专题01 实数与二次根式【考点巩固】-中考数学考点总复习（全国通用）

专题01  实数与二次根式

考点1　实数的分类及正负数的意义

1．（2021·四川乐山市）如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作，支出5元记作（    ）．

A．5元 B．元 C．元 D．7元

【分析】结合题意，根据正负数的性质分析，即可得到答案．

【解答】根据题意得：支出5元记作元

故选：B．

2．（2021·浙江金华市·中考真题）实数，，2，中，为负整数的是（    ）

A． B． C．2 D．

【分析】按照负整数的概念即可选取答案．

【解答】解：是负数不是整数；是负数不是整数；2是正数；是负数且是整数

故选D．

3．下列说法正确的是（　　）

①任何一个有理数的平方都是正数；        ②任何一个有理数的绝对值都是非负数；

③如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1；④如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0．

A．①④ B．②③ C．③④ D．②④

【分析】根据有理数的定义和特点，绝对值、相反数的定义及性质，对选项进行一一分析，排除错误答案．

【解答】解：①任何一个有理数的平方都不是负数，错误；      

②任何一个有理数的绝对值都是非负数，正确；

③如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1或﹣1，错误

④如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0，正确；

故选：D．

考点2  相反数、倒数

4．（2021·四川泸州市·中考真题）2021的相反数是（    ）

A． B．2021 C． D．

【分析】直接利用相反数的定义得出答案．

【解答】解：2021的相反数是：-2021．

故选：A．

5．-倒数是        ．

【分析】根据倒数的概念解答即可．

【解答】解：-的倒数是 ，

故答案为：．

6．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，求x3+cdx2的值．

【分析】根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，可以求得a+b，cd，x的值，然后即可求得所求式子的值．

【答案】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于2，

∴a+b＝0，cd＝1，x＝±2，

当x＝2时，

x3+cdx2

＝23+1×22

＝8+1×4﹣0

＝8+4﹣0

＝12；

当x＝﹣2时，

x3+cdx2

＝（﹣2）3+1×（﹣2）2

＝﹣8+1×4﹣0

＝﹣8+4﹣0

＝﹣4，

由上可得，x3+cdx2的值为12或﹣4．

考点3  数轴

7．（2021·四川南充市）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为（   ）

A． B． C． D．

【分析】由数轴上表示数和的点到原点的距离相等且，可得和互为相反数，由此即可求得m的值．

【解答】∵数轴上表示数和的点到原点的距离相等，，

∴和互为相反数，

∴+=0，

解得m=-1．

故选D．

8．（2020•铜仁市）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）

A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b

【分析】根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．

【解答】根据数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，

则a＜b，﹣a＞b，a＜﹣b，﹣a＞b．

故选：D．

9．（2020•新疆）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＞0

【分析】直接利用数轴上a，b的位置进而比较得出答案．

【解答】如图所示：A、a＜b，故此选项错误；

B、|a|＞|b|，正确；

C、﹣a＞b，故此选项错误；

D、a+b＜0，故此选项错误；

故选：B．

考点4  绝对值

10．（2021·浙江）实数的绝对值是（    ）

A． B．2 C． D．

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．

【解答】解：实数-2的绝对值是2，

故选：B．

11．（2020•鞍山一模）|﹣2020|的结果是（　　）

A． B．2020 C． D．﹣2020

【分析】根据绝对值的性质直接解答即可．

【解答】|﹣2020|＝2020；

故选：B．

12．（2021·云南中考真题）已知a，b都是实数，若则_______．

【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解答】解：根据题意得，a+1=0，b-2=0，

解得a=-1，b=2，

所以，a-b=-1-2=-3．

故答案为：-3．

考点5  科学计数法

12．光速约为3×108米/秒，太阳光射到地球上的时间约为5×102秒，地球与太阳的距离约是（　　）米．

A．15×1010 B．1.5×1011 C．15×1016 D．1.5×1017

【分析】先计算地球与太阳的距离，再根据科学记数法的形式选择即可．

【解答】解：3×108×5×102＝1.5×1011，

故选：B．

13．（2020•黑龙江）2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2019年3月17日，某市党员“学习强国”客户端注册人数约1180000，将数据1180000用科学记数法表示为　      　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解析】1180000＝1.18×106，

故答案为：1.18×106．

考点6  实数的大小比较

14．（2020•乐山）用“＞”或“＜”符号填空：﹣7　    　﹣9．

【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可解答．

【解析】∵|﹣7|＝7，|﹣9|＝9，7＜9，

∴﹣7＞﹣9，

故答案为：＞．

15．（2021·四川）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【分析】根据无理数的估算进行大小比较．

【解答】解：∵，

又∵，

∴

故选：C．

考点7  二次根式的估算

16．（2021·浙江中考真题）已知是两个连续整数，，则分别是（    ）

A． B．，0 C．0，1 D．1，2

【分析】先确定的范围，再利用不等式的性质确定的范围即可得到答案．

【解答】解：

故选：

17．（2021·安徽）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是______．

【分析】先估算出，再估算出即可完成求解．

【解答】解：∵；

∴；

因为1.236介于整数1和2之间，

所以;

故答案为：1．

18．（2020•自贡）与2最接近的自然数是　  　．

【分析】根据3.54，可求1.52＜2，依此可得与2最接近的自然数．

【解答】∵3.54，

∴1.52＜2，

∴与2最接近的自然数是2．

故答案为：2．

考点8 平方根与算术平方根

19．（2021·四川凉山彝族自治州）的平方根是（    ）

A． B．3 C． D．9

【分析】求出81的算术平方根，找出结果的平方根即可．

【详解】解：∵=9，

∴的平方根是±3．

故选：A．

20．（2021·安徽）计算：______．

【分析】先算算术平方根以及零指数幂，再算加法，即可．

【详解】解：，

故答案为3．

考点9  立方根

21．已知4a+1的平方根是±3，b﹣1的算术平方根为2．

（1）求a与b的值；

（2）求2a+b﹣1的立方根．

【分析】（1）首先根据4a+1的平方根是±3，可得：4a+1＝9，据此求出a的值是多少；然后根据b﹣1的算术平方根为2，可得：b﹣1＝4，据此求出b的值是多少即可．

（2）把（1）中求出的a与b的值代入2a+b﹣1，求出算术的值是多少，进而求出它的立方根是多少即可．

【答案】解：（1）∵4a+1的平方根是±3，

∴4a+1＝9，

解得a＝2；

∵b﹣1的算术平方根为2，

∴b﹣1＝4，

解得b＝5．

（2）∵a＝2，b＝5，

∴2a+b﹣1

＝2×2+5﹣1

＝8，

∴2a+b﹣1的立方根是：2．

考点10  二次根式

22．（2021·浙江丽水市）要使式子有意义，则x可取的一个数是__________．

【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．

【详解】

解：∵式子有意义，

∴x﹣3≥0，

∴x≥3，

∴x可取x≥3的任意一个数，

故答案为：如4等（答案不唯一，．

23．（2021·浙江杭州市）下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．

【详解】

解：，故A正确，C错误；

，故B、D错误；

故选：A．

考点11  实数与二次根式运算

24．（2021·云南）计算：．

【分析】原式分别利用乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，乘法法则分别计算，再作加减法．

【详解】解：

=

=

25．（2021·浙江金华市）计算：．

【分析】利用乘方的意义,二次根式的化简,特殊角的函数值,绝对值的化简,化简后合并计算即可

【详解】解：原式

．

26．（2021·山东临沂市）计算．

【分析】化简绝对值，同时利用平方差公式计算，最后合并．

【详解】

解：

=

=

=

27．（2021·四川眉山市）观察下列等式：；

；

；

……

根据以上规律，计算______．

【分析】

根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可．

【详解】

解：由题意可知，，

＝1+1+1+…+1﹣2021

＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021

＝2020+1﹣﹣2021

＝．

故答案为：．

28．（2021·重庆）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：，因为，所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”；

（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；

（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n．

【答案】（1）是“共生数”， 不是“共生数”． （2）或

【分析】

（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；

（2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为 可得：＜ 且为整数，再由“共生数”的定义可得：而由题意可得：或 再结合方程的正整数解分类讨论可得答案．

【详解】解：（1）

是“共生数”，

不是“共生数”．

（2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为

＜ 且为整数，

所以：

由“共生数”的定义可得：

百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，

或或

当 则 则 不合题意，舍去，

当时，则

当时，

此时： ，而不为偶数，舍去，

当时，

此时： ，而为偶数，

当时，

此时： ，而为偶数，

当时，则

而则不合题意，舍去，

综上：满足各数位上的数字之和是偶数的或

29．（2021·四川凉山彝族自治州）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数，

记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

，理由如下：

设，则．

．由对数的定义得

又

．

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

（1）填空：①___________；②_______，③________；

（2）求证：；

（3）拓展运用：计算．

【答案】（1）5，3，0；（2）见解析；（3）2

【分析】（1）直接根据定义计算即可；

（2）结合题干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明；

（3）根据公式：loga（M•N）=logaM+logaN和loga=logaM-logaN的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论．

【详解】

解：（1）①∵，∴5，

②∵，∴3，

③∵，∴0；

（2）设logaM=m，logaN=n，

∴，，

∴，

∴，

∴；

（3）

=

=

=2．