2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义11《导数与函数的性质》（教师版）练习题

这是一份2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义11《导数与函数的性质》（教师版）练习题，共7页。
2022年(辅导班适用)高二数学寒假讲义11《导数与函数的性质》一         、选择题1.已知f(x)=1+x-sin x,则f(2),f(3),f(π)的大小关系正确的是(　 　)A.f(2)>f(3)>f(π)              B.f(3)>f(2)>f(π)C.f(2)>f(π)>f(3)              D.f(π)>f(3)>f(2)【答案解析】答案为：D.解析:因为f(x)=1+x-sin x,所以f′(x)=1-cos x,当x∈(0,π]时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,π]上是增函数,所以f(π)>f(3)>f(2).2.若函数f(x)=kx-ln x在区间(2,+∞)上单调递增,则k的取值范围是(　  　)A.(-∞,-2]                  B.[,+∞)     C.[2,+∞)                   D.(-∞,)【答案解析】答案为：B.解析:f′(x)=k-,因为函数f(x)=kx-ln x在区间(2,+∞)上单调递增,所以f′(x)≥0在区间(2,+∞)上恒成立.所以k≥,而y=在区间(2,+∞)上单调递减,所以k≥,所以k的取值范围是[,+∞).3.函数f(x)=xln |x|的大致图象是(　　)【答案解析】答案为：A；解析：因为函数f(x)=xln |x|，可得f(－x)=－f(x)，f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除C，D；当x＞0时，f′(x)=ln x＋1，令f′(x)＞0得x＞，得出函数f(x)在(,+∞)上是增函数，排除B，故选A.4.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)A.(－3，0)∪(3，＋∞) B.(－3，0)∪(0，3)C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(0，3)【答案解析】答案为：D；解析：因为当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即[f(x)g(x)]′>0，所以f(x)g(x)在(－∞，0)上单调递增，又因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(x)g(x)为奇函数，关于原点对称，所以f(x)g(x)在(0，＋∞)上也是增函数.因为f(3)g(3)=0，所以f(－3)g(－3)=0.所以f(x)g(x)<0的解集为x<－3或0<x<3.5.函数f(x)=x2－5x＋2ex的极值点所在的区间为(　　)A.(0，1)                             B.(－1，0)       C.(1，2)                             D.(－2，－1)【答案解析】答案为：A；解析：∵f′(x)=2x－5＋2ex为增函数，f′(0)=－3＜0，f′(1)=2e－3＞0，∵f′(x)=2x－5＋2ex的零点在区间(0，1)上，∴f(x)=x2－5x＋2ex的极值点在区间(0，1)上.6.已知函数f(x)=x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)A.－，0　    B.0，－         C.，0        D.0，【答案解析】答案为：C解析：由题意知， f ′(x)=3x2－2px－q，由f ′(1)=0, f(1)=0得解得p=2，q=－1，∴f(x)=x3－2x2＋x.由f ′(x)=3x2－4x＋1=0，得x=或x=1，易知当x=时， f(x)取极大值，当x=1时， f(x)取极小值0.7.函数f(x)=x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　 　)A.20　          B.18            C.3　            D.0【答案解析】答案为：A；解析：因为f′(x)=3x2－3=3(x－1)(x＋1)，令f′(x)=0，得x=±1，可知－1,1为函数的极值点.又f(－3)=－19，f(－1)=1，f(1)=－3，f(2)=1，所以在区间[－3,2]上，f(x)max=1，f(x)min=－19.由题设知在区间[－3,2]上，f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.8.函数f(x)=ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)A.1－e          B.－1        C.－e          D.0【答案解析】答案为：B解析：因为f ′(x)=－1=，当x∈(0,1)时， f ′(x)＞0；当x∈(1，e]时， f ′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x=1时， f(x)取得最大值ln 1－1=－1.9.已知函数f(x)=x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为(　　)A.[－3，＋∞)　   B.(－3，＋∞)   C.(－∞，－3)      D.(－∞，－3]【答案解析】答案为：D解析：由题意知f ′(x)=3x2＋6x－9，令f ′(x)=0，解得x=1或x=－3，所以f ′(x), f(x)随x的变化情况如下表：又f(－3)=28, f(1)=－4, f(2)=3, f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，所以k≤－3.10.已知函数f(x)=lnx－，若函数f(x)在[1，e]上的最小值为，则a的值为(　　)A.－        B.－      C.－        D.e0.5【答案解析】答案为：A.解析：由题意，f′(x)=＋，若a≥0，则f′(x)>0，函数单调递增，所以f(1)=－a=，矛盾；若－e<a<－1，函数f(x)在[1，－a]上递减，在[－a，e]上递增，所以f(－a)=，解得a=－；若－1≤a<0，函数f(x)是递增函数，所以f(1)=－a=，矛盾；若a≤－e，函数f(x)单调递减，所以f(e)=，解得a=－，矛盾.综上，a=－，故选A.11.已知函数f(x)=xsin x+cos x+x2,则不等式f(ln x)+f(ln )<2f(1)的解集为(　 　)A.(e,+∞)                 B.(0,e)      C.(0,)∪(1,e)              D.(,e)【答案解析】答案为：D.解析:f(x)=xsin x+cos x+x2是偶函数,所以f(ln )=f(-ln x)=f(ln x),所以f(ln x)+f(ln )<2f(1)可变形为f(ln x)<f(1).f′(x)=xcos x+2x=x(2+cos x),因为2+cos x>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,所以f(ln x)<f(1)等价于-1<ln x<1,所以<x<e.12.已知函数f(x)(x∈R)图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0=(3－x0)(x－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调递增区间是(　　)A.(－1，1)，(3，＋∞)        B.(－∞，－1)，(1，3)C.(－1，1)∪(3，＋∞)        D.(－∞，－1)∪(1，3)【答案解析】答案为：B；解析：因为函数f(x)的图象上任一点(x0，y0)的切线方程为y－y0=(3－x0)(x－1)(x－x0)，即函数图象在点(x0，y0)的切线斜率k=(3－x0)(x－1)，所以f′(x)=(3－x)(x2－1).由f′(x)=(3－x)(x2－1)＞0，解得x＜－1或1＜x＜3，即函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(1，3).故选B.二         、填空题13.设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　. 【答案解析】答案为：(1,2]解析:f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=x-.由f′(x)=x-<0,解得0<x<3.因为f(x)=x2-9ln x在[a-1,a+1]上单调递减,所以解得1<a≤2.14.若函数f(x)=ax3+3x2-x恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是　　　　. 【答案解析】答案为：(-3,0)∪(0,+∞)解析:由题意知f′(x)=3ax2+6x-1,由函数f(x)恰好有三个单调区间,得f′(x)有两个不相等的零点,所以3ax2+6x-1=0需满足a≠0,且Δ=36+12a>0,解得a>-3,所以实数a的取值范围是(-3,0)∪(0,+∞).15.已知函数f(x)=2f′(1)ln x－x，则f(x)的极大值为________.【答案解析】答案为：2ln 2－2.解析：因为f′(x)=－1，所以f′(1)=2f′(1)－1，所以f′(1)=1，故f(x)=2ln x－x，f′(x)=－1=，则f(x)在(0，2)上为增函数，在(2，＋∞)上为减函数，所以当x=2时f(x)取得极大值，且f(x)极大值=f(2)=2ln 2－2.16.已知函数f(x)=x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数.若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________.【答案解析】答案为：[-1,].解析：函数f(x)的定义域关于原点对称.∵f(x)=x3－2x＋ex－，∴f(－x)=(－x)3－2(－x)＋e－x－=－x3＋2x＋－ex=－f(x)，∴f(x)为奇函数，又f′(x)=3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2=3x2≥0(当且仅当x=0时，取“=”)，从而f(x)在R上单调递增，所以f(a－1)＋f(2a2)≤0⇔f(a－1)≤f(－2a2)⇔－2a2≥a－1，解得－1≤a≤.三         、解答题17.已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f′().(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间.【答案解析】解:(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得f′(x)=3x2+2ax-1.所以a=f′()=3×()2+2a×-1,解得a=-1.(2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c,则f′(x)=3x2-2x-1=3(x+)(x-1),令f′(x)>0,解得x>1或x<-;令f′(x)<0,解得-<x<1.所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-)和(1,+∞);f(x)的单调递减区间是(-,1).18.设函数f(x)=x2ex.(1)求在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当x∈[-2,2]时,求使得不等式f(x)≤2a+1能成立的实数a的取值范围.【答案解析】解:(1)因为f′(x)=x2ex+2xex,所以k=f′(1)=3e,切点(1,e).切线方程为3ex-y-2e=0.(2)令f′(x)>0,即x(x+2)ex>0,得f(x)在区间(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在区间(-2,0)上单调递减.(3)由(2)知,f(x)在区间(-2,0)上单调递减,在区间(0,2)上单调递增,fmin(x)=f(0)=0.当x∈[-2,2]时,不等式f(x)≤2a+1能成立,须2a+1≥fmin(x),即2a+1≥0,故a≥-.故a的取值范围为[-,+∞).19.设函数f(x)=ax2－a－ln x，其中a∈R，讨论f(x)的单调性.【答案解析】解：f(x)的定义域为(0，＋∞)f′(x)=2ax－=(x＞0).当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减.当a＞0时，由f′(x)=0，有x= .此时，当x∈(0,)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(,＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.综上当a≤0时，f(x)的递减区间为(0，＋∞)，当a＞0时，f(x)的递增区间为(,＋∞)，递减区间为(0,).20.设函数f(x)=[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.(1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.【答案解析】解：(1)因为f(x)=[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，所以f′(x)=[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.f′(1)=(1－a)e.由题设知f′(1)=0，即(1－a)e=0，解得a=1.此时f(1)=3e≠0.所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)=[ax2－(2a＋1)x＋2]ex=(ax－1)(x－2)ex.若a＞，则当x∈(，2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a≤，则当x∈(0，2)时，x－2＜0，ax－1≤x－1＜0，所以f′(x)＞0.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是(,+∞).21.已知常数a≠0，f(x)=aln x＋2x.(1)当a=－4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围.【答案解析】解：(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，f′(x)=＋2=.当a=－4时，f′(x)=.∴当0＜x＜2时，f′(x)＜0，即f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，即f(x)单调递增.∴f(x)只有极小值，且在x=2时，f(x)取得极小值f(2)=4－4ln 2，无极大值.(2)∵f′(x)=，∴当a＞0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；当a＜0时，由f′(x)＞0得，x＞－，∴f(x)在(－,+∞)上单调递增；由f′(x)＜0得，0＜x＜－，∴f(x)在(0,－)上单调递减.∴当a＜0时，f(x)的最小值为f(－)=aln(－)＋2×(－).根据题意得f(－)=aln(－)＋2×(－)≥－a，即a[ln(－a)－ln 2]≥0.∵a＜0，∴ln(－a)－ln 2≤0，解得－2≤a＜0，∴实数a的取值范围是[－2，0).22.已知函数f(x)=－ex(a＞0).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[1,2]上的最大值.【答案解析】解：(1)f(x)=－ex(a＞0)，则f ′(x)=－ex.令f ′(x)－ex=0，则x=ln .当x变化时， f ′(x), f(x)的变化情况如下表：故函数f(x)的单调递增区间为；单调递减区间为.(2)当ln≥2，即0＜a≤时， f(x)max=f(2)=－e2；当1＜ln＜2，即＜a＜时，f(x)max=f=ln－；当ln≤1，即a≥时，f(x)max=f(1)=－e.23.已知函数f(x)=asinx＋bcosx(a，b∈R)，曲线y=f(x)在点(,f())处的切线方程为y=x－.(1)求a，b的值；(2)设k∈R，求函数g(x)=kx－f(x+)在[0,]上的最大值.【答案解析】解：(1)由切线方程知，当x=时，y=0，∴f()=a＋b=0.∵f′(x)=acosx－bsinx，∴由切线方程知，f′()=a－b=1，∴a=，b=－.(2)由(1)知，f(x)=sinx－cosx=sin(x-)，∴g(x)=kx－sinx，g′(x)=k－cosx，①当k≤0时，当x∈[0,]时，g′(x)≤0，故g(x)单调递减.∴g(x)在[0,]上的最大值为g(0)=0.②当0<k<1时，∵g′(0)=k－1<0，g′()=k>0，∴存在x0∈(0,)，使g′(x0)=0.当x∈[0，x0)时，g′(x)<0，故g(x)单调递减，当x∈(x0,]时，g′(x)>0，故g(x)单调递增.∴g(x)在[0,]上的最大值为g(0)或g().又g(0)=0，g()=－1，∴当0<k≤时，g(x)在[0,]上的最大值为g(0)=0.当<k<1时，g(x)在[0,]上的最大值为g()=－1.③当k≥1时，当x∈[0,]时，g′(x)≥0，故g(x)单调递增，∴g(x)在[0,]上的最大值为g()=－1.综上所述，当k≤时，g(x)在[0,]上的最大值为g(0)=0，当k>时，g(x)在[0,]上的最大值为g()=－1.