初三数学寒假讲义 第4讲.中考第一轮复习方程与不等式 教师版教案

这是一份初三数学寒假讲义 第4讲.中考第一轮复习方程与不等式 教师版教案，共20页。教案主要包含了定义，根的情况，特殊根，整数根等内容，欢迎下载使用。
中考第一轮复习
方程与不等式
4
,
中考大纲剖析


考试内容
考试要求层次
A
B
C
方程
知道方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型
能够根据具体问题中的数量关系，列出方程
能运用方程解决有关问题
方程的解
了解方程的解的概念
会用观察、画图等方法估计方程的解

一元一次方程
了解一元一次方程的有关概念
会根据具体问题列出一元一次方程

一元一次方程的解法
理解一元一次方程解法中的各个步骤
熟练掌握一元一次方程解法；会解含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程(无需讨论)
会运用一元一次方程解决简单的实际问题
二元一次方程（组）
了解二元一次方程（组）的有关概念
能根据具体问题列出二元一次方程（组）

二元一次方程组的解法
知道代入消元法、加减消元法的意义
掌握代入消元法和加减消元法；能选择适当的方法解二元一次方程组
会运用二元一次方程组解决简单的实际问题
分式方程及其解法
了解分式方程的概念
会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；会对分式方程的解进行检验
会运用分式方程解决简单的实际问题
一元二次方程
了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项的系数；了解一元二次方程根的意义
能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值

一元二次方程的解法
理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据
能选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况
能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式作简单的变形；会运用一元二次方程解决简单的实际问题
不等式（组）
能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义
能根据具体问题中的数量关系列出不等式（组）

不等式的性质
理解不等式的基本性质
会利用不等式的性质比较两个实数的大小

解一元一次不等式（组）
了解一元一次不等式（组）的解的意义，会在数轴上表示或判定其解集
会解一元一次不等式和一元一次不等式组，并会根据条件求整数解
能根据具体问题中的数量关系，用列出一元一次不等式解决简单问题
本讲结构




知识导航


一、定义
方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．
一元一次方程：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为一次的整式方程叫做一元一次方程．
一元二次方程的定义：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为二次的整式方程叫做一元二次方程．
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．

二、根的情况
对于形如的形式应判断，，的情况而定：
⑴当且方程有唯一解．
⑵当且，时，方程有无数解．
⑶当且且时，方程无解．
⑷当时，方程为一元二次方程．
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．

三、特殊根
对于关于的方程
⑴当方程有一根为时，则．
⑵当方程有一根为时，则．
⑶当方程有一根为时，则．
⑷当方程两根互为相反数时，则．
⑸当方程有一根大于零一根小于零时，则．
⑹当方程两根都大于零时，则且．
⑺当方程两根都小于零时，则且．
⑻当方程有一根大于，一根小于，则．

四、整数根
思路一：有整数根必须具备的前提条件：
①有实数根：；②有有理数根：是完全平方数；②有整数根：是的整数倍．
思路二：能分解因式的用分离系数法．

【编写思路】 本讲没有分模块，共分三个板块，对方程与不等式问题分了三个层次.
第一个板块（夯实基础）：数与式基础板块；例1主要复习方程、不等式考试中
常考的基础题型，通过做这些小题点评每种小题的易错点；

第二个板块（能力提升）：代数式变形板块；例2复习代数式变形中常用的几种方法；代数式变形是代数中的重点难点，也是中考要求中C要求部分.常见方法如下：
①、加减消元；


代数恒等变形方法
1、消元 Ⅰ、部分代入；
②、代入消元
Ⅱ、整体代入；
①、直接开方；

②、配方：A2 + B2 = 0；
2、降次
③、因式分解：A·B = 0或A·B = c（c为常整数，且A、B均等于整数）；
Ⅰ、条件为一元二次方程：转化为
，然后进行降次；
④、利用题设条件
Ⅱ、条件为，转化为，然后两边平方得，然后进行降次；

3、换元 整体（当需要对某个代数式进行整体处理时，可以考虑对这个代数式进行换元处理）。

第三个板块（综合探索）：一元二次方程板块；此版块主要复习一元二次方程，并借助一元二次方程复习代数式的相关变形. 例题中重点四类题型：一是一元二次方程和代数式变形的结合（例3、例7）：主要方法同上；二是一元二次方程的区间根问题（例4）；三是公共根问题：设、代、解三步走（例5）；四是方程的整数根问题，主要处理方法如下(其中分解质因数的方法超出中考范畴，某些区模拟可能会简单涉及，老师可自行选择) （例6）：
整数解问题解题步骤

①、为整数；
1、用十字相乘法解含参一元二次方程
②、为整数，先用分离常数法
转化为；
①、判别式为一次多项式时，可根据参
数的取值范围直接求出参数的整数
解，然后检验；
2、不能因式分解时，使判别式为完全平方数
②、判别式为二次多项式时，如：Ⅰ、设m2 + 4m – 3 = n2；Ⅱ、转化为；Ⅲ、分解成A·B = 7，从而求出m。
夯实基础


【例1】 解方程和不等式.
⑴解方程组．
（西城二模）
⑵解不等式组把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解．
（西城一模）
⑶解分式方程．
⑷解一元二次方程：．
（北京中考）
⑸已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
【解析】 ⑴ ．
点评：学生需要掌握代入消元法、加减消元法解方程组.
⑵
由得．
由得x＜3．
不等式组的解集在数轴上表示如下：
·




所以原不等式组的解集为－2≤x＜3．
所以原不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2．
点评：不等式两边同时乘上一负数时，不等号需要改变方向，此题学生还会忘了把解集在数轴上表示出来或忘了求出它的整数解.
⑶ 方程两边同乘得
整理得：，
经检验：是原方程的增根，故原方程无解．
点评：解分式方程需要检验.
⑷ ．
点评：解一元二次方程可用直接开方法、配方法、公式法和因式分解法.
⑸ 且．
点评：一元二次方程的二次项系数不为零，可通过根的判别式确定一元二次方程根的个数.

能力提升


【例2】 代数式变形.
⑴分解因式： ．

⑵已知，则的值为 ．
（广东佛山中考）
⑶已知是方程的根，则代数式的值为 ．
⑷当整数为 时，代数式的值为整数.
⑸已知，，，用、表示为 .
【解析】 ⑴ .
点评：因式分解是常考的代数式变形，主要考查提公因式法、平方差公式和完全平方公式.
⑵


∵，，
∴，，
∴，，
∴.
⑶ 把代入得，
.
⑷ ，当，代数式的值为整数.
⑸ .

综合探索


【例3】 已知：关于的一元二次方程有实数根．
⑴ 求的取值范围；
⑵ 若，是此方程的两个根，且满足，求的值．
（2012海淀期中）
【解析】(1) 4+4m≥0，m≥-1；
(2) 将a，b代入一元二次方程可得



【点评】应具备将方程的解代入原方程中的处理方法，再利用降次和整体代入求代数式的值.
【例4】 已知关于m的一元二次方程=0.
⑴ 判定方程根的情况；
⑵ 设m为整数，方程的两个根都大于且小于，当方程的两个根均为有理数时，求m的值．
(2013平谷一模)
【解析】⑴
∵
∴
所以无论m取任何实数，方程=0都有两个不相等的实数根.
⑵ 设．
∵ 的两根都在和之间，
∴ 当时，，即： ．
当时，，即：．
∴ ．
∵ 为整数， ∴ ．
① 当时，方程， 此时方程的根为无理数，不合题意．
②当时，方程，，不符合题意．
③当时，方程，符合题意．
综合①②③可知，．

【例5】 已知关于x的两个一元二次方程：
方程①: ; 方程②: .
⑴ 若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；
⑵ 若方程①和②中只有一个方程有实数根, 请说明此时哪个方程没有实数根, 并化
简；
⑶ 若方程①和②有一个公共根a, 求代数式的值．
（2011海淀期中）
【解析】⑴ ∵方程①有两个相等实数根,
③

④
∴
由③得k + 2 ¹0,
由④得 (k + 2) (k+4) =0.
∵ k + 2¹0,
∴ k=-4.
当k=-4时, 方程②为: .
解得
⑵ 由方程②得 D2= .
法一: D2－D1＝-(k + 2) (k+4) =3k2＋6k+5 =3(k+1)2＋2>0.
∴ D2>D1.
∵ 方程①、②只有一个有实数根，
∴ D 2>0> D 1.
∴ 此时方程①没有实数根.
由
得 (k + 2) (k+4)