2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义09《圆锥曲线与直线的综合题》（教师版）

这是一份2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义09《圆锥曲线与直线的综合题》（教师版），共8页。

、选择题
已知焦点在x轴上的椭圆方程为eq \f(x2,4a)＋eq \f(y2,a2＋1)=1，随着a的增大，该椭圆的形状( )
A.越接近于圆
B.越扁
C.先接近于圆后越扁
D.先越扁后接近于圆
【答案解析】答案为：D；
解析：由题意知4a＞a2＋1且a＞0，解得2－eq \r(3)＜a＜2＋eq \r(3)，
又e2=1－eq \f(a2＋1,4a)=1－eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))，因此当a∈(2－eq \r(3)，1)时，e越来越大，
当a∈(1，2＋eq \r(3))时，e越来越小.所以椭圆形状变化为先扁后圆.
若直线ax＋by－3=0与圆x2＋y2=3没有公共点，设点P的坐标为(a，b)，则过点P的一条直线与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1的公共点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.1或2
【答案解析】答案为：C；
解析：由题意得，圆心(0，0)到直线ax＋by－3=0的距离为eq \f(3,\r(a2＋b2))＞eq \r(3)，所以a2＋b2＜3.
又a，b不同时为零，所以0＜a2＋b2＜3.
由0＜a2＋b2＜3，可知|a|＜eq \r(3)，|b|＜eq \r(3)，由椭圆的方程知其长半轴长为2，
短半轴长为eq \r(3)，所以P(a，b)在椭圆内部，
所以过点P的一条直线与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)=1的公共点有2个，故选C.
已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)与直线y=2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A.(1，eq \r(5)) B.(1，eq \r(5)] C.(eq \r(5)，＋∞) D.[eq \r(5)，＋∞)
【答案解析】答案为：C；
解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y=eq \f(b,a)x，则由题意得eq \f(b,a)＞2，所以e=eq \f(c,a)＞eq \r(1＋4)=eq \r(5).
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a＞0，b＞0)，过点P(3,6)的直线l与C相交于A，B两点，
且AB的中点为N(12,15)，则双曲线C的离心率为( )
A.2 B.eq \f(3,2) C.eq \f(3\r(5),5) D.eq \f(\r(5),2)
【答案解析】答案为：B；
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中点为N(12，15)，得x1＋x2=24，y1＋y2=30，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)－\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)－\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得：eq \f(x1＋x2x1－x2,a2)=eq \f(y1＋y2y1－y2,b2)，
则eq \f(y1－y2,x1－x2)=eq \f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)=eq \f(4b2,5a2).由直线AB的斜率k=eq \f(15－6,12－3)=1，∴eq \f(4b2,5a2)=1，则eq \f(b2,a2)=eq \f(5,4)，
∴双曲线的离心率e=eq \f(c,a)=eq \r(1＋\f(b2,a2))=eq \f(3,2).
已知点A是抛物线C：x2=2py(p＞0)的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若△APQ的面积为4，则p的值为( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.eq \f(3,2) D.2
【答案解析】答案为：D；
解析：设过点A与抛物线相切的直线方程为y=kx－eq \f(p,2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－\f(p,2)，,x2＝2py))得x2－2pkx＋p2=0，
由Δ=4k2p2－4p2=0，可得k=±1，则Q(p,eq \f(p,2))，P(-p,eq \f(p,2))，
∴△APQ的面积为eq \f(1,2)×2p×p=4，∴p=2.故选D.
已知抛物线y=－x2＋3上存在关于直线x＋y=0对称的相异两点A，B，则|AB|=( )
A.3 B.4 C.3eq \r(2) D.4eq \r(2)
【答案解析】答案为：C；
解析：由题意可设lAB为y=x＋b，代入y=－x2＋3得x2＋x＋b－3=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=－1，x1x2=b－3，y1＋y2=x1＋b＋x2＋b=－1＋2b.
所以AB中点坐标为(－eq \f(1,2),－eq \f(1,2)+b)，该点在x＋y=0上，即－eq \f(1,2)＋(－eq \f(1,2)+b)=0，得b=1，
所以|AB|=eq \r(1＋12)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)=3eq \r(2).
设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，
若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(\r(3),3)
【答案解析】答案为：D；
解析：∵|PF1|=|PQ|，且∠F1PQ=60°，∴△F1PQ为等边三角形，周长为4a，
∴△F1PQ的边长为eq \f(4a,3)，在△PF1F2中，|PF1|=eq \f(4a,3)，|PF2|=eq \f(2a,3)，|F1F2|=2c，
∴(eq \f(4a,3))2－(eq \f(2a,3))2=(2c)2，即a2=3c2，∴e2=eq \f(c2,a2)=eq \f(1,3)，∴e=eq \f(\r(3),3).
过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为eq \f(10,3)，则|AB|=( )
A.eq \f(13,3) B.eq \f(14,3) C.5 D.eq \f(16,3)
【答案解析】答案为：D；
解析：过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|=p＋x1＋x2.∵p=2，∴|AB|=2＋eq \f(10,3)=eq \f(16,3).
已知不过原点O的直线交抛物线y2=2px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA=2，kAB=6，则OB的斜率为( )
A.3 B.2 C.－2 D.－3
【答案解析】答案为：D；
解析：由题意可知，直线OA的方程为y=2x，
与抛物线方程y2=2px联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x，,y2＝2px，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(p,2)，,y＝p，))即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，p))，
则直线AB的方程为y－p=6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
即y=6x－2p，与抛物线方程y2=2px联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝6x－2p，,y2＝2px，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2p,9)，,y＝－\f(2p,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(p,2)，,y＝p，))所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2p,9)，－\f(2p,3)))，
所以直线OB的斜率为kOB=eq \f(－\f(2p,3),\f(2p,9))=－3.故选D.
已知直线y=kx－1与双曲线x2－y2=4的右支有两个交点，则k的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5),2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，\f(\r(5),2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5),2)))
【答案解析】答案为：D；
解析：由题意知k＞0，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2－y2＝4，))整理得(1－k2)x2＋2kx－5=0，
因为直线y=kx－1与双曲线x2－y2=4的右支有两个交点，
则联立所得方程有两个不同的正实数根x1，x2，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4k2＋201－k2＞0，,x1＋x2＝\f(－2k,1－k2)＞0，,x1x2＝\f(－5,1－k2)＞0，))
解得1＜k＜eq \f(\r(5),2)，即k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5),2)))，故选D.
设F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)=1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，过F2的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若|MF2|=3|PF2|，且∠MF2N=60°，则双曲线C的离心率为( )
A.3 B.2 C.eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(7),2)
【答案解析】答案为：D；
解析：设
双曲线的左焦点为F1，由双曲线的对称性可知四边形MF2PF1为平行四边形.
所以|MF1|=|PF2|，MF1∥PN.设|PF2|=m，则|MF2|=3m，
所以2a=|MF2|－|MF1|=2m，即|MF1|=a，|MF2|=3a.
因为∠MF2N=60°，所以∠F1MF2=60°，
又|F1F2|=2c，在△MF1F2中，由余弦定理可得4c2=a2＋9a2－2·a·3a·cs 60°，
即4c2=7a2，所以eq \f(c2,a2)=eq \f(7,4)，所以双曲线的离心率e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(7),2).故选D.
已知直线y=1－x与双曲线ax2＋by2=1(a＞0，b＜0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－eq \f(\r(3),2)，则eq \f(a,b)的值为( )
A.－eq \f(\r(3),2) B.－eq \f(2\r(3),3) C.－eq \f(9\r(3),2) D.－eq \f(2\r(3),27)
【答案解析】答案为：A；
解析：由双曲线ax2＋by2=1知其渐近线方程为ax2＋by2=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有axeq \\al(2,1)＋byeq \\al(2,1)=0 ①，axeq \\al(2,2)＋byeq \\al(2,2)=0 ②，由①－②得a(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))=－b(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)).
即a(x1＋x2)(x1－x2)=－b(y1＋y2)(y1－y2)，由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，
所以eq \f(y1＋y2,x1＋x2)·eq \f(y1－y2,x1－x2)=－eq \f(a,b)，设AB的中点为M(x0，y0)，则kOM=eq \f(y0,x0)=eq \f(2y0,2x0)=eq \f(y1＋y2,x1＋x2)=－eq \f(\r(3),2)，
又知kAB=－1，所以－eq \f(\r(3),2)×(－1)=－eq \f(a,b)，所以eq \f(a,b)=－eq \f(\r(3),2)，故选A.
、填空题
已知抛物线C：y2=2px(p＞0)，直线l：y=eq \r(3)(x－1)，l与C交于A，B两点，
若|AB|=eq \f(16,3)，则p=________.
【答案解析】答案为：2.
解析：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝\r(3)x－1，))消去y，得3x2－(2p＋6)x＋3=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2=eq \f(2p＋6,3)，x1x2=1，
所以|AB|=2eq \r(x1＋x22－4x1x2)=2 eq \r(\f(2p＋62,9)－4)=eq \f(16,3)，所以p=2.
设抛物线x2=4y的焦点为F，点A，B在抛物线上，且满足eq \(AF,\s\up7(―→))=λeq \(FB,\s\up7(―→))，若|eq \(AF,\s\up7(―→))|=eq \f(3,2)，
则λ的值为________.
【答案解析】答案为：eq \f(1,2).
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线x2=4y得焦点F的坐标为(0,1)，
准线方程为y=－1，∵|eq \(AF,\s\up7(―→))|=eq \f(3,2)，∴y1＋1=eq \f(3,2)，解得y1=eq \f(1,2)，
∴x1=±eq \r(2)，由抛物线的对称性取x1=eq \r(2)，
∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(1,2)))，∴直线AF的方程为y=－eq \f(\r(2),4)x＋1，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(\r(2),4)x＋1，,x2＝4y.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)，,y＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2\r(2)，,y＝2，))
∴B(－2eq \r(2)，2)，∴|eq \(FB,\s\up7(―→))|=2＋1=3，
∵eq \(AF,\s\up7(―→))=λeq \(FB,\s\up7(―→))，∴|eq \(AF,\s\up7(―→))|=λ|eq \(FB,\s\up7(―→))|，∴eq \f(3,2)=3λ，解得λ=eq \f(1,2).
已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，则eq \f(|AF|,|BF|)的值等于________.
【答案解析】答案为：3.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线l的倾斜角为60°，
则直线l的方程为y－0=eq \r(3)(x- eq \f(p,2))，即y=eq \r(3)x－eq \f(\r(3),2)p，联立抛物线方程，
消去y并整理，得12x2－20px＋3p2=0，则x1=eq \f(3,2)p，x2=eq \f(1,6)p，则eq \f(|AF|,|BF|)=eq \f(\f(3,2)p＋\f(1,2)p,\f(1,2)p＋\f(1,6)p)=3.
已知双曲线E：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)=1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(eq \f(1,2),-1)，则l的方程为________.
【答案解析】答案为：2x＋8y＋7=0
解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),4)－\f(yeq \\al(2,1),2)＝1,\f(xeq \\al(2,2),4)－\f(yeq \\al(2,2),2)＝1))，两式相减得eq \f(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2),4)=eq \f(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2),2)，即eq \f(y1－y2,x1－x2)=eq \f(1,2)×eq \f(x1＋x2,y1＋y2).
又线段AB的中点坐标是(eq \f(1,2),-1)，因此x1＋x2=2×eq \f(1,2)=1，y1＋y2=(－1)×2=－2，
eq \f(x1＋x2,y1＋y2)=－eq \f(1,2)，eq \f(y1－y2,x1－x2)=－eq \f(1,4)，即直线AB的斜率为－eq \f(1,4)，直线l的方程为y＋1=－eq \f(1,4)(x- eq \f(1,2))，
即2x＋8y＋7=0.
、解答题
若双曲线E：eq \f(x2,a2)－y2=1(a＞0)的离心率等于eq \r(2)，直线y=kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点.
(1)求k的取值范围；
(2)若|AB|=6eq \r(3)，求k的值.
【答案解析】解：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\r(2)，,a2＝c2－1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝1，,c2＝2，))故双曲线E的方程为x2－y2=1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2－y2＝1，))得(1－k2)x2＋2kx－2=0.①
∵直线与双曲线的右支交于A，B两点，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－k2≠0，,Δ＝（2k）2－4（1－k2）·（－2）＞0，,\f(－2,1－k2)＞0，,\f(－2k,1－k2)＞0，))
∴1＜k＜eq \r(2).
(2)由①得x1＋x2=eq \f(2k,k2－1)，x1x2=eq \f(2,k2－1)，
∴|AB|=eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)=2eq \r(\f(（1＋k2）（2－k2）,（k2－1）2))=6eq \r(3)，
整理得28k4－55k2＋25=0，∴k2=eq \f(5,7)或k2=eq \f(5,4).
又1＜k＜eq \r(2)，∴k=eq \f(\r(5),2).
已知抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点F，E上一点(3，m)到焦点的距离为4.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过F作直线l，交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为－1，
求直线l的方程.
【答案解析】解：(1)抛物线E：y2=2px(p＞0)的准线方程为x=－eq \f(p,2)，
由抛物线的定义可知3－(－eq \f(p,2)) =4，
解得p=2，∴抛物线E的方程为y2=4x.
(2)法一：由(1)得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F(1,0)，
设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))两式相减，整理得eq \f(y2－y1,x2－x1) =eq \f(4,y2＋y1)(x1≠x2).
∵线段AB中点的纵坐标为－1，
∴直线l的斜率kAB=eq \f(4,y2＋y1)=eq \f(4,－1×2)=－2，
∴直线l的方程为y－0=－2(x－1)，即2x＋y－2=0.
法二：由(1)得抛物线E的方程为y2=4x，焦点F(1,0)，
设直线l的方程为x=my＋1，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x＝my＋1))消去x，得y2－4my－4=0.
设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵线段AB中点的纵坐标为－1，
∴eq \f(y1＋y2,2 )=eq \f(4m,2)=－1，解得m=－eq \f(1,2)，
∴直线l的方程为x=－eq \f(1,2)y＋1，即2x＋y－2=0.
已知△ABC的顶点A(1,0)，点B在x轴上移动，|AB|=|AC|，且BC的中点在y轴上.
(1)求点C的轨迹T的方程；
(2)已知过P(0，－2)的直线l交轨迹Γ于不同两点M，N，求证：Q(1,2)与M，N两点连线QM，QN的斜率之积为定值.
【答案解析】解：(1)设C(x，y)(y≠0)，
因为B在x轴上且BC中点在y轴上，
所以B(－x,0)，由|AB|=|AC|，
得(x＋1)2=(x－1)2＋y2，
化简得y2=4x，
所以C点的轨迹Γ的方程为y2=4x(y≠0).
(2)直线l的斜率显然存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝kx－2，))得ky2－4y－8=0，
所以y1＋y2=eq \f(4,k)，y1y2=－eq \f(8,k)，
kMQ=eq \f(y1－2,x1－1)=eq \f(y1－2,x1－1)=eq \f(y1－2,\f(y\\al(2,1),4)－1)=eq \f(4,y1＋2)，同理kMQ=eq \f(4,y2＋2)，
kMQ·kNQ=eq \f(4,y1＋2)·eq \f(4,y2＋2)=eq \f(16,y1y2＋2y1＋y2＋4)=4，
所以Q(1,2)与M，N两点连线的斜率之积为定值4.
已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为eq \f(\r(2),2)，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为4eq \r(2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△ABF2的面积最大时，求l的方程.
【答案解析】解：(1)由椭圆的定义知4a=4eq \r(2)，a=eq \r(2)，
由e=eq \f(c,a)知c=ea=1，b2=a2－c2=1.
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,2)＋y2=1.
(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，|F1F2|=2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x=my－1，
联立x=my－1与eq \f(x2,2)＋y2=1，
得(m2＋2)y2－2my－1=0，|y1－y2|=eq \f(2\r(2)\r(m2＋1),m2＋2)，
S△ABF2=2eq \r(2)eq \r(\f(m2＋1,m2＋22))=2eq \r(2)eq \r(\f(1,m2＋1＋\f(1,m2＋1)＋2))，
当m2＋1=1，m=0时，S△ABF2最大为eq \r(2)，l：x=－1.
已知椭圆的离心率e=eq \f(\r(6),3)，且椭圆C过点P(eq \f(\r(3),3)，eq \r(2))．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点Q是椭圆C与x轴正半轴的交点，斜率不为0的直线l与椭圆C交于不同的两点D，E，若kQD·kQE=9，问直线DE是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案解析】解：（1）设椭圆的焦距为，
由，即，∴，有，
又椭圆过点，∴，解得，
∴椭圆的标准方程为．
（2）由题可设直线的方程为，
由，消去，整理可得，
设，，则，，
由题意，可得，有，
∴，
且（直线不过点），
即，整理可得，解得，
故直线过定点．
已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，且C过点（1，eq \f(\r(3),2)）.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值.
【答案解析】 (1)解：由题意可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,\f(1,a2)＋\f(3,4b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1，))
故椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2=1.
(2)证明：由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx＋m(m≠0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，
整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)=0，
∵直线l与椭圆交于两点，
∴Δ=64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)=16(4k2－m2＋1)>0.
设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2=eq \f(－8km,1＋4k2)，x1x2=eq \f(4m2－1,1＋4k2)，
∴y1y2=(kx1＋m)(kx2＋m)=k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
∵直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，
∴k2=eq \f(y2,x2)·eq \f(y1,x1)=eq \f(k2x1x2＋kmx1＋x2＋m2,x1x2)，
整理得km(x1＋x2)＋m2=0，
∴eq \f(－8k2m2,1＋4k2)＋m2=0，
又m≠0，∴k2=eq \f(1,4)，
结合图象(图略)可知k=－eq \f(1,2)，故直线l的斜率为定值.
已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1(a＞b＞0)的长轴长为4.
(1)若以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径长的圆与直线y=x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标；
(2)若过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，点P是椭圆C上使直线PM，PN的斜率存在的任意一点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，当kPM·kPN=－eq \f(1,4)时，求椭圆C的方程.
【答案解析】解：(1)由题意知，b等于原点到直线y=x＋2的距离，即b=eq \f(2,\r(1＋1))=eq \r(2)，
又2a=4，所以a=2，c2=a2－b2=2，
所以椭圆C的两个焦点的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2)，0)).
(2)由题意可设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，
则eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)=1，eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)=1，
两式相减得eq \f(y2－yeq \\al(2,0),x2－xeq \\al(2,0))=－eq \f(b2,a2)，
又kPM=eq \f(y－y0,x－x0)，kPN=eq \f(y＋y0,x＋x0)，
所以kPM·kPN=eq \f(y－y0,x－x0)·eq \f(y＋y0,x＋x0)=eq \f(y2－yeq \\al(2,0),x2－xeq \\al(2,0))=－eq \f(b2,a2)，所以－eq \f(b2,a2)=－eq \f(1,4)，
又a=2，所以b=1，故椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2=1.