初中数学苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆综合与测试练习题

这是一份初中数学苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆综合与测试练习题，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第2章圆--章节提优练习（共28题，共150分） 一、选择题（共10题，共30分）（3分）半径为 的圆在长为 、宽为 的长方形内滚动，则该圆滚动过程中所能覆盖部分的最大面积等于  A．  B．  C．  D．  （3分）如图， 是 的外接圆，连接 ，， ,则 的度数为  A．  B．  C．  D．  （3分）如图， 是正方形 的对角线 上一点， 与边 ， 都相切，点 ， 分别在边 ， 上．现将 沿着 对折，折痕 与 相切，此时点 恰好落在圆心 处．若 ，则正方形 的边长是  A． B． C． D． （3分）如图， 是半圆的直径， 是 延长线上的一点， 切半圆于点 ，若 ，则 等于  A．  B．  C．  D．  （3分）如图示， 内切于 ，切点分别为点 ，点 ，点 ．已知 ，，连接 ，，则 的度数为  A．  B．  C．  D．  （3分）在平面直角坐标系内，以原点 为圆心， 为半径作圆，点 在直线 上运动，过点 作该圆的一条切线，切点为 ，则 的最小值为  A．  B．  C．  D．  （3分）如图，四边形 是菱形，，，扇形 的半径为 ，圆心角为 ，则图中阴影部分的面积是  A．  B．  C．  D．  （3分）对于一个函数，自变量 取 时，函数值 等于 ，则称 为这个函数的零点．若关于 的二次函数 有两个不相等的零点 ，（），关于 的方程 有两个不相等的非零实数根 ，（），则下列关系式一定正确的是  A．  B．  C．  D．  （3分）如图，已知⊙的半径为5，弦，所对的圆心角分别是，，若与互补，弦，则弦的长为　　 A．6 B．8 C． D． （3分）某公园计划砌一个形状如图所示的喷水池，后来有人建议改为图的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿　　 A．图需要的材料多 B．图需要的材料多 C．图、图需要的材料一样多 D．无法确定 二、填空题（共10题，共30分）（3分）如图，过 外一点 作 的两条切线 ，，切点分别为 ，．下列结论：① 垂直平分 ；② ；③ ；④若 ，则 ；⑤ ．其中，正确的结论是    （填序号）． （3分）如图，点 ，， 在 上，弦 与半径 互相平分，则 的度数为    度． （3分）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，，且 ，则 的取值范围是    ． （3分）在一个不透明的盒子里装有 个形状大小完全相同的乒乓球，上面分别标有 ，，，，，，六个数字，现将它们摇匀后从中任取一个乒乓球，将该乒乓球上的数字记为 ，则使关于 的一元二次方程 有实数根，且使关于 的分式方程 有正数解的概率为    ． （3分）如图，正三角形 的边长为 ，点 ， 在半径为 的圆上，点 在圆内，将正三角形 绕点 逆时针旋转，当点 第一次落在圆上时，点 运动的路线长是    ． （3分）如图，将弧 沿弦 折叠交直径 于点 ，若 ，，则弦 的长是    ． （3分）已知 中，， 是 的中点．如图．（）以 为圆心， 为半径，作半圆 ；（）分别以 ， 为圆心，， 为半径作弧，两弧交于点 ；（）连接 ，，；（）作线段 的中垂线，分别交线段 于点 ，半圆 于点 ，连接 ；（）以点 为圆心，线段 为半径，作 ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中：①点 在半圆 上；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．一定正确的是    ． （3分）如图，在矩形 中，，，以 为直线作 ，将矩形 绕点 旋转，使所得矩形 的边 ，边 与 相交于点 ，则 的长为    ． （3分）在平面直角坐标系 中，点 ，以 为半径在第一象限内作圆弧 ，连接 ，，圆心角 ，点 为弧 的中点， 为半径 上一动点，点 关于直线 的对称点为 ，若点 落在半径 上，则点 的坐标为    ；若点 落在半径 上，则点 的坐标为      . （3分）东营市某中学为积极响应“书香东营，全民阅读”活动，助力学生良好阅读习惯的养成，形成浓厚的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如表所示，则在本次调查中，学生阅读时间的中位数是    ．\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline 时间( 小时) &0.5&1&1.5&2&2.5\\\hline 人数( 人) &12&22&10&5&3\\\hline\end{array}\) 三、解答题（共8题，共90分）（8分）如图，在 中，， 是 的切线，切点为 ，直线 交 于点 ，，且 ．(1)  求 的度数；(2)  若 ，求 的面积． （10分）如图， 是 的直径， 和 是 的两条切线， 为 上一点，过点 作直线 分别交 ， 于点 ， 且 ．(1)  求证：；(2)  若 ，，求图中阴影部分的面积． （10分）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司 年盈利 万元，到 年盈利 万元，且从 年到 年，每年盈利的年增长率相同．(1)  求每年盈利的年增长率；(2)  若该公司盈利的年增长率继续保持不变，那么 年该公司盈利能否达到 万元？ （10分）如图， 为 的直径， 是 延长线上一点， 切 于点 ， 是 的弦，，垂足为 ．(1)  求证：；(2)  过点 作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 ，，求 的长． （10分）如图 ，在 中，， 于点 ，点 在 上，且 ，连接 ．(1)  求证：；(2)  如图 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 （点 ， 分别对应点 ，），设射线 与 相交于点 ，连接 ，试探究线段 与 之间满足的数量关系，并说明理由． （12分）已知关于 的二次函数 ，且关于 的方程 的两根的平方和等于 ．(1)  求函数的解析式；(2)  设这个二次函数的图象与 轴从左至右分别交于 、 两点，在图中所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象，点 是位于对称轴右侧函数图象上的一点，且锐角 的面积的等于 ，求点 的坐标．(3)  在（2）的条件下，过点 及点 的直线与抛物线交于点 （点 不与点 重合），求证： 是直角三角形，并求 的面积． （14分）如图 ，直线 分别交 轴、 轴于 ， 两点，点 是线段 上的一动点，以 为圆心， 为半径画圆．(1)  若点 的横坐标为 ，当 与 轴相切时，则半径 为    ，此时 与 轴的位置关系是    ．（直接写结果）(2)  若 ，当 与坐标轴有且只有 个公共点时，求点 的坐标．(3)  如图 ，当圆心 与 重合， 时，设点 为 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，求 长的最值并直接写出对应的点 的坐标． （16分）已知，抛物线 （ 是常数）．(1)  当 时，求该抛物线与 轴的公共点的坐标．(2)  抛物线与 轴相交于不同的两点 ，．①求 的取值范围．②无论 取何值，该抛物线都经过非坐标轴上的定点 ，当 时，求 面积的最大值，并求出相对应的 的值．
答案一、选择题（共10题，共30分）1.  【答案】B【知识点】扇形面积的计算 2.  【答案】B【解析】因为 ，，所以 ，所以 ，又 ，所以 ．故选B．【知识点】圆周角定理及其推理 3.  【答案】C【知识点】勾股定理之折叠问题、切线的性质、正方形的性质 4.  【答案】D【解析】连接 ． ， ，  切半圆于点 ， ， ．【知识点】圆周角定理及其推理、切线的性质 5.  【答案】B【解析】 ， ， ．连接 ，．  内切于 ，切点分别为点 ，点 ， ，， ， ， ．【知识点】三角形的内切圆，内心 6.  【答案】D【知识点】切线的性质、勾股定理、一次函数的解析式 7.  【答案】A【解析】连接 ．  四边形 是菱形，， ， ，  是等边三角形， ，  的高为 ，  扇形 的半径为 ，圆心角为 ， ，， ，设 ， 相交于点 ，设 ， 相交于点 ，在 和 中，   ，  四边形 的面积等于 的面积，  图中阴影部分的面积是：．【知识点】扇形面积的计算、菱形的性质 8.  【答案】B【解析】 ， 是 的两个不相等的零点，即 ， 是 的两个不相等的实数根，   ，解得 ，，  方程 有两个不相等的非零实数根 ，，   ，解得 ，， ， ， ，， ， ， ，而由题意知 解得 ，当 时，，，；当 时，，，；当 时， 无意义；当 时，，  取值范围不确定，故选B．【知识点】一元二次方程根与系数的关系、二次函数与纯代数的综合、二次函数与方程 9.  【答案】B【解析】【分析】延长交⊙于点，连接，由知，据此可得，在中利用勾股定理求解可得． 【解析】解：如图，延长交⊙于点，连接，则，又，，，为⊙的直径，，，故选：． 【点评】本题主要考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理．【知识点】弧、弦、圆心角的关系定理 10.  【答案】C【解析】【分析】根据圆的周长公式，将每个圆的周长计算出来，找到和周长的关系即可． 【解析】解：设大圆的直径是．根据圆周长公式，得图中，需要2π；图中，中间的三个小圆的直径之和是，所以需要2π．故选：． 【点评】注意：第二个图中，计算三个小圆的周长时候，提取π，所有的直径之和是大圆的直径．【知识点】圆的相关元素 二、填空题（共10题，共30分）11.  【答案】①③④【知识点】边边边、切线的性质、切线长定理 12.  【答案】 【知识点】垂直平分线的性质、垂径定理 13.  【答案】 【解析】 一元二次方程 有两个不相等的实数根， ，解得 ， ， 是方程两个实数根， ， ， ， ， ．【知识点】一元二次方程根与系数的关系 14.  【答案】 【解析】 关于 的一元二次方程 有实数根， ，解得： 且 ，又 关于 的分式方程 有正数解，  且 ，解得： 且 ，  的取值范围为 ，  符合条件的 只有 ，  符合条件的概率为 ．【知识点】一元二次方程根的判别式、公式求概率 15.  【答案】 【解析】如图，连接 ，，， ，，  是等腰直角三角形， ．同理可证 ， ． ，．  当点 第一次落在圆上时，点 运动的路线长为 ．【知识点】旋转及其性质、弧长的计算、等边三角形的性质 16.  【答案】 【解析】作 于 ，连接 ，，，如图，  以半圆的一条弦 为对称轴将弧 折叠后与直径 交于点 ，  弧与 弧所在的圆为等圆， ， ， ，在 中，，， ，在 中，，  为直径， ， ．故答案为 ．【知识点】圆周角定理推论、弧、弦、圆心角的关系定理 17.  【答案】①②④【解析】由作图可知，以 为圆心， 为直径的半圆是 的外接圆． ，  是直径所对的圆周角．  点 在半圆 上，故①正确；由分别以 ， 为圆心，， 为半径作弧，两弧交于点 可知，， 是以圆 的半径， ，故②正确；  在以 为圆心、 为半径的圆中，  在以 为圆心、 为半径的圆中， ，故③错误； ，， ，，又 ，， ， ，， ，故④正确；在以点 为圆心、 为直径的圆中， 是直径， 是该圆的一条弦， ，即 ，故⑤错误；  作线段 的中垂线， ， ， ，故⑥错误．综上所述：①②④正确．【知识点】两角分别相等、圆周角定理推论、三角形的外接圆与外心 18.  【答案】  【解析】过点 作 于 ，  矩形 绕点 旋转得矩形 ， ，，， ，， ，  四边形 是矩形， ， ， ， ， ，在 中，，，， ， ，  在 中，，  的长为 ．【知识点】垂径定理 19.  【答案】，；，【解析】（1）当点 与点 重合时，点 的坐标为 ；当点 在 上（与 不重合时），如图，连接 . ，， .在 中，得 ， ． ．  的坐标为 ．(2)当点 与点 重合时，点 落在 点 ．点 的坐标为 ；当点 在 上（与 不重合时)，如图.连接 ，． ． ， ．由①知，． ．  点 的横坐标为 ，纵坐标为 ．  点 为 ．【知识点】图形成轴对称、30度所对的直角边等于斜边的一半、弧、弦、圆心角的关系定理 20.  【答案】1【解析】【分析】由统计表可知总人数为52，得到中位数应为第26与第27个的平均数，而第26个数和第27个数都是1，即可确定出中位数为1． 【解析】解：由统计表可知共有：人，中位数应为第26与第27个的平均数，而第26个数和第27个数都是1，则中位数是1．故答案为：1． 【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．也考查了条形统计图．【知识点】中位数 三、解答题（共8题，共90分）21.  【答案】(1)  连接 ．  是 的切线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． (2)  在 中，，， ，， ．作 交 于 ， ， ， ，即 ， ，  的面积 ． 【知识点】切线的性质、两角分别相等 22.  【答案】(1)  连接 ． ， ． ， ， ．  为 的切线， ；  为半径，  为 的切线，  切 于点 ， ；(2)  如图，过点 作 于点 ，则四边形 是矩形， ，， ． ， ， ．在直角 中，， ．在 与 中，   ， ． ．【知识点】切线的判定、解直角三角形、扇形面积的计算、切线长定理、切线的性质 23.  【答案】(1)  设每年盈利的年增长率为 ，根据题意得：解得答：每年盈利的年增长率为 ．(2)   ，．答： 年该公司盈利能达到 万元．【知识点】平均增长率 24.  【答案】(1)  如图，连接 ，  切 于点 ， ． ．即 ．  为 的直径， ，即 ．又 ， ． ．(2)   ， ．又 ， ． ．又 ， ． ．又 ， ．又 ， ． ， ．在 中，，， ，． ．在 中，设 ， ． ． ．又 为 直径， ．在 中， ， ．又 ， ．【知识点】圆周角定理推论、切线的性质、垂径定理、正弦 25.  【答案】(1)  在 中，， ，在 和 中，   ， ．(2)  方法 ：如图 ，  是由 绕点 逆时针旋转 得到， ，， ，由（）有， 和 都为等腰三角形， ， ，  点 ，，， 四点共圆， ，设 与 交于点 ， ， ， ，  是由 绕点 逆时针旋转 得到， ，由（）知，， ， ，即：．【解析】(2)  方法 ：如图③，取 的中点 ，连接 ，，  是由 绕点 逆时针旋转 得到， ，， ，由（）有， 和 都为等腰三角形， ， ，由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ，由旋转知，， ，由（）知，， ， ， ， ，  是等边三角形， ， ，即：．【知识点】圆周角定理及其推理、两角分别相等、边角边 26.  【答案】(1)  设 与 为方程 的两根，则可知：，且判别式 ，   ，即：，解得：．又   ，．  由 得：，代入数据得：，即 ．解得：（舍，  ）与 ．  函数解析式为：，即：．（对称轴为 ）．(2)  如图所示，设 ，又设 的高为 ，则可知：，，由 ，得：，   ，，   ．  由 得：，解得：，   ．①当 时，则由 得：，解得：，（舍），   为图中的 （ 轴上方），此时易知 为钝角，所以舍去．②当 时，则 为图中的 （ 轴下方），易知： 为锐角三角形，所以 有效．此时，由 ，解得 （舍），．   的坐标为 ．(3)  由（2）知 坐标为 ，设可直线 的方程为：，则因为其过 与 ，  得： 解得：   直线 的方程：．  由 得：（舍）与 （有效，如图所示）．   坐标为 ，  易知 ，   ，   是以角 为直角的直角三角形．设 与 在底边 上的高分别为 与 ，   ，，   ， 【知识点】二次函数与方程、二次函数的解析式、一次函数的解析式、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系 27.  【答案】(1)   ；相离 (2)  当 与 轴相切，与 轴相交时，则点 的纵坐标是 ，  点 在直线 上， ，得 ，  点 的坐标为 ；当 于 轴相切，与 轴相交时，则点 的横坐标是 ，  点 在直线 上， ，得 ，  点 的坐标为 ． (3)   最大值为 ，． 【解析】(1)  将 代入 ，得 ，  点 的坐标为 ，  与 轴相切，  半径 为 ， ，  此时 与 轴的位置关系是相离．(3)  连接 ，， ， ， ，  时，， 时，，  点 ，点 ， ，，在 和 中，   ， ， ， ，  点 的运动轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆．  当点 在线段 上时， 可取得最小值为 ．此时，设点 的坐标为 ，则 ，解得 或 （舍去），则 ，  点 坐标为 ，当点 在线段 的延长线上时， 可取得最大值为 ，此时点 的坐标为 ，则 ，解得 或 （舍去），则 ，点 坐标为 ．【知识点】一次函数与一元一次方程的关系、直线与圆的位置关系、切线的性质、一次函数图像上点的坐标特征、边角边 28.  【答案】(1)   ，令 ， ， ，，  公共点为 和 ．(2)  ① 抛物线与 轴交于不同的两点，  方程 有两个不等实数根，   ， ，又 为二次项系数， ，  的取值范围为 且 ．②  令 ， ， ，，将其代入得 ，，过两个定点：，，  不在坐标轴上，  为 ，  的 边上的高为 ， ， ， ，  当 时， 最大， ．【知识点】一元二次方程根的判别式、二次函数与方程、二次函数与三角形综合