【假期知识回顾】专题10 分式-2021-2022学年上学期八年级数学(人教版)

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专题10分式 链接考点考点一、 分式有意义的条件例1、（2021·广西贵港·中考真题）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）A．x≠－5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞－5【答案】A【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解．【详解】解：根据分式有意义的条件，可得：，，故选：A．【点睛】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是分母不能为零是解题关键． 考点二、 分式的加减例2、（2021·天津·中考真题）计算的结果是（    ）A．3 B． C．1 D．【答案】A【分析】先根据分式的减法运算法则计算，再提取公因式3，最后约分化简即可．【详解】原式，．故选A．【点睛】本题考查分式的减法．掌握分式的减法运算法则是解答本题你的关键．  考点三、 分式的乘除例3、（2021·湖南湘潭·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】，．【分析】第一个小括号，先通分再求和，结合平方差公式、完全平方公式将因式分解成，再将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，最后代入数值计算即可．【详解】解：当时，原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，涉及平方差、完全平方公式等因式分解法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 考点四、 分式加减乘除混合运算例4、（2021·山东滨州·中考真题）计算：．【答案】【分析】先将括号内的式子通分，然后将括号外的除法转化为乘法，再约分即可．【详解】解：．【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确异分母分式减法和分式除法的运算法则和运算顺序． 考点五、 分式化简求值例5、（2021·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】，3【分析】先通分，再约分，将分式化成最简分式，再代入数值即可．【详解】解：原式．∵∴原式．【点睛】本题考查分式的化简求值、分式的通分、约分，正确的因式分解将分式化简成最简分式是关键．  达标检测一、单选题1．在代数式，，，，，中，分式有（    ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解：代数式，，分母是常数，不是分式；在代数式，，，，符合分式的定义，是分式，共4个； 故选：A．【点睛】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．2．若分式的值为0，则a的值为（    ）A．±1 B．0 C．﹣1 D．1【答案】C【分析】根据分式的值为0的条件，即分子为0，分母不为0，即可求解．【详解】解：根据题意得： 且 ，解得： ．故选：C【点睛】本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分子为0，分母不为0是解题的关键．3．若分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则分式的值（    ）A．是原来的3倍 B．是原来的C．是原来的 D．不改变【答案】D【分析】根据分式的基本性质即可得．【详解】解：，则分式的值不改变，故选：D．【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．4．使分式有意义的x的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0，即x+1≠0，解得x的取值范围．【详解】解：要使分式有意义，则x+1≠0，解得：．故选：B．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．5．办公中常用的纸张一般A4纸其厚度为0.0075m，将0.0075用科学记数法表示为（　　）A．75×10﹣4 B．75×10﹣3 C．7.5×10﹣3 D．0.75×10﹣2【答案】C【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.0075＝7.5×10−3．
故选：C．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．6．如果，那么代数式的值是（    ）A．0 B．正数 C．负数 D．非负数【答案】C【分析】首先将代数式通分化简，然后根据已知条件结合乘除法的符号法则，得出结果．【详解】解：∵x＜y＜-1，∴x-y＜0，x+1＜0，∴，故选：C．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是（　　）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据关键描述语是：“比李老师早到半小时”；等量关系为：李老师所用时间﹣张老师所用时间＝．即可列出方程．【详解】解：李老师所用时间为：，张老师所用的时间为：．所列方程为：．故选：B．【点睛】此题主要考查列分式方程，由题意可知未知量是速度，有路程，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．8．已知关于x的方程有增根，则a的值为（　　）A．4 B．5 C．6 D．﹣5【答案】D【分析】首先最简公分母为0，求出增根，化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【详解】解：∵方程有增根，∴x﹣5＝0，∴x＝5，，去分母得：x＝3（x﹣5）﹣a，x＝3x﹣15﹣a，把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，故选：D．【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟知分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值是解本题的关键． 二、填空题9．计算：__________．【答案】【分析】根据整数指数幂的运算进行计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，解题的关键是掌握负指数幂的意义，即负指数幂等于把幂指数变号后所得的幂的倒数．10．将分式化成最简分式等于___．【答案】【分析】将分式进行因式分解即可得．【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了最简分式，解题的关键是掌握因式分解．11．若，则________．【答案】【分析】根据，得出，；根据，得出，；故有，代入所求分式化简即可．【详解】解：由，得，解得，；由，得，解得，；故有，．故答案是：．【点睛】本题考查了分式的化简求值．解题的关键是根据已知等式求出使所有等式成立的条件．12．已知，且，则的值为______．【答案】12【分析】直接利用已知用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案．【详解】解：∵，
∴设a=6x，b=5x，c=4x.
∵a+b-2c=9，
∴6x+5x−8x=9，
解得x=3，
∴c=12.
故答案为：12.【点睛】此题主要考查了比例的性质，利用x正确表示出各数是解题关键．13．若分式的值为0，则x的值为_____．【答案】-2【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．【详解】解：由题意，得x2﹣4＝0且x﹣2≠0，解得x＝﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了分式为零的条件，要使分式的值为零，必须同时满足分子为零，且分母不为零．14．若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围为________．【答案】且【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数确定出a的范围即可．【详解】解：去分母得： ，
解得： ，
由分式方程的解为正数，得到 ，且 ，
解得：a＜-1且a≠-2，
故答案为：且．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．某校去年租借了三架无人机A，B，C用于体育节航拍，无人机A，B，C飞行平均速度之比为1：8：3，飞行时间之比为2：1：2．今年继续租借，但根据航拍需求，对三架无人机飞行平均速度和时间均作了调整．无人机B的平均速度比去年低了，无人机C的平均速度为去年的．A，C两架无人机的飞行总路程增加，而无人机B飞行总路程减少．无人机C增加的路程是无人机A增加路程的2倍，且占今年三架无人机总路程的20%．无人机A增加的路程与无人机B减少的路程之比为7：15，则今年无人机B与无人机C的飞行时间之比为________．【答案】17：57【分析】设去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为x，8x，3x，飞行时间之比为2t，t，2t，表示出去年无人机A，B，C飞行的路程分别为2xt，8xt，6xt，设今年无人机A增加路程为m，无人机B减少路程为n，则无人机C增加路程为2m，进而用代数式表示有关的路程和时间，表示出今年无人机B与无人机C的飞行时间，即可求出无人机B与无人机C的飞行时间之比．【详解】解：∵去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为1：8：3，飞行时间之比为2：1：2，∴设去年无人机A，B，C飞行平均速度之比为x，8x，3x，飞行时间之比为2t，t，2t，∴去年无人机A，B，C飞行的路程分别为2xt，8xt，6xt，∵今年无人机B的平均速度比去年低了，无人机C的平均速度为去年的∴今年无人机B的平均速度为：（1﹣）×8x＝6x，无人机C的平均速度为：×3x＝4x，设今年无人机A增加路程为m，无人机B减少路程为n，则无人机C增加路程为2m，∴今年无人机A、B、C飞行的路程分别为2xt+m，8xt﹣n，6xt+2m，∴今年无人机A、B、C飞行的时间分别为，，，∵无人机C增加的路程占今年三架无人机总路程的20%，∴2m＝20%（2xt+m+8xt﹣n+6xt+2m），整理得：16xt﹣7m﹣n＝0①，∵无人机A增加的路程与无人机B减少的路程之比为7：15，∴m：n＝7：15，∴m＝②，把②代入①得：16xt﹣7×﹣n＝0，∴xt＝，∴今年无人机B与无人机C的飞行时间之比为：，故答案为：17：57．【点睛】本题考查了分式方程的应用，利用比例设未知数是解决本题的关键． 三、解答题16．解方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）无解．【分析】（1）先去分母、去括号，然后移项合并，系数化为1，再进行检验，即可得到答案；（2）先去分母、去括号，然后移项合并，系数化为1，再进行检验，即可得到答案．【详解】解：（1），方程两边同时乘以，得，去括号，得，移项合并，得，系数化为1，得；检验：把代入中，；∴原分式方程的解为；（2），方程两边同时乘以，得，去括号，得，移项合并，得，系数化为1，得；检验：把代入中，；∴原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法，注意解分式方程需要检验．17．小明解方程的过程如下：方程两边都乘，得．解这个方程，得．所以是原方程的根．你认为小明的解法对吗？为什么？【答案】不对，见解析【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．【详解】解：不对；方程两边都乘2x-1，得：x-2+（2x-1）=-1.5．解这个方程，得x=．经检验x=是该方程的增根，所以该分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．18．先化简，再求值：，其中x=（）﹣2+（π﹣1）0．【答案】．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．【详解】解：，∵x=（-）﹣2+（π﹣1）0=4+1=5，∴原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．19．规定一种新运算：a☆b＝2a+b2，例如：2☆1＝2×2+12＝4+1＝5．（1）计算：﹣5☆3；（2）若x☆1，求x的值；（3）先化简，再求值：，其中x的值从（1）（2）的计算结果选取．【答案】（1）﹣5☆3＝﹣1；（2）x＝﹣3；（3）x+1，﹣2．【分析】（1）根据题目中所给新运算方法，代入即可得；（2）根据新运算法则代入可得关于x的一元一次方程，求解即可；（3）根据分式的除法运算法则先通分，然后化简即可，另外考虑分母不为0的情况，代入数值计算即可．【详解】解：（1）﹣5☆3；（2）x☆1，解得：；（3），，；∵，∴，当时，原式．【点睛】题目主要考查整式的运算及对新运算法则的理解，理清新运算法则及掌握分式除法是解题关键．20．先化简，再求值：，选择一个你喜欢的的值代入其中并求值．【答案】；时，原式=1．【分析】先计算括号内的分式，然后根据计算分式的除法，最后根据分式有意义的条件，代值计算即可．【详解】解：．由题知，且，且∴或，可取．当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．21．某文化用品商店用1000元购进了一批圆规，很快销售一空；商店又用1000元购进了第二批该种圆规，但进价比原来上涨了，结果第二次所购进圆规的数量比第一次少40件．（1）求两批圆规购进的进价分别是多少；（2）若商店将第一批圆规以每件7元，第二批圆规以每件8元的价格全部售出，则共可盈利多少元？【答案】（1）第一批购进圆规的单价为5元/件，第二批进价为元/件；（2）680元【分析】（1）设第一批购进圆规的单价为x元/件，则第二批购进圆规的单价为（1＋25%）x元/件，根据数量＝总价÷单价结合第二次所购进圆规的数量比第一次少40件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量＝总价÷单价及第二次所购进圆规的数量比第一次少40件，可分别求出第一批及第二批购进圆规的数量，再利用利润＝销售单价×销售数量−进货总价，即可求出结论．【详解】解：（1）设第一批购进圆规的单价为x元/件，则第二批购进圆规的单价为（1＋25%）x元/件，
依题意得：，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．则第二批进价为：元/件
答：第一批购进圆规的单价为5元/件，第二批进价为元/件；
（2）第一批购进圆规的数量为1000÷5＝200（件），
第二批购进圆规的数量为200−40＝160（件），
共盈利（200×7−1000）＋（160×8−1000）＝400＋280＝680（元）．
答：一共盈利680元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数例如：类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：．（1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：　 　.　 　．（2）解分式方程：；（3）当x取什么整数值时，分式的值为整数．（4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m．【答案】（1），；（2）；（3）x=0；（4）m=336【分析】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形化简方程即可求解；
（3）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时，整数x的值；
（4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，然后表示出m，n的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可．【详解】解：（1）（2）∴x2-x-6=x2-4x+4，
∴3x=10，∴经检验：是原方程的解；（3）∴当x=0时，原式=2为整数；
（4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，则个位数字为2x，n=10x+y，m=100x+10y+2x=102x+10y，
∵2x＜10，
∴x＜5，∵是整数，∴为整数，∵0＜x＜5且x为整数，0＜y＜10且y为正整数，当x=3，y=6时，为正整数，∴m=336．【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．