【假期专项练习】找规律问题训练-2021-2022学年上学期八年级数学(人教版)

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2021-2022学年八上期末金牌找规律问题训练（时间：60分钟  总分：100）      班级  姓名 得分一、选择题观察下列等式：，，，根据其蕴含的规律可得A.  B.  C.  D. 【答案】【解析】【分析】
此题考查了数式规律问题，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
归纳总结得到一般性规律，即可得到结果．

【解答】解：由，得，
，
，

易得其结果以，，为循环节依次循环．
因为，
所以．
故选B．  已知：；；；，若符合前面式子的规律，则A.  B.  C.  D. 【答案】【解析】解：根据已知等式的规律知、，
则，
故选：．
根据已知等式知，据此得出、的值，继而可得答案．
本题主要考查分式的运算，解题的关键是根据题意得出规律．
 南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下图称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是    A.  B.  C.  D. 【答案】【解析】由“杨辉三角”的规律可知，展开式中所有项的系数和为．
故选C．
 观察如图所示的两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是   
A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】【解析】本题主要考查了多项式乘多项式，根据题意和多项式和多项式运算法则作答即可．
解：根据题意，知，，
，的值可能分别是，，故选 A．
 如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是
A.  B.
C.  D. 【答案】【解析】【分析】
本题考查了翻折变换的性质，三角形的内角和定理和外角性质，属于较难题．
根据翻折的性质可得，，再利用三角形的内角和定理和三角形的外角性质整理即可得解．
【解答】
解：如图，

由翻折的性质得，，，
，
在中，，
，
，
，
整理得，，
，
．
故选A．  我们都有这样的生活经验，要想使多边形三角形除外木架不变形至少再钉上若干根木条，如图所示，四边形至少再钉上一根；五边形至少再钉上两根；六边形至少再钉上三根；，按照此规律，十二边形至少再钉上
A. 根 B. 根 C. 根 D. 根【答案】【解析】解：过边形的一个顶点可以作条对角线，把多边形分成个三角形，
所以，要使一个十二边形木架不变形，至少需要根木条固定．
故选：．
根据分成三角形个数与边数的关系，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数，由此得出答案即可．
此题考查了图形的变化规律，考虑把多边形分成三角形是解题的关键．
 如图，的面积为第一次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到第二次操作：分别延长，，至点，，，使，，，顺次连接，，，得到，按此规律，要使得到的三角形的面积超过，最少经过___次操作  A.  B.  C.  D. 【答案】【解析】【分析】
本题考查了三角形的面积，属于规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．
先根据已知条件求出及的面积，再根据两个三角形的倍数关系求解即可．
【解答】
解：与的底相等，，故面积比为：，
的面积为，
．
同理可得，，，
；
同理可证，
第三次操作后的面积为，
第四次操作后的面积为．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过，最少经过次操作．
故选D．  如图，已知和关于直线对称；在射线上取点，连接，，如图，在射线上取点连接，，如图，依此规律，第个图形中全等三角形的对数是
A.  B.  C.  D. 【答案】【解析】【分析】
此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．根据条件可得图中≌有对三角形全等；图中可证出≌，≌，≌有对三角形全等；图中有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数．
【解答】
解：和关于直线对称，
．
在与中，
，，，
≌．
图中有对三角形全等；
同理图中，≌，
，
≌．
，
在和中，
，，，
≌，
图中有对三角形全等；
同理：图中有对三角形全等；
由此发现：第个图形中全等三角形的对数是，
所以：第个图形中全等三角形的对数是．
故选C．  下列图案是由斜边相等的等腰直角三角形按照一定的规律拼接而成，依此规律，第个图案中的三角形与第一个图案中的三角形能够全等的共有个．
A.  B.  C.  D. 【答案】【解析】解：第个中有个全等的小等腰直角三角形，即有个全等的小等腰直角三角形，
第个中有个全等的小等腰直角三角形，即有个全等的小等腰直角三角形，
则第个中应有个全等的小等腰直角三角形，
所以第个图案中的全等的小等腰直角三角形的个数为个．
故选：．
根据图形找出规律，即第几个就有几的平方个小三角形，所以第个图案中的全等小等腰直角三角形的个数就是个，即个，可推出结论．
本题考查了规律型：图形的变化．解题的关键是找到每个图形中小三角形的个数与图形的序号之间的关系．
 如图所示，边长为的等边三角形中，点在边上运动不与、重合，点在边的延长线上，点在边的延长线上，点在边上从至的运动过程中，周长变化规律为A. 不变
B. 一直变小
C. 先变大后变小
D. 先变小后变大【答案】【解析】解：，
，，
，
，
，
，
，
，且，，
≌，
，，
周长，
点在边上从至的运动过程中，
的长先变小后变大，
周长先变小后变大，
故选：．
由“”可证≌，由全等三角形的性质可得，，可得周长，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明≌是本题关键．
  如图，点的坐标为，在轴的正半轴上，且，过点作，垂足为，交轴于点，过点作，垂足为，交轴于点；过点作，垂足为，交轴于点；过点作，垂足为，交轴于点；按此规律进行下去，则点的横坐标为
A.  B.  C.  D. 【答案】【解析】解：，点的坐标为，
点的坐标为
，
，点的坐标为．
同理可得：，，，，
，，
，为自然数．
，
，
即：，
故选：．
仔细观察图形，找到图形中点的变化规律，根据规律求解．
本题考查了规律型中点的坐标以及含度角的直角三角形，根据点的变化找出变化规律是解题的关键．
 如图，在射线，上分别截取，连结在，上分别截取，连结，按此规律作下去，若，则
A.  B.  C.  D. 【答案】【解析】【分析】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差得到分母成的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键根据等腰三角形两底角相等用表示出，依此类推即可得到结论．
【解答】解：，，
，
同理，，，，，
．
故选B．   二、填空题方程的解为，方程的解为方程的解为按此规律，解为的方程应表示为                                          ．【答案】【解析】【分析】
本题考查了解分式方程，发现规律解决问题是关键，根据观察发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时值的平均数，根据规律，可得方程．
【解答】
解：根据已知可得一个解为的分式方程如：
故答案为．  观察下列各式：；：；根据前面各式的规律，你能不能得出下面式子的结果：________其中为正整数【答案】【解析】【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式及数字变化规律，根据已知得出的次数变化规律是解题关键观察其右边的结果：第一个是；第二个是；依此类推，则第个的结果即可求得．【解答】解：；；
；
．
故答案为．  “转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
 请你根据已经学过的知识求出下面星形图中的和为_________；若对图中星形截去一个角，如图，请你求出的和为_________；若再对图中的角进一步截去，你能由题中所得的方法或规律，猜想图中的的和为_________．【答案】
 【解析】【分析】
本题主要考查了多边形的内角与外角之间的关系．有关五角星的角度问题是常见的问题，其个角的和是度．解此题的关键是找到规律利用规律求解．
根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得的度数；
根据三角形外角的性质和四边形内角和等于可得的度数；
根据图中可找出规律，并且每截去一个角则会增加度，由此即可求出答案．
【解答】
解：如图，

是的一个外角，
，
同理，，
；
如图，连接，

是的一个外角，
，
同理，，

，

；
如图，根据图中可得出规律，每截去一个角则会增加度，
所以当截去个角时增加了度，

．  如图，直线，被直线所截，，，分别平分，交于点，分别平分，交于点，分别平分，交于点依此规律，得点，则          ．
【答案】【解析】【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线，解题的关键是找出变化规律“”本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线以及角平分线找出部分的度数，根据数据的变化找出变化规律是关键．根据以及，分别平分，即可得出，写出部分的度数，根据数据的变化找出变化规律“”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：因为，所以．
因为，分别平分，，所以．
观察，发现规律：，，所以．  直角坐标系中，已知，作点关于轴对称点，点关于原点对称点，点关于轴对称点，关于轴对称点，，按此规律，则点的坐标为______．【答案】【解析】解：作点关于轴的对称点为，是；
作点关于原点的对称点为，是；
作点关于轴的对称点为，是．
显然此为一循环，按此规律，，
则点的坐标是，
故答案为：．
此题主要是发现循环的规律，然后根据规律进行计算．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于坐标轴对称点的坐标，解答此题需熟悉：两个点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点关于轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点关于原点对称，则横坐标、纵坐标都是互为相反数．
 三、解答题观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；

根据你观察到的规律，解决下列问题：
请写出第个等式：______ ；
请写出第个等式______ 用含的等式表示，并证明．【答案】 

证明：右边，
左边．
左边右边．
结论成立．
即：【解析】解：第个等式为：．
故答案为：．
猜想第个等式为：
故答案为：
证明：见答案．

仔细观察每一个等式中的数字与序号的特点，找出规律可解；
依据中的规律，将特殊转化为一般即可；分别计算等式的左右两边．结果相同即可．
本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，找出等式中的数字哪些不变，哪些变化，变化的情形与序号的关系是解题的关键．
 观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；

按照以上规律，解决下列问题：
写出第个等式：______ ；
写出你猜想的第个等式：______ 用含的等式表示，并证明．【答案】 
 【解析】解：；
故答案为：；
．
故答案为：．
证明：左边
右边，
所以等式成立．
观察前几个等式中数字的变化，即可写出第个等式；
结合即可写出第个等式．
本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”如图所示就是一例．
这个三角形的构造法则为两腰上的数都是，其余每个数均为其上方左右两数之和事实上，这个三角形给出了为正整数的展开式按的次数由大到小的顺序排列的系数规律例如，在三角形中第三行的三个数、、，恰好对应展开式中各项的系数第四行的四个数、、、，恰好对应展开式中各项的系数，等等．

根据上面的规律，展开式的各项系数中最大的数为          
直接写出的值
若，求的值．【答案】解析．
提示：原式．
当时，，
当时，，
．【解析】见答案
 如图所示，已知直线，，，在上，且满足，平分．
 求的度数；若平行移动，那么的值是否随之变化？若变化，请找出规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出的度数；若不存在，说明理由．【答案】解：，
，
平分，
，
，
；
平行移动，的值不随之变化．
，
，
，
，
，
：：，是定值；
在和中，
，，
，
、、是的四等分线，
，
，
故存在某种情况，使，此时．【解析】本题主要考查的是平行线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理的有关知识．
根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求出，计算即可得解； 
根据两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得解； 
根据三角形的内角和定理求出，从而得到、、是的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
 直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合．
 如图，平分，平分，若，求的度数；如图，平分，平分，的反向延长线交于点．若，则____度直接写出结果，不需说理；点、在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律．如图，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，在中，如果有一个角的度数是另一个角的倍，求的度数．【答案】解：如图中， 
 
， 
，
， 
， 
平分，平分， 
，， 
；
如图中， 
 
；
结论：点、在运动的过程中，，不变化，是定值，
理由：， 
点、在运动的过程中，； 
如图中， 
 
的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、， 
，， 
， 
， 
当时，， 
 
当时，，， 
不合题意舍弃 
当时，， 
 
当时，， 
不合题意舍弃 
综上所述，当或时，在中，有一个角的度数是另一个角的倍．【解析】【分析】
本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
首先根据角平分线的定义求出，，然后根据三角形的内角和定理通过，即可解决问题；
根据，只要求出，即可；
根据计算即可． 
首先证明，，再分四种情形讨论即可当时，当时，当时，当时，分别计算即可． 
【解答】
解：见答案；
， 
平分，平分， 
，， 
， 
．
故答案为；
见答案；
见答案．  如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时，

写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；设的度数为，的度数为，那么，的度数分别是多少？用含有或的代数式表示与、之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形外部时，与、的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出与、的数量关系；如果不发生变化，请说明理由．
【答案】解：≌，
其中，，；
，，
，，
，，
，
；，，
，
，
又，

或；
变化：，
理由：，
，，
在中，，
代入，化简得：．【解析】本题考查了全等三角形的判定，以及三角形的内角和定理：三角形的内角和等于度，掌握折叠的性质是解题的关键．
根据折叠的性质，可得出≌，再根据全等三角形的性质即可得出答案；
由折叠的性质得出，，，从而得出，的度数；
由折叠的性质得出，，再由三角形的内角和定理得出与的关系；
由，得出，，在中，，代入，化简即可解答．
  在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，这样才能提高我们解决问题的能力：规律发现：在学完数轴这节课后，小明的作业有两道小题，请你帮他把余下的两空完成：点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______；点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为_______；发现：点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为________．直接运用：将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，表示的数为，则值为______，若将从图中位置向右滚动，则数字对应点将与的顶点___重合。类比迁移：如图，，，若射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线【答案】解：；
；
发现：；
直接运用：；；
类比迁移：
，，，
，
经分析知秒时与重合，所以在秒以前设运动秒时，是与的角平分线，

解得．
经分析知秒时与重合，秒时与重合，所以在秒到秒间，是与的角平分线，设运动秒时，

秒时与重合，所以在秒以前设运动秒时，是与的角平分线，

解得．
秒时与直线重合，设秒后秒前运动秒时是与的角平分线，

解得舍去．
故运动秒，秒或秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线．【解析】【分析】
此题主要考查了等边三角形的性质，实数与数轴，一元一次方程等知识，本题将数与式的考查有机地融入“图形与几何”中，渗透“数形结合思想”、“方程思想”等，也是一道较优秀的操作活动型问题．
规律发现：
、根据线段中点的定义解答；
直接运用：根据等边三角形，利用边长相等得出，求出即可，再利用数字对应的点与的距离为：，得出，从出发到点滚动周后再滚动两次，即可得出答案；
类比迁移：关键是分析出秒时与重合，所以在秒以前设运动秒时，是与的角平分线，秒时与重合，所以在秒以前设运动秒时，是与的角平分线．
【解答】
解：点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为，
故答案为；
点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为，
故答案为；
发现：点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为；
故答案为；
直接运用：将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
；
，
解得：．
故A表示的数为：，
点表示的数为：，
即等边三角形边长为，
数字对应的点与的距离为：，
，从出发到点滚动周后再滚动两次，
数字对应的点将与的顶点重合．
故答案为；；
类比迁移：见答案．