2017年山东省菏泽市中考数学试卷（解析版）

2017年山东省菏泽市中考数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．（）﹣2的相反数是（　　）

A．9 B．﹣9 C． D．﹣

2．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（　　）

A．3.2×107 B．3.2×108 C．3.2×10﹣7 D．3.2×10﹣8

3．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（　　）

A． B． C． D．

4．某兴趣小组为了解我市气温变化情况，记录了今年1月份连续6天的最低气温（单位：℃）：﹣7，﹣4，﹣2，1，﹣2，2．关于这组数据，下列结论不正确的是（　　）

A．平均数是﹣2 B．中位数是﹣2 C．众数是﹣2 D．方差是7

5．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°

6．如图，函数y1=﹣2x与y2=ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（　　）

A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1

7．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（　　）

A．（0，） B．（0，） C．（0，2） D．（0，）

8．一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

9．分解因式：x3﹣x=　   　．

10．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是　   　．

11．菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为24cm，则菱形的面积为　   　cm2．

12．一个扇形的圆心角为100°，面积为15π cm2，则此扇形的半径长为　   　．

13．直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，则3x1y2﹣9x2y1的值为　   　．

14．如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y=﹣x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O1的位置，使点O1的对应点O2落在直线y=﹣x上，依次进行下去…若点B的坐标是（0，1），则点O12的纵坐标为　   　．

三、解答题（共10小题，共78分）

15．计算：﹣12﹣|3﹣|+2sin45°﹣（﹣1）2．

16．先化简，再求值：（1+）÷，其中x是不等式组的整数解．

17．如图，E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F，若CD=6，求BF的长．

18．如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD．

19．列方程解应用题：

某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？

20．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象在第一象限交于A、B两点，B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，若OC=CA．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求△AOB的面积．

21．今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的部分商业连锁店进行评估，将抽取的各商业连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，并绘制了如图不完整的扇形统计图和条形统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次评估随即抽取了多少甲商业连锁店？

（2）请补充完整扇形统计图和条形统计图，并在图中标注相应数据；

（3）从A、B两个等级的商业连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．

22．如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC．

（1）求证：∠BAC=∠CBP；

（2）求证：PB2=PC•PA；

（3）当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值．

23．正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N．

（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF=MN；

（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s．

①设BF=y cm，求y关于t的函数表达式；

②当BN=2AN时，连接FN，求FN的长．

24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；

（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

2017年山东省菏泽市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．（）﹣2的相反数是（　　）

A．9 B．﹣9 C． D．﹣

【考点】6F：负整数指数幂；14：相反数．

【分析】先将原数求出，然后再求该数的相反数．

【解答】解：原数=32=9，

∴9的相反数为：﹣9；

故选（B）

2．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（　　）

A．3.2×107 B．3.2×108 C．3.2×10﹣7 D．3.2×10﹣8

【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.00000032=3.2×10﹣7；

故选：C．

3．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图与俯视图相同的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】U2：简单组合体的三视图．

【分析】根据图形、找出几何体的左视图与俯视图，判断即可．

【解答】解：A、左视图是两个正方形，俯视图是三个正方形，不符合题意；

B、左视图与俯视图不同，不符合题意；

C、左视图与俯视图相同，符合题意；

D左视图与俯视图不同，不符合题意，

故选：C．

4．某兴趣小组为了解我市气温变化情况，记录了今年1月份连续6天的最低气温（单位：℃）：﹣7，﹣4，﹣2，1，﹣2，2．关于这组数据，下列结论不正确的是（　　）

A．平均数是﹣2 B．中位数是﹣2 C．众数是﹣2 D．方差是7

【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．

【分析】根据平均数、中位数、众数及方差的定义，依次计算各选项即可作出判断．

【解答】解：A、平均数是﹣2，结论正确，故A不符合题意；

B、中位数是﹣2，结论正确，故B不符合题意；

C、众数是﹣2，结论正确，故C不符合题意；

D、方差是9，结论错误，故D符合题意；

故选：D．

5．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°

【考点】R2：旋转的性质．

【分析】根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′=45°，再根据三角形的内角和定理可得结果．

【解答】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，

∴AC=A′C，

∴△ACA′是等腰直角三角形，

∴∠CA′A=45°，∠CA′B=20°=∠BAC

∴∠BAA′=180°﹣70°﹣45°=65°，

故选：C．

6．如图，函数y1=﹣2x与y2=ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（　　）

A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1

【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．

【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式﹣2x＞ax+3的解集即可．

【解答】解：∵函数y1=﹣2x过点A（m，2），

∴﹣2m=2，

解得：m=﹣1，

∴A（﹣1，2），

∴不等式﹣2x＞ax+3的解集为x＜﹣1．

故选D．

7．如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（　　）

A．（0，） B．（0，） C．（0，2） D．（0，）

【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；D5：坐标与图形性质；LB：矩形的性质．

【分析】作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，则此时，△ADE的周长最小，根据A的坐标为（﹣4，5），得到A′（4，5），B（﹣4，0），D（﹣2，0），求出直线DA′的解析式为y=x+，即可得到结论．

【解答】解：作A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于E，

则此时，△ADE的周长最小，

∵四边形ABOC是矩形，

∴AC∥OB，AC=OB，

∵A的坐标为（﹣4，5），

∴A′（4，5），B（﹣4，0），

∵D是OB的中点，

∴D（﹣2，0），

设直线DA′的解析式为y=kx+b，

∴，

∴，

∴直线DA′的解析式为y=x+，

当x=0时，y=，

∴E（0，），

故选B．

8．一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图象．

【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．

【解答】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＜0，

∴二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负半轴．

故选A．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

9．分解因式：x3﹣x=　x（x+1）（x﹣1）　．

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．

【解答】解：x3﹣x，

=x（x2﹣1），

=x（x+1）（x﹣1）．

故答案为：x（x+1）（x﹣1）．

10．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是　0　．

【考点】A3：一元二次方程的解．

【分析】由于方程的一个根是0，把x=0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．

【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，

把x=0代入方程，得k2﹣k=0，

解得，k1=1，k2=0

当k=1时，由于二次项系数k﹣1=0，

方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0不是关于x的二次方程，故k≠1．

所以k的值是0．

故答案为：0

11．菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为24cm，则菱形的面积为　18　cm2．

【考点】L8：菱形的性质．

【分析】根据菱形的性质以及锐角三角函数关系得出BE的长，即可得出菱形的面积．

【解答】解：如图所示：过点B作BE⊥DA于点E

∵菱形ABCD中，∠A=60°，其周长为24cm，

∴∠C=60°，AB=AD=6cm，

∴BE=AB•sin60°=3cm，

∴菱形ABCD的面积S=AD×BE=18cm2．

故答案为：18．

12．一个扇形的圆心角为100°，面积为15π cm2，则此扇形的半径长为　3　．

【考点】MO：扇形面积的计算．

【分析】根据扇形的面积公式S=即可求得半径．

【解答】解：设该扇形的半径为R，则=15π，

解得R=3．

即该扇形的半径为3cm．

故答案是：3．

13．直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，则3x1y2﹣9x2y1的值为　36　．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征，两交点坐标关于原点对称，故x1=﹣x2，y1=﹣y2，再代入3x1y2﹣9x2y1得出答案．

【解答】解：由图象可知点A（x1，y1），B（x2，y2）关于原点对称，

∴x1=﹣x2，y1=﹣y2，

把A（x1，y1）代入双曲线y=，得x1y1=6，

∴3x1y2﹣9x2y1

=﹣3x1y1+9x1y1

=﹣18+54

=36．

故答案为：36．

14．如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y=﹣x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O1的位置，使点O1的对应点O2落在直线y=﹣x上，依次进行下去…若点B的坐标是（0，1），则点O12的纵坐标为　（﹣9﹣9，9+3）　．

【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；D2：规律型：点的坐标；F8：一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】观察图象可知，O12在直线y=﹣x时，OO12=6•OO2=6（1++2）=18+6，由此即可解决问题．

【解答】解：观察图象可知，O12在直线y=﹣x时，

OO12=6•OO2=6（1++2）=18+6，

∴O12的横坐标=﹣（18+6）•cos30°=﹣9﹣9，

O12的纵坐标=OO12=9+3，

∴O12（﹣9﹣9，9+3）．

故答案为（﹣9﹣9，9+3）．

三、解答题（共10小题，共78分）

15．计算：﹣12﹣|3﹣|+2sin45°﹣（﹣1）2．

【考点】79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的三角函数值．

【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和完全平方公式分别化简求出答案．

【解答】解：原式=﹣1﹣（﹣3）+2×﹣

=﹣1+3﹣+﹣2018+2

=﹣2016+2．

16．先化简，再求值：（1+）÷，其中x是不等式组的整数解．

【考点】6D：分式的化简求值；CC：一元一次不等式组的整数解．

【分析】解不等式组，先求出满足不等式组的整数解．化简分式，把不等式组的整数解代入化简后的分式，求出其值．

【解答】解：不等式组

解①，得x＜3；

解②，得x＞1．

∴不等式组的解集为1＜x＜3．

∴不等式组的整数解为x=2．

∵（1+）÷

=

=4（x﹣1）．

当x=2时，原式=4×（2﹣1）

=4．

17．如图，E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F，若CD=6，求BF的长．

【考点】L5：平行四边形的性质．

【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD=6，AB∥CD，由平行线的性质得出∠F=∠DCE，由AAS证明△AEF≌△DEC，得出AF=CD=6，即可求出BF的长．

【解答】解：∵E是▱ABCD的边AD的中点，

∴AE=DE，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=6，AB∥CD，

∴∠F=∠DCE，

在△AEF和△DEC中，，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=CD=6，

∴BF=AB+AF=12．

18．如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD．

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】作AE⊥CD，用BD可以分别表示DE，CD的长，根据CD﹣DE=AB，即可求得BCD长，即可解题．

【解答】解：作AE⊥CD，

∵CD=BD•tan60°=BD，CE=BD•tan30°=BD，

∴AB=CD﹣CE=BD，

∴BC=21m，

CD=BD•tan60°=BD=63m．

答：乙建筑物的高度CD为63m．

19．列方程解应用题：

某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？

【考点】AD：一元二次方程的应用．

【分析】根据单件利润×销售量=总利润，列方程求解即可．

【解答】解：设销售单价为x元，

由题意，得：（x﹣360）[160+2]=20000，

整理，得：x2﹣920x+211600=0，

解得：x1=x2=460，

答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000．

20．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象在第一象限交于A、B两点，B点的坐标为（3，2），连接OA、OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C，若OC=CA．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）求△AOB的面积．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；

（2）先求出OB的解析式式，进而求出AG，用三角形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥x轴交BD于E，

∵点B（3，2）在反比例函数y=的图象上，

∴a=3×2=6，

∴反比例函数的表达式为y=，

∵B（3，2），

∴EF=2，

∵BD⊥y轴，OC=CA，

∴AE=EF=AF，

∴AF=4，

∴点A的纵坐标为4，

∵点A在反比例函数y=图象上，

∴A（，4），

∴，

∴，

∴一次函数的表达式为y=﹣x+6；

（2）如图1，过点A作AF⊥x轴于F交OB于G，

∵B（3，2），

∴直线OB的解析式为y=x，

∴G（2，），

∵A（3，4），

∴AG=4﹣=，

∴S△AOB=S△AOG+S△ABG=××3=4．

21．今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的部分商业连锁店进行评估，将抽取的各商业连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，并绘制了如图不完整的扇形统计图和条形统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次评估随即抽取了多少甲商业连锁店？

（2）请补充完整扇形统计图和条形统计图，并在图中标注相应数据；

（3）从A、B两个等级的商业连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．

【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．

【分析】（1）根据A级的人数和所占的百分比求出总人数；

（2）求出B级的人数所占的百分比，补全图形即可；

（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案．

【解答】解：（1）2÷8%=25（家），

即本次评估随即抽取了25家商业连锁店；

（2）25﹣2﹣15﹣6=2，2÷25×100%=8%，

补全扇形统计图和条形统计图，

如图所示：

（3）画树状图，

共有12个可能的结果，至少有一家是A等级的结果有10个，

∴P（至少有一家是A等级）==．

22．如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC．

（1）求证：∠BAC=∠CBP；

（2）求证：PB2=PC•PA；

（3）当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值．

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质；T7：解直角三角形．

【分析】（1）根据已知条件得到∠ACB=∠ABP=90°，根据余角的性质即可得到结论；

（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；

（3）根据三角函数的定义即可得到结论．

【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，

∴∠ACB=∠ABP=90°，

∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90°，

∴∠BAC=∠CBP；

（2）∵∠PCB=∠ABP=90°，

∠P=∠P，

∴△ABP∽△BCP，

∴，

∴PB2=PC•PA；

（3）∵PB2=PC•PA，AC=6，CP=3，

∴PB2=9×3=27，

∴PB=3，

∴sin∠PAB===．

23．正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N．

（1）如图1，若点M与点D重合，求证：AF=MN；

（2）如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s．

①设BF=y cm，求y关于t的函数表达式；

②当BN=2AN时，连接FN，求FN的长．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）根据四边形的性质得到AD=AB，∠BAD=90°，由垂直的定义得到∠AHM=90°，由余角的性质得到∠BAF=∠AMH，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）①根据勾股定理得到BD=6，由题意得，DM=t，BE=t，求得AM=6﹣t，DE=6﹣t，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；

②根据已知条件得到AN=2，BN=4，根据相似三角形的性质得到BF=，由①求得BF=，得方程=，于是得到结论．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，

∴AD=AB，∠BAD=90°，

∵MN⊥AF，

∴∠AHM=90°，

∴∠BAF+∠MAH=∠MAH+∠AMH=90°，

∴∠BAF=∠AMH，

在△AMN与△ABF中，，

∴△AMN≌△ABF，

∴AF=MN；

（2）①∵AB=AD=6，

∴BD=6，

由题意得，DM=t，BE=t，

∴AM=6﹣t，DE=6﹣t，

∵AD∥BC，

∴△ADE∽△FBE，

∴，即，

∴y=；

②∵BN=2AN，

∴AN=2，BN=4，

由（1）证得∠BAF=∠AMN，∵∠ABF=∠MAN=90°，

∴△ABF∽△AMN，

∴=，即=，

∴BF=，

由①求得BF=，

∴=，

∴t=2，

∴BF=3，

∴FN==5．

24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；

（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）把B（4，0），点D（3，）代入y=ax2+bx+1即可得出抛物线的解析式；

（2）先用含t的代数式表示P、M坐标，再根据三角形的面积公式求出△PCM的面积与t的函数关系式，然后运用配方法可求出△PCM面积的最大值；

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=DC，故可得出关于t的二元一次方程，解方程即可得到结论．

【解答】解：（1）把点B（4，0），点D（3，），代入y=ax2+bx+1中得，，

解得：，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+x+1；

（2）设直线AD的解析式为y=kx+b，

∵A（0，1），D（3，），

∴，

∴，

∴直线AD的解析式为y=x+1，

设P（t，0），

∴M（t， t+1），

∴PM=t+1，

∵CD⊥x轴，

∴PC=3﹣t，

∴S△PCM=PC•PM=（3﹣t）（t+1），

∴S△PCM=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+，

∴△PCM面积的最大值是；

（3）∵OP=t，

∴点M，N的横坐标为t，

设M（t， t+1），N（t，﹣ t2+t+1），

∴MN=﹣t2+t+1﹣t﹣1=﹣t2+t，CD=，

如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，

∴MN=CD，即﹣t2+t=，

∵△=﹣39，

∴方程﹣t2+t=无实数根，

∴不存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形．