【假期专项练习】探索性问题训练-2021-2022学年上学期八年级数学(人教版)

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2021-2022学年八上期末金牌探索性问题训练（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分一、解答题如图，在中，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线．已知，求，的度数；不论为何值时，探索的值是否变化，并说明理由．【答案】解：已知，是内角平分线，
，
，
，
．
又，
，是，的外角平分线，
，
；
不变，．
，，
，是内角平分线，，，是，的外角平分线，，，，在四边形中，，
．【解析】此类题解答的关键是利用角平分线的定义．重点是运用内角和定理求出，．
已知，是内角平分线，为，可利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义求出，即可．
本题考查的是三角形内角和定理．因为，是内角平分线，，是，的外角平分线，又因为，，易求出的值不变．
 如图，，，于点，于点，探索与的关系，并说明理由．



 【答案】解：
理由：，
，
于点，于点，
，
 【解析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的高线，直角三角形的性质等．首先根据角形的内角和定理求出，然后根据同角的余角相等求出，最后通过即可求出与的关系．
 如图，是的角平分线，于点，且B.
 试探索与，之间的数量关系根据你所探索的结论填空：若，，则          ．【答案】解：，．平分，．，．B.C.
 【解析】【分析】
本题主要考查的是三角形的角平分线，高，三角形的内角和定理的有关知识．
先利用三角形的内角和定理得到，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理得到最后利用求解即可；
先利用，求出，然后再将，中得到的结论进行求解即可．
【解答】
解：见答案；
，，
，
则，
故答案为．  问题情景：如图，有一块直角三角板放置在上点在内，三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点试问与是否存在某种确定的数量关系

特殊探究：若，则          度，          度，          度；
类比探索：请探究与的关系；
类比延伸：如图，改变直角三角板的位置，使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．【答案】解：；；．；；A.不成立结论：A.具体过程如下：在中，，，，，，A.【解析】见答案．
 问题情景：如图，在同一平面内，点和点分别位于一块直角三角板的两条直角边，上，点与点在直线的同侧，若点在内部，试问，与的大小是否满足某种确定的数量关系？
 特殊探究：若，则_________度，________度，_________度；类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；类比延伸：改变点的位置，使点在外，其它条件都不变，判断中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，与满足的数量关系式．【答案】解：；；；
猜想：．
理由：在中，，
，，
，
，
又在中，，
，
，
．
判断：中的结论不成立．
如图中，结论：．
理由：设交于．

，
，
．
如图中，结论：证明方法类似

如图中，结论：．

理由：，，
，
．【解析】【分析】
本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
利用三角形的内角和定理求解即可．
猜想：利用三角形内角和定理即可解决问题．
结论不成立．分三种情形讨论求解即可．
【解答】
解：由题意：度，度，
度．
故答案为，，．
见答案；
见答案．  如图，在中，的平分线与的平分线相交于点．
 如果，求的度数；如图，作外角，的角平分线交于点，试探索、之间的数量关系．
如图，延长线段、交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的倍，直接的度数．【答案】解：如图，
在中，，且，
，
，，
，
．
如图，
，，
．
，分别为的外角，的角平分线，
，
；
如图，延长到点．

为的外角的角平分线，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
，即；

．
如果中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么分四种情况：
，则，；
，则，，；
，则，解得，则；
，则，解得，则，则．
综上所述，的度数是或或．【解析】【试题解析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线定义等知识，属于较难题．
求出，进而求出即可解决问题；
根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，即可求解；
求出，，分四种情况进行讨论，即可得解．
 把多边形的某些边向两方延长，其他各边若不全在延长所得直线的同侧，则把这样的多边形叫做凹多边形，如图四边形中，作的延长线，则边、分别在直线的两侧，所以四边形就是一个凹四边形，我们来简单研究凹多边形的边和角的性质．
请你画一个凹五边形；
如图，在凹六边形中，探索与、、、、之间的关系；
如图，在凹四边形中，证明．
【答案】解：如图所示：即为凹五边形
；

如图，

连接，
由多边形内角和定理可得：五边形的内角和为：，的内角和为：，
故，
则；

如图，

设与直线的交点为，
在中，，
中，，
故AB
则．【解析】直接利用凹五边形的定义分析得出答案；
根据题意结合凸多边形的性质得出，进而得出答案；
利用三角形三边关系，再结合不等式的性质进而得出答案．
此题主要考查了四边形综合以及凸多边形的性质以及凹多边形与凸多边形的性质等知识，正确将凹多边形与凸多边形的关系是解题关键．
 如图，已知，现将一个直角放入图中，其中，交于点，交于点．当所放位置如下图所示时，探索与的数量关系，并说明理由；当所放位置如下图所示时，探索与的数量关系，并说明理由；在的条件下，若与交于点，且，，求的度数．【答案】解：，理由：过点作，， ，，，，，；， ，，，，
，，，，，；过点作，，  ，，，，，，在中，，．【解析】此题考查平行公理的推论，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和，对顶角的性质．过点作，则，利用平行线的性质得到，，再进一步计算即可；根据平行线的性质得出，再利用三角形的内角和与邻补角得到，进而利用对顶角的性质解答即可；过点作，则，利用平行线的性质得出，，再利用直角三角形的两个锐角互余解答即可．阅读与理解三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图，是中边上的中线，则．
理由：，，即等底同高的三角形面积相等．
操作与探索在如图至图中，的面积为．

如图，延长的边到点，使，连接若的面积为，则________用含的代数式表示．
如图，延长的边到点，延长边到点，使，，连接若的面积为，则________用含的代数式表示，并写出理由．
在图的基础上延长到点，使，连接，，得到如图若阴影部分的面积为，则________用含的代数式表示．
拓展与应用如图，已知四边形的面积是，，，，分别是，，，的中点，求图中阴影部分的面积．【答案】解：操作与探索；
；

拓展与应用
连接，，，，
，
同理：，，，
阴影部分面积【解析】【分析】
本题考查三角形的面积，关键知道等底同高的面积相等，从而可求出解．
根据等底同高的三角形面积相等，可知道的面积和的面积相等．
根据等底同高的三角形面积相等，可知道，从而可求出结果．
阴影部分的面积为三个三角形，这三个三角形面积相等，从可知都为可求出阴影部分的面积．
【解答】
解：，中边上的高与中边上的高相等，
；
故答案为；
连接．

，，
，
即．
故答案为；
结合的方法可知，则；
故答案为；
拓展与应用见答案．  如图，中，，，，连结、，的延长线交于点．
当等于多少度时，，并说明理由；
在的条件下，设，，试探索、满足什么关系时，≌，并说明理由．【答案】解：当等于度时，．
理由如下：
，
和均为直角三角形
又，，
≌，
，
，
又，，
   即；

当时，≌  
理由如下：
在中，，
，
在中，
，
即，
．
，
，
，
由知：，又
≌．【解析】当等于度时，，首先证明≌，根据全等三角形的性质和已知条件即可得证；
当时，≌，利用已知得出，再利用，又，得出即可．
本题主要考查了直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记各性质与判定是解题的关键．
 问题背景：如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的点，且，探究线段，，之间的数量关系．
 小王同学探究此题的方法是：延长到点，使，连接，先证明≌，再证明≌，可得结论，他的结论应是__________________；探索延伸：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】证明： ；
结论仍然成立；
理由：延长到点使连结，，，．在和中，

≌，
，，
，
，
，
在和中，

≌，
，
，
．【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证≌是解题的关键．
延长到点使连结，即可证明≌，可得，再证明≌，可得，即可解题；
由题意得，同方法即可解题．
【解答】
解：，
，
在和中，

≌，
，，
，，
，
，
在和中，

≌，
，
，
．  如图，在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连结、请探索与有什么关系？为什么？
 【答案】解：与的关系有，．证明如下：、分别是、两边上的高， 
 
，，， 
 
在和中， 
， 
≌， 
， ≌， 
， 
， 
．【解析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的性质的运用，垂直的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．
先由条件可以得出，就可以得出≌，就有，；
由可以得出，进而得出．
 如图，在中，，，为边上任意一点，为边一动点，分别以，为边作等边三角形和等边三角形，连接．
 试探索与的位置关系，并证明；如图当为延长线上任意一点时，中的结论是否成立？请说明理由；如图在中，，，为延长线上一点，为边一动点，分别以，为边作等腰三角形和等腰三角形，使得，，连接要使中的结论依然成立，还需要添加怎样的条件？为什么？【答案】解：．
证明：和都是等边三角形，
，，
，
，
在和中

≌；
，
；
在中，，，
；
又，
，
同位角相等，两直线平行，
；
当点为延长线上任意一点时，结论成立．
证明：和都是等边三角形，
，，
，
，
在和中

≌；
，
；
在中，，，
；
又，
，
内错角相等，两直线平行，
；
要使的结论依然成立，则需要添加条件是：．
理由：需要证明≌、内错角相等，两直线平行，才能证明．【解析】本题综合考查了全等三角形的性质、全等三角形的判定与性质．解答本题要充分利用等边三角形的三边关系、三角关系，可有助于提高解题速度和准确率．
通过等边三角形的性质三条边相等、三个角相等求得，，；然后根据全等三角形的判定定理证明≌，再根据全等三角形的性质对应角相等知；接下来由平行线的判定定理同位角相等，两直线平行知；最后由平行线的性质两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线知；
通过等边三角形的性质三条边相等、三个角相等求得，，；然后根据全等三角形的判定定理证明≌，再根据全等三角形的性质对应角相等知；接下来由平行线的判定定理内错角相等，两直线平行知；最后由平行线的性质两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线知；
需要添加的条件需满足：≌、内错角相等，两直线平行．
 如图，在中，是边的中点，，分别在边，上，，连接，延长至点，使，连接，，求证：；
如图，在四边形中，，，，，分别在边，上，，连接，延长至点，使，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】证明：，
，
，
，
是边的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，
；
解：，证明如下：
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．【解析】由线段垂直平分线的性质得，再证≌，得，然后由三角形的三边关系即可得出结论；
证≌，得，，再证≌，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的三边关系等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质，证明≌和≌是解题的关键．
 如图，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．

求证：；
拓展探究：如图，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接．
的度数为______；
探索线段、、之间的数量关系为____________直接写出答案，不需要说明理由【答案】解：证明：如图，

和均为等边三角形，
，，，
．
在和中，
，
≌，
；
；
．【解析】【分析】
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
由条件和均为等边三角形，可得，，，进而得，由易证≌，从而得到对应边相等，即；
根据和为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出≌，即可判断出，，进而判断出的度数为；
根据，，，可得，所以；再由≌判断出，即可判断出．
【解答】
解：见答案；
如图，和均为等腰直角三角形，

，，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
点，，在同一直线上，
，
，
，
故答案为；
如图，，，，
，
，
≌已证，
，
，
故答案为．  已知：如图，是等边三角形，，点是射线上的一个动点，以为边向右作等边，点在射线上点右边，且，
 填空：______；若点在点的右边：求证：；试探索：的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．连接，在点的整个运动点与点重合除外过程中，求的度数； 【答案】；
证明：是等边三角形，
，
又，
，。
又。
，
是等边三角形，
，
在和中

≌，
，
的值是定值，
由证得≌，
，
，
下面分三种情况讨论：
I.当点在点的左侧时，如图，

图
同可证得≌，
，，又，
，
，
即，
，
 ，
当点在点的右侧时，如图，
  
 图
同可证得≌，
，，又，
，
，
即，
，
  ，
当点与点重合时，如图， 
 图
同可证得≌，
，，又，
，
   ，
综上，在 点的整个运动点与点重合除外过程中，都等于．【解析】【分析】
本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是思想，解本题的关键是≌．
根据等边三角形的性质得到，由，代入即可得到答案；
根据是等边三角形，得出，从而可以得出，根据，又，得出，从而得出是等边三角形，从而得到，根据全等三角形的判定定理，证得≌，即可得到结论；
由证得≌，得出，根据线段的和差即可得到结论；
分三种情况讨论：利用得出≌，再根据其他条件，得出，即可得出结论．
【解答】
，
为等边三角形，
，
，
故答案为；
见答案；见答案；
见答案．  数学课上，老师出示了如下框中的题目

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
特殊情况探索结论
当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：______填“”，“”或“”．

特例启发，解答题目
解：题目中，与的大小关系是：______填“”，“”或“”理由如下：如图，过点作，交于点，请你接着继续完成以下解答过程
拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点在直线上上，点在直线上，且若的边长为，，求的长请你直接写出结果．【答案】  【解析】解：答案为：．

答案为：．
证明：在等边中，，，
，
，，
，
，
，
即，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
在和中
，
≌，
，
，
故答案为：．

解：分为四种情况：
第一种情况：如图：

，，
，
，
第二种情况：如图，


过作于，过作于，
等边三角形，，
，，，，
；
第三种情况：如图，

，而不能大于，否则不符合三角形内角和定理，
此时不存在；

第四种情况：如图，

，，
又，
，
即此时，
此时情况不存在，
答：的长是或．
根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出，求出，求出，，即可得出答案；
作，证≌，推出，即可得出答案；
分为四种情况：画出图形，根据等边三角形的性质求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定的理解和运用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
 问题发现：如图，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一直线上，连接．
填空：的度数为______；线段、之间的数量关系是______．
拓展研究：
如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，若，，求的长度及的度数．
探究发现：
图中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与相交于点，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．
【答案】  【解析】解：如图，
和均为等边三角形，
，，．
．
在和中，，
≌．
．
为等边三角形，
．
点，，在同一直线上，
．
．
．
故答案为：．
≌，
．
故答案为：．



和均为等腰直角三角形，
，，．
．
在和中，，
≌．
，．
为等腰直角三角形，
．
点，，在同一直线上，
．
．
．
，
，
如图，

由知≌，
，
，

，
如图，

同理求得，
，
的度数是或
由条件易证≌，从而得到：，由点，，在同一直线上可求出，从而可以求出的度数．
仿照中的解法可求出的度数，证出；由为等腰直角三角形及为中边上的高可得，从而证到．
由知≌，得，由，可知，根据三角形的内角和定理可知．
此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，得出≌是解本题的关键．