数学八年级上册第三章 勾股定理综合与测试课后复习题
展开第3章勾股定理--章节提优练习
（共28题，共120分）
一、选择题（共10题，共30分）
- （3分）如图，在矩形 中， 于点 ，，且 ，则 的长度是
A． B． C． D．
- （3分）在平面直角坐标系中，边长为 的正方形 的顶点 ， 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 是原点，现将正方形 绕点 顺时针旋转，当点 第一次落在直线 上时停止旋转，旋转过程中， 边交直线 于点 ， 边交 轴于点 （如图），在正方形 旋转的过程中， 的周长
A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．始终是 D．始终是
- （3分）一次函数 满足 ，且 随 的增大而减小，则此函数的图象不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
- （3分）如图，已知一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ，点 ．有下列结论：①关于 的方程 的解为 ；②当 时，；③当 时，．其中正确的是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
- （3分）如图，点 在 上，且 ，，则 等于
A． B． C． D．
- （3分）有一个面积为 的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了 个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了 次后形成的图形中所有正方形的面积和是
A． B． C． D．
- （3分）如图，正方形 边长为 ， 是 边中点，点 与点 关于直线 对称，连接 ，射线 与 交于点 ，则 的值为
A． B． C． D．
- （3分）如图，已知直线 与直线 相交于点 ，直线 ， 分别交 轴于 ， 两点，矩形 的顶点 ， 分别在 ， 上，顶点 ， 都在 轴上，且点 与点 重合，那么
A． B． C． D．
- （3分）对图的变化顺序描述正确的是
A．翻折、旋转、平移 B．翻折、平移、旋转
C．平移、翻折、旋转 D．旋转、翻折、平移
- （3分）如图， 是等边三角形，， 是 的中点， 是直线 上一动点，线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，当点 运动时，则 的最小值为
A． B． C． D．
二、填空题（共10题，共20分）
- （2分）某人驾车从乡村进城，各时间段的行驶速度 如图．当 时，其行驶路程 与时间 的函数关系式是 ；当 时，其行驶路程 与时间 的函数关系式是 ；当 时，其行驶路程 与时间 的函数关系式是 ．
- （2分）如图，已知边长为 的等边三角形 中，分别以点 ， 为圆心， 为半径作弧，两弧交于点 ，连接 ．若 的长为 ，则 的值为 ．
- （2分）如图，矩形 中，，， 交于点 ，若 ，则 ．
- （2分）如图，在 中，，， 边上的中线 ，则 的面积是 ．
- （2分）如图，在 中，， 是 边上的中线， 于 ，交 的延长于 ，若 ，则 的度数为 ．
- （2分）如图，在 中，，，，动点 从点 出发沿射线 以 的速度移动，设运动的时间为 秒，当 为等腰三角形时， 的取值为 ．
- （2分）如图，，， 边上的中线 ，则 的面积为 ．
- （2分）如图，在边长为 的正方形 中，点 ， 分别是 ， 的中点， 与 交于点 ，则 的长度为 ．
- （2分）有一组平行线 ，过点 作 于点 ，作 ，且 ，过点 作 交直线 于点 ，在直线 上取点 使 ，若直线 与 间的距离为 ， 与 间的距离为 ，则 ．
- （2分）如图，直线 经过正方形 的顶点 ，先分别过此正方形的顶点 ， 作 于点 ， 于点 ．然后再以正方形对角线的交点 为端点，引两条相互垂直的射线分别与 ， 交于 ， 两点．若 ，，则线段 长度的最小值是 ．
三、解答题（共8题，共70分）
- （6分）定义：在平面直角坐标系 中，直线 称为抛物线 的关联直线．
(1) 求抛物线 的关联直线；
(2) 已知抛物线 与它的关联直线 都经过 轴上同一点，求这条抛物线的表达式；
(3) 如图，顶点在第一象限的抛物线 与它的关联直线交于点 ，（点 在点 的左侧），与 轴负半轴交于点 ，连接 ，．当 为直角三角形时，求 的值．
- （6分）爱动脑筋的王明同学在买一双新的运动鞋时，发现了一个有趣的现象，即鞋子的码数 码与鞋长 之间存在着某种联系，经过收集数据，得到下表：请你代替王明解决下列问题：
(1) 根据表中数据，在如图所给的直角坐标系中描出相应的点，你发现这些点在哪一种图形上？
(2) 猜想 与 之间满足怎样的函数表达式，并验证这些点的坐标是否均满足该函数表达式；
(3) 当鞋码数是 码时，鞋长为多少？
- （8分）如图，在 中，， 是 的平分线，，，求 的长．
莉莉的求解过程如下：
解：
，，
，
．
请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请说明理由并写出正确的解法．
- （8分）成都市某中学环保兴趣小组对北湖清除淤泥工程进行调查，并从 成都晚报 中收集到下列数据：根据上表解答下列问题：
(1) 请你按体积 面积 高来估算，北湖的淤泥量大约有多少万立方米？
(2) 设清除淤泥 天后，剩余的淤泥量为 （万米 ），求 与 的关系式；
(3) 为了使北湖的生物链不遭破坏，仍需保留一定量的淤泥，若需保留的淤泥量约为 万立方米，求清除淤泥所需天数．
- （8分）如图，在每个小正方形的边长为 的网格中， 的顶点 ，， 均在格点上．
(1) 的大小为 （度）；
(2) 在如图所示的网格中， 是 边上任意一点．以 为中心，取旋转角等于 ，把点 逆时针旋转，点 的对应点为 ．当 最短时，请用无刻度的直尺，画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明） ．
- （10分）已知：正方形 ，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点 处，使三角板绕点 旋转．
(1) 当三角板旋转到 的位置时，猜想 与 的数量关系，并加以证明．
(2) 在（）的条件下，若 ，， , 求 的度数．
(3) 若 ，点 是边 的中点，连接 ， 与 交于点 ，当三角板的一边 与边 重合时（如 ）若 ，求 的长．
- （12分）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 ， 轴于点 ，，直线 分别交 ， 轴于点 ，，点 的坐标为 ，，且 ．
(1) 求直线 和 的解析式．
(2) 将点 沿某条直线折叠到点 ，折痕分别交 ，，于点 ，，在 轴上是否存在点 ，使得点 ，， 为顶点的三角形是以 为斜边的直角三角形，若存在，请求出 点坐标，若不存在，请说明理由．
(3) 在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与 ， 两点构成的四边形是正方形，若存在，请直接写出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．
- （12分）我们规定：经过三角形的一个顶点且将三角形的周长分成相等的两部分的直线叫做该角形的“等周线”，“等周线”被这个三角形截得的线段叫做该三角形的“等周径”．例如等腰三角形底边上的中线即为它的“等周径”．
(1) 若等边三角形的“等周径”长为 ，则它的边长为 ．
(2) 如图，点 为四边形 的边 上一点，已知 ，，过点 作 于点 ，求证：直线 为 的“等周线”；
(3) 中，，，，若直线 为 的“等周线”，请直接写出 的所有“等周径”长．
答案
一、选择题（共10题，共30分）
1. 【答案】D
【解析】 四边形 是矩形，
，，，．
．
．
，，
，．
，
．
．
．
，
．
．
，
，解得：，（舍去）．
【知识点】矩形的性质、勾股定理
2. 【答案】D
【解析】延长 交 轴于点 ，
由旋转的性质得 ，
又 ，，
．
．
又 ，
．
，．
又 ，，
．
．
．
在正方形 旋转的过程中 的周长始终是 ．
【知识点】旋转及其性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定
3. 【答案】A
【知识点】一次函数的图象与性质
4. 【答案】A
【解析】由图象得：①关于 的方程 的解为 ，正确；
②当 时，，正确；
③当 时，，错误．
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与一次不等式的关系
5. 【答案】C
【解析】 ，
，
即 ．
又 ，
是等腰三角形，
．
，，
．
在 和 中，
，，，
（），
．
【知识点】等边对等角、角边角
6. 【答案】D
【解析】设正方形 ，， 围成的直角三角形的三条边长分别是 ，，．
如图，
根据勾股定理，得 ，
一次“生长”后，．
第二次“生长”后，，
推而广之，“生长”了 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ．
【知识点】勾股定理
7. 【答案】D
【知识点】正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质
8. 【答案】B
【解析】由 ，得当 时，，
点坐标为 ，
由 ，得 ，
点坐标为 ，
，
由
解得
点的坐标为 ，
，
点 在 上且 ，
，
点坐标为 ，
又 点 在 上且 ，
，
，
点坐标为 ，
，，
矩形 面积为 ，
．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系、矩形的性质、一次函数与一元一次方程的关系
9. 【答案】B
【解析】【分析】根据翻折、旋转、平移的定义进行判断即可．
【解析】解：由图可知，变换的顺序依次为：翻折、平移、旋转．
故选：．
【点评】本题考查了几何变换的类型，熟记各种变化的定义并准确识图是解题的关键．
【知识点】画对称轴及轴对称图形
10. 【答案】D
【解析】作 于 ， 于 ，如图，设 ，
在 中，，而 ，
，
线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，
，，
易得 ，
当 在 上时，
，，
在 中，，
此时 没有最小值，
当 在 的延长线上时，
，，
在 中，，
当 时， 有最小值 ，
的最小值为 ．
【知识点】等边三角形的性质、斜边、直角边、勾股定理
二、填空题（共10题，共20分）
11. 【答案】 ； ；
【解析】观察图象，得当 时，其行驶路程 与时间 的函数关系式是 ；当 时，其行驶路程 与时间 的函数关系式是 ，化简得 ；当 时，其行驶路程 与时间 的函数关系式是 ，化简得 ．
【知识点】行程问题
12. 【答案】 或
【知识点】勾股定理、等边三角形的性质
13. 【答案】
【解析】 四边形 是矩形，
，
，
，
又 ，
，
为等边三角形，
，
在 中，，，
，
．
【知识点】矩形的性质、等边三角形三个角相等，都等于60°、勾股定理
14. 【答案】
【解析】延长 到点 ，使 ，连接 ，
是 边上的中线，
，
在 和 中，
，
，，
，，，
，
，
，
即 为直角三角形．
的面积 ．
【知识点】边角边、勾股逆定理
15. 【答案】
【解析】 于 ，
，
在 中，，，
，
在 中，， 是 边上的中线，
，
，
在 中，，
．
【知识点】直角三角形斜边的中线
16. 【答案】 或 或
【解析】在 中，，
所以 ；
①当 时，如图 ，
（秒）；
②当 时，如图 ，
，（秒）；
③当 时，如图 ，
，，，
在 中，，
所以 ，
解得：，
综上所述：当 为等腰三角形时， 或 或 ．
【知识点】等腰三角形的概念、勾股定理
17. 【答案】
【解析】延长 到 ，使 ，连接 ，可得 为直角三角形．
故答案为：．
【知识点】勾股定理、边角边
18. 【答案】
【知识点】正方形的性质、直角三角形斜边的中线
19. 【答案】
【解析】 ，，
，
在 与 中，
，
，；
，
为等边三角形．
如图，过点 作 于 ，交 于点 ，
．
，
，
，，
，
．
．
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理，得 ，，
在 中，由勾股定理，得 ，
，
．
【知识点】等边三角形的判定、边角边、30度所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理
20. 【答案】
【解析】在正方形 中，，，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
设 ，，
，，
消掉 并整理得，，
解得 ，，
当 ，，
当 ，，
由勾股定理得，，
在正方形 中，，，，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
是等腰直角三角形，
由垂线段最短可得， 时 最短， 也最短，
此时， 的最小值为 ．
【知识点】角边角、勾股定理、等腰直角三角形的判定、高次方程、垂线段的性质、角角边
三、解答题（共8题，共70分）
21. 【答案】
(1) ，
关联直线为 ．
(2) 抛物线 与它的关联直线 都经过 轴上同一点，
，，
可设抛物线的顶点式为 ，
则其关联直线为 ，
解得 或
抛物线 或 ．
(3) 由题意：，，，
，，，
显然 且 ，故 不能成为 的斜边，
当 时： 解得 ，
当 时： 解得 ，
抛物线的顶点在第一象限，
，即 或 ．
【知识点】二次函数的解析式、一次函数的解析式、勾股逆定理
22. 【答案】
(1) 描点如图，发现这些点在一条直线上．
(2) 猜想 与 之间满足的函数表达式是 ．
验证：当 时，；
当 时，；
当 时，；
当 时，；
当 时，．
故这些点的坐标均满足该函数表达式．
(3) 当 时，，解得 ．
答；当鞋码数是 码时，鞋长是 ．
【知识点】其他实际问题、一次函数与一元一次方程的关系、图像法
23. 【答案】莉莉的解法不正确，理由：莉莉未经过证明就将 看成是直角三角形，使用了勾股数导致错误．正确解法如下：
， 是 的平分线，
，，
在 中，由勾股定理，得 ，
，
，
．
【知识点】勾股定理、等腰三角形“三线合一”
24. 【答案】
(1) （万立方米）．
(2) 一天清 万米 ，则 天清 万米 ，所以剩下的为 ．
(3) 令 得，解得
【知识点】一次函数的应用
25. 【答案】
(1)
(2) 如图，取格点 ，，连接 交 于点 ；取格点 ，，连接 交 延长线于点 ；取格点 ，连接 交 延长线于点 ，则点 即为所求．
【知识点】作图综合、勾股逆定理、两边成比例且夹角相等
26. 【答案】
(1) 在正方形 ,等腰直角三角形 中，
，，，
，
，
．
(2) ，， ,
，
，
， ,
为直角三角形，
．
(3) 是 中点，
，
，
，
，
在 中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
．
【知识点】正方形的性质、基本定理、勾股逆定理、两角分别相等
27. 【答案】
(1) 在 中，由 ， 可得：，
在 中，由 ， 可得：，
点 坐标为 ，点 坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
由 ， 在直线上可得：
解得
故直线 的解析式为：，
设直线 的解析式为：，
由 ， 在直线上可得：
解得
故直线 的解析式为：．
(2) 如图 ，
由点 ， 关于 对称可知：
点 ，， 分别为线段 ，， 的中点，
，，，
设存在点 使得点 ，， 为项点的三角形是以 为斜边的直角三角形，
，
，，
在 中， 为斜边，由勾股定理可得：，
即：，解得：．
故点 的坐标为 或 ．
(3) 存在三组符合题意的 ， 坐标，分别为：
，；
，；
，．
【解析】
(3) ①当 为正方形 的边时，如图 ，
若 在直线 的上方，则可过点 作 轴于点 ，
，，
，
而已知：，故易证 ，
，，
易得 ，，，
，，，
点 坐标为 ，
由平移可得点 坐标为 ，
若 ， 在直线 的下方，记此时的正方形为 ，
由同上思路可先利用“ 型全等”得到点 坐标为 ，
再利用平移得到点 坐标为 ．
②当 为正方形的对角线时，如图 所示，
此时的正方形为 ，
过点 做 轴的平行线交 轴于点 ，
过点 作该平行线的垂线并与之交于点 ．
易证 ，
设点 坐标为 ，
由 可得
由 可得
联立①②解得：，，
故点 的坐标为 ，
由平移易得点 坐标为 ．
综上可得：存在三组符合题意的 ， 坐标，分别为：
，；
，；
，．
【知识点】一次函数的解析式、平面直角坐标系及点的坐标、勾股定理、边角边
28. 【答案】
(1)
(2) 如图 中，
，，
，
，，
，
，
，
，
直线 为 的“等周线”．
(3) 或 或
【解析】
(1) 如图 中，
是等边三角形， 是中线，
由题意：，，
，，
，
．
(3) ①如图 中，当“等周线”经过点 时，直线 交 于点 ，设 ，则 ，作 于 ．
由题意：，解得 ，
，
，
，
在 中，，
“等周径”长为 ．
②如图 中，当“等周线”经过点 时，直线 交 于点 ，设 ，则 ，
由题意：，解得 ，
，
在 中，，
“等周径”长为 ．
③如图 中，当“等周线”经过点 时，直线 交 于点 ，设 ，则 ，
由题意：，解得 ，
，
在 中，，
“等周径”长为 ．
综上所述，满足条件的“等周径”长为 或 或 ．
【知识点】对应边成比例、角角边、等腰三角形的性质、特殊角的正弦、勾股定理
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