1.2任意角-【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】（北师大2019版第二册）

1.2任意角【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】

一、单选题

1．设是第一象限角，且，则是第（    ）象限角

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】B

【分析】

计算得到，，再根据得到答案.

【详解】

∵是第一象限角，∴，，

∴，，

∴为第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴线角，

∵，∴，∴是第二象限角.

故选：.

【点睛】

本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.

2．角的终边在第三象限，那么的终边不可能在的象限是第（    ）象限

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】B

【分析】

根据的范围，求解出的范围，然后考虑与的倍数关系，从而可判断出终边所在象限.

【详解】

因为角的终边在第三象限，所以，

当时，，故的终边在第一象限，

当时，，故的终边在第三象限，

当时，，故的终边在第四象限，

综上可知：的终边不可能在第二象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查已知终边所在象限求解的终边所在象限，难度一般.常用的两种处理问题的方法：(1)等分象限法：在平面直角坐标系中画一个圆心在原点的圆，坐标系将圆分为四等份，再将每一等份均分为等份，从轴正半轴开始，按逆时针方向在每一等份上循环标记数字，所在象限对应的数字出现在第几象限，则即为第几象限的角；(2)根据的范围考虑的范围，然后分类考虑与的倍数之间的关系，由此确定出所在象限.

3．若角与角的终边关于y轴对称，则必有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据角与角的终边关于y轴对称，有，即可得解.

【详解】

角与角的终边关于y轴对称，

所以，

，

即，

故选：D

【点睛】

此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代数关系求解.

4．设为小于的角}，为第一象限角}，则等于（    ）

A．为锐角}          B．为小于的角}

C．为第一象限角}    D．

【答案】D

【分析】

直接利用交集的运算法则得到答案.

【详解】

为小于的角}，为第一象限角}

则

故选：

【点睛】

本题考查了交集的运算，属于简单题.

5．若是第二象限角，那么和都不是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】

若是第二象限角,则可设再分析和.

【详解】

设,此时,故为第一、三象限的角.

又,故为第四象限角.所以和都不是第二象限.

故选B.

【点睛】

已知所处的象限可直接表达出角度的范围再讨论.

6．如果，那么与终边相同的角可以表示为　　

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据终边相同的角相差的整数倍，故与角有相同终边的角为，接下来，将代入上式，即可得解.

【详解】

根据终边相同的角相差的整数倍，

故与角有相同终边的角为，

所以，表示为，

故选B.

【点睛】

该题考查的是有关终边相同的角的问题，涉及到的知识点有终边相同的角的关系，属于简单题目.

7．设集合M＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝×180°＋45°，k∈Z}，那么(   　)

A．M＝N B．N⊆M C．M⊆N D．M∩N＝∅

【答案】C

【分析】

变形表达式为相同的形式，比较可得．

【详解】

由题意可

即为的奇数倍构成的集合，
又，即为的整数倍构成的集合，，
故选C．

【点睛】

本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题．

8．若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

分析：由题意逐一考查所给选项即可求得最终结果.

详解：若是第一象限角，则：

位于第一象限，位于第二象限，

位于第四象限，位于第三象限，

本题选择C选项.

点睛：本题主要考查象限角的概念，意在考查学生的转化能力和概念熟练程度.

9．若为第一象限角，则，，，中必定为正值的有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】B

【分析】

根据题意，是第一或二象限角，且为第一或三象限角，由此结合正、余弦函数在各个象限的符号规律，不难得到本题的答案．

【详解】

解：因为为第一象限角，所以为第一或二象限角，

可得：，而符号不确定，

又为第一或三象限角，

，可以是正数，也可以是负数，它们的符号均不确定

综上所述，必定为正值的只有一个

故选：．

【点睛】

本题给出是第一象限角，判断几个三角函数值的符号．着重考查了象限角的概念和三角函数在各个象限的符号等知识，属于基础题．

10．已知集合A＝{x|x＝k×180°＋(－1)k×90°，k∈Z}，B＝{x|x＝k×360°＋90°，k∈Z}，则A，B的关系为(　　)

A．BA B．AB C．A＝B D．A⊆B

【答案】C

【解析】

【分析】

分k为奇数和偶数两种情况，讨论集合A表示的角所在位置，然后确定集合B表示的角所在位置，即可判断两个集合的关系。

【详解】

集合A中，当k为奇数时，x＝k×180°－90°，终边落在y轴的非负半轴上；当k为偶数时，x＝k×180°＋90°，终边落在y轴的非负半轴上；集合B表示的角的终边也落在y轴的非负半轴上.

故A＝B.

【点睛】

本题考查了终边相同的角的集合表示，考查了分类讨论的思想，属于基础题。

二、多选题

11．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】

根据集合中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项.

【详解】

对于A选项，除了锐角，还包括其它角，比如，所以A选项错误.

对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确.

对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.

对于D选项，中角的范围不一样，所以D选项错误.

故选：BC

【点睛】

本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.

12．设是第三象限角，则所在象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】BD

【分析】

用不等式表示第三象限角α，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定的终边所在的象限．

【详解】

是第三象限角，

，，

则，，

令，   有，；在二象限；

，，有，；在四象限；

故选：B．

【点睛】

本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限,属于容易题.

三、填空题

13．已知是第一象限角，且，则是第______象限角.

【答案】三

【分析】

由是第一象限角得出有可能是第一象限角或第三象限角，结合正切函数的单调性得出，分别讨论是第一象限角和第三象限角两种情况，结合商数关系，即可得出答案.

【详解】

是第一象限角

，故有可能是第一象限角或第三象限角

在上单调递增，，

若是第一象限角，则

则，与矛盾

当是第三象限角，则

则

综上，是第三象限角

故答案为：三

【点睛】

本题主要考查了确定分角所在象限，涉及了正切函数的性质的应用，属于中档题.

14．下列说法中正确的序号有________．

①－65°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．

【答案】①②③④

【分析】

根据象限角的表示，分别表示形式，即可得到结论.

【详解】

由题意，①是第四象限角，是正确的；②是第三象限角，是正确的；

③，其中是第二象限角，所以为第二象限角是正确的；

④，其中是第一象限角是正确的，

所以正确的序号为①②③④

【点睛】

本题主要考查了象限角的表示及判定，其中解答中熟记象限角的表示，合理判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

15．已知θ为小于360°的正角，这个角的4倍角与这个角的终边关于x轴对称，那么θ＝_________

【答案】72°或144°或216°或288°.

【分析】

由角4θ与角θ终边关于x轴对称，可知角4θ与角－θ终边相同，从而可得到4θ＝－θ＋k·360°(k∈Z)，结合θ为小于360°的正角，可得到答案．

【详解】

依题意，可知角4θ与角－θ终边相同，故4θ＝－θ＋k·360°(k∈Z)，故θ＝k·72°(k∈Z).

又0°<θ<360°，故令k＝1,2,3,4.

得θ＝72°或144°或216°或288°.

【点睛】

本题考查了终边相同的角的表示，两个角的终边关于x轴对称这一条件是解决本题的关键，属于基础题．

16．已知点P位于x轴正半轴上,射线OP在1秒内转过的角为,经过2秒到达第三象限,若经过14秒后又恰好回到出发点,则________.

【答案】或

【分析】

根据2秒到达第三象限，可确定，

结合得范围，经过14秒后又恰好回到出发点可得，联立条件即可求出.

【详解】

且,

必有,.

又,,

,即,或5.

故或.故答案为：或

【点睛】

本题主要考查了角的旋转，象限角，终边相同的角，属于中档题.

四、解答题

17．如图,,分别是终边落在射线OA,OB位置上的两个角,且,.

(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合;

(2)求终边落在阴影部分(不包括边界),且在内的角的集合.

【答案】(1).

(2).

【分析】

（1）写出终边在边界上的角，即可得阴影部分角的集合（2）由（1）取适当的整数即可求满足条件角的集合.

【详解】

（1）因为,，

可知终边在射线上的角分别是，，，

所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为：

.

（2）当时，在内的角为，

当时，在内的角为，

所以终边落在阴影部分(不包括边界),且在内的角的集合：

.

【点睛】

本题主要考查了利用终边相同的角写出终边在指定区域内角的集合，属于中档题.

18．写出终边在图中阴影区域(包括边界)内的角的集合.

【答案】(1);

(2);

(3).

【分析】

写出终边在边界上的角，结合图象，利用不等式表示终边在阴影内的角.

【详解】

（1）终边在边界上的角为，，

终边在阴影部分的角满足：，

所求角的集合为

（2）终边落在边界上的角为，，终边落在坐标轴上的角，，

终边落在阴影区域内的角为，

故所求角的集合为，

（3）终边落在边界上的角为，，，

终边在阴影部分的角满足：，

故所求角的集合为

【点睛】

本题主要考查了终边在指定区域的角的表示，终边相同的角，属于中档题.

19．（1）如果角的终边在第二象限，讨论的终边所在的位置；

（2）由此可否得出更一般的结论？并画出的终边在第一、二、三、四象限时，的终边所在的位置；

（3）类似地讨论的位置（可设在第一象限，讨论终边的位置，并推广到一般情形）．

【答案】（1）在第一，第三象限；（2）可以，详图见解析；（3）当的终边在第一象限时，的终边在第一或第二或第三象限；当的终边在第二象限时，的终边在第一或第二或第四象限；当的终边在第三象限时,的终边在第一或第三或第四象限；

当的终边在第四象限时，的终边在第二或第三或第四象限

【分析】

当角的终边在第二象限，得，则，从表达式可以看出，应分为是奇数和是偶数进行讨论，进而可确定的终边在第一、二、三、四象限时，的终边所在的位置，结合象限，画出图形即可；同理的终边位置的讨论方法跟之前步骤一样

【详解】

(1)由角的终边在第二象限，得，

则，

当k为奇数时，的终边在第三象限，

当k为偶数时,的终边在第一象限

(2)由(1)可得，当的终边在第一、二、三、四象限时，的终边分别在第一或第三、第一或第三、第二或第四、第二第四象限，如图：

(3)当的终边在第一象限时，即，得，

的终边在第一或第二或第三象限，

推广可知：当的终边在第二象限时，的终边在第一或第二或第四象限；

当的终边在第三象限时,的终边在第一或第三或第四象限；

当的终边在第四象限时，的终边在第二或第三或第四象限

【点睛】

本题考查已知，推导象限角的方法，常规解法为：写出已知角的范围表达式，再求出对应范围表达式，讨论取1、2、3、4、…时终边对应象限角的分布情况，然后总结出一般规律

20．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．

【答案】α=（）°，β=（）°．

【解析】

试题分析：确定α=•180°，β=•180°，m，n∈Z，利用2α，2β均为钝角，即可得到结论．

解：根据题意可知：14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α=m•360°，m∈Z，14β=n•360°，n∈Z，从而可知α=•180°，β=•180°，m，n∈Z．

又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，则2α，2β在第二象限．

又0°＜α＜β＜180°，从而可得0°＜2α＜2β＜360°，

因此2α，2β均为钝角，即90°＜2α＜2β＜180°．

于是45°＜α＜90°，45°＜β＜90°．

∴45°＜•180°＜90°，45°＜•180°＜90°，

即＜m＜，＜n＜．

又∵α＜β，∴m＜n，从而可得m=2，n=3．

即α=（）°，β=（）°．

点评：本题考查任意角的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．