同理可得，，
所以，即，
．
故答案为．  如图，长方形中，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点若点运动的时间为秒，那么当______时，的面积等于．
【答案】或【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的面积的应用，用了分类讨论思想．分为三种情况：画出图形，根据三角形的面积求出每种情况即可．【解答】解：如图，
当在上时，
的面积等于，
，解得：；
当在上时，

的面积等于，
，
，解得：；
当在上时，

，解得：，此时不符合；故答案为或．  如图，七边形中，，的延长线相交于点，若图中，，，的外角的角度和为，则的度数为___________。【答案】【解析】【分析】
本题主要考查多边形的内角与外角，利用内角和外角的关系求得、、、的和是解题的关键．
由外角和内角的关系可求得、、、的和，由五边形内角和可求得五边形的内角和，则可求得．
【解答】
解：、、、的外角的角度和为，
，
，
五边形内角和，
，
，
故答案为．  如图，在等腰直角中，，的角平分线与外角平分线交于点，分别交和的延长线于点，，过点作交于的延长线于点，交的延长线于点，则下列结论：；；为等腰直角三角形；其中正确的结论有________．
【答案】【解析】【分析】
本题考查了等腰直角三角形的性质、角平分线的性质和全等三角形的判定及性质，解题的关键是全等三角形的判定与性质的灵活应用．
利用等腰直角三角形内外角平分线的性质得到，再利用易证≌，≌，从而进行判定．
【解答】
解：是的角平分线，是外角平分线，

，故正确；
，
，
又，，
≌，
．
又可利用角的计算知，
，
，故正确；
，，易证，
≌，
，
为等腰直角三角形，故正确；
由≌可得，由≌可得，
，
，故错误．
故答案为：．  如图，，，三点在同一条直线上，平分，，于点若，，则的长为__________．
 【答案】【解析】【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作于，易证≌，可得，进而可以证明≌，可得，由此求解即可．
【解答】
解：作于，

平分，
   
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，，

，
，，
．
故答案为．  如图，已知，点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，，则_____．


 【答案】【解析】解：过作轴于，轴于，

，
，
轴轴，
，，
，
，
，
，，
，
在和中

≌，
，

，
故答案为：．
过作轴于，轴于，推出，证≌，推出，求出，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出和推出．
 如图，已知，射线上一点，以为边在下方作等边，点为射线上一点，若，则_________．

 【答案】或．【解析】解：当位于左侧时，如图，

是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，

当位于右侧时，如图，


在上截取，可证≌，
可得，，
此时是等边三角形，
，
，
故答案为：或．
分两种情况讨论点的位置．点位于左侧．点位于右侧，分别画出相应的图形，根据全等三角形和等边三角形的性质可求出的度数，
考查等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，分类讨论是数学中常见的题型．
 如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是_______．
【答案】【解析】【分析】
本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识．
如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题
【解答】
解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．
，
，
，
，
，
为等边三角形
，
的最大值为，
故答案为．  如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为______度．
 【答案】【解析】解：如图，连接、，
，为的平分线，
，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
为的平分线，，
≌，
，
，
将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，
，
，
在中，．
故答案为：．
连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，根据全等三角形的性质可得，根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．