2017年1月广东省学业水平考试数学试题含答案

2017年1月广东省学业水平考试数学试题

满分100分

一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分）

1.已知集合,, , 则=（     ）

  A.       B.        C.         D.

2.函数的定义域是（     ）

  A.        B.      C.      D.

3.设i 为虚数单位,则复数= （     ）

  A. 1+i            B.1-i          C. -1+i         D. -1-i

4.命题甲：球的半径为1cm，命题乙:球的体积为cm3，则甲是乙的（     ）

A.充分不必要条件      B. 必要不充分条件

C.充要条件            D. 既不充分也不必要条件

5.已知直线l过点A(1,2),且与直线垂直,则直线l 的方程是（     ）

A. y=2x     B. y=-2x+4     C.     D.

6.顶点在原点，准线为x=2的抛物线的标准方程是（     ）

A.     B.     C.       D.

7.已知三点A(-3, 3), B(0, 1), C(1,0),则（     ）

A. 5          B. 4        C.        D.

8.已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,终边过点P,下列等式不正确的是

A.    B.    C.    D.

9.下列等式恒成立的是（     ）

A. ()                    B.

C.         D.

10. 已知数列满足，,则数列的前项和（  ）

A.       B.      C.      D.

11.已知实数x, y满足,则z=2x+y的最大值为（     ）

A. 3          B. 5         C. 9       D. 10

12.已知点A(-1, 8)和B(5, 2),则以线段AB为直径的圆的标准方程是（     ）

A.         B.

C.         D.

13.下列不等式一定成立的是（     ）

A.   ()          B. ()

C. ()          D. ()

14.已知f (x)是定义在R上的偶函数，且当时, ,则当时, （     ）

A.       B.       C.       D.

15.已知样本的平均数为4, 方差为3, 则的平均数和方差分别为（     ）

A. 4和3          B. 4和9          C. 10和3       D. 10和9

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．）

16. 已知，且成等比数列, 则        ;

17. 函数的最小正周期是           

18.从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是            

19.中心在坐标原点的椭圆，其离心率为，两个焦点F1 和F2在x轴上，P为该椭圆上的任意一点,若| PF1 |+|PF2|=4，则椭圆的标准方程是                      

三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分．）

20.的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知

(1)证明: 为等腰三角形;

(2)若a=2, c=3,求sin C的值.

21.如图,在四棱锥P-ABCD中,, ,,, PA=AB=BC=2. E是PC的中点.

(1)证明: ;

(2)求三棱锥P-ABC的体积;

(3) 证明:

2017年1月广东省普通高中学业水平考试

数学试卷（答案解析）

1、B  解析：       .

2、C  解析：对数函数要求真数大于0    .

3、D  解析:.

4、C  解析：充分性：若，则；同样利用此公式可证必要性.

5、B  解析：  .

根据点斜式方程可得，整理得.

6、A  解析：由准线方程可知焦点在轴上        

由可得.[来源:学科网]

7、A  解析： 

.

8、D  解析：

正确，错误.

9、D  解析：A.；B.；C..

10、B  解析：由已知可得为首项为1，公差为2的等差数列

.

11、C  解析：如图，画出可行域，当直线平移经过点时在轴上的截距取得最大值，由 .

12、D  解析：圆的标准方程为，

其中圆心为，半径为

所求圆的标准方程为.

13、B  解析：A选项：错在可以小于0；

B选项：

（当且仅当，即时等号成立）

C选项：  

D选项：设可知二次函数与轴有两个交点，其值可以小于0.

14、A  解析：是定义在上的偶函数，且当时,

当时， 

当时，.

15、C  解析：平均数加6，方差不变.[来源:学&科&网Z&X&X&K]

16、5  解析：成等比数列      又  .

17、  解析：

函数的最小正周期为.

18、  解析：所有可能的基本事件有12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43共12个，其中小于20的两位数有12，13，14共3个，由古典概型计算公式可得该两位数小于20的概率为.

19、  解析：根据焦点在轴上可设椭圆标准方程为

离心率，长轴长

所求椭圆的标准方程为.

20、解：（1）证明：

由正弦定理得，，即

又      为等腰三角形.

（2）由（1）知    

根据余弦定理，得

即

又   .

21、解：（1）证明：，，，

    又    [来源:Zxxk.Com]

（2）由（1）知

（3）证明：，，，

   又  

   为等边三角形，且

   又为的中点   

又，，

.