第六章 立体几何初步（基础过关）-2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（北师大2019版必修第二册）

第六章 立体几何初步（基础过关）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2020·广东深圳外国语学校高三月考）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，侧视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据三视图画出几何体的直观图，可知该三棱锥是底面为腰长为2､底为的等腰三角形，侧面分别是两个腰为2的等腰直角三角形和一个底为､高为的三角形，从而可求出其表面积

【详解】

解：根据三视图，知该三棱锥是底面为腰长为2､底为的等腰三角形，侧面分别是两个腰为2的等腰直角三角形和一个底为､高为的三角形，所以该三棱锥的表面积为，

故选：A.

2．（2020·重庆市第三十七中学校高二月考）设α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是（    ）

A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行

C．α内有无数个点到β的距离相等 D．α、β垂直于同一平面

【答案】B

【分析】

应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B正确

【详解】

应用立方体，如下图所示：

选项A：α内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与β平行，但如上图α与β可相交于l，故A不一定能使α//β成立；

选项B：由面面平行的判定，可知B正确

选项C：在α内有一条直线平行于l，则在α内有无数个点到β的距离相等，但如上图α与β可相交于l，故C不一定能使α//β成立；

选项D：如图α⊥γ，β⊥γ，但α与β可相交于l，故D不一定能使α//β成立；

故选：B

【点睛】

本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题

3．（2020·江苏省苏州第十中学校高一期中）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为( )

A．若，，，则

B．若，，则

C．若，，，则

D．若，，，，则

【答案】D

【分析】

利用空间线面关系定理分别分析四个选项，得到正确答案.

【详解】

对于A  当，，时，m，n有可能平行，所以不正确；

对于B  当，时，因为直线m，n的位置未知，所以α，β不一定平行，故不正确；

对于C  当，，时，m，n有可能异面，所以不正确；

对于D  满足面面垂直的性质定理，所以正确

故选：D

【点睛】

此题考查了空间线面关系，线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理的运用，属于基础题.

4．（2020·贵溪市实验中学高三月考）圆柱底面周长为，高为4，则它的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先求出底面半径，再由体积公式即可求出.

【详解】

设圆柱底面半径为，

则，解得，

则该圆柱的体积为.

故选：D.

5．（2020·重庆市万州第三中学高二期中）若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由题意可知圆锥底面半径为，母线长为，再利用圆锥的表面积公式求解即可

【详解】

解：因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，

所以圆锥底面半径为，母线长为，

所以圆锥的表面积为，

故选：A

6．（2020·唐山市第十一中学高二期中）如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由圆的性质知：，根据线面垂直的判定得到面，即，结合二面角定义可确定二面角的平面角.

【详解】

∵是圆上一点(不同于，)，是圆的直径，

∴，，，即面，而面，

∴，又面面，，

∴由二面角的定义：为二面角的平面角.

故选：C

7．（2020·安徽黄山市·屯溪一中高二期中）在下列条件中，可判断平面与平行的是（    ）

A．，

B．m，n是两条异面直线，且，，，

C．m，n是内的两条直线，且，

D．内存在不共线的三点到的距离相等

【答案】B

【分析】

根据面面的位置关系和面面平行的判定定理逐一判断选项即可.

【详解】

对于A选项：若，，则平面与平行或相交，故A不正确；

对于B选项： 在直线n.上取一点Q，过点Q作直线m的平行线m'，所以m'与n是两条相交直线，

所以，，且，根据面面平行的判定定理可得，所以B正确.

对于C选项：若m，n是内的两条直线，且，，则根据面面平行的判定定理可得，平面与平行或相交，所以C不正确.

对于D选项：若内不共线的三点到的距离相等，则根据面面的位置关系可得：平面与平行或相交，故D不正确.

故选：B.

8．（2020·全国高三专题练习（文））如图，在三棱柱中，底面，，，那么三棱锥的体积是（    ）

A． B． C．4 D．8

【答案】A

【分析】

椎体的体积公式，因此要找到三棱锥的高和底面，由题知为高，底面为直角三角形，代入公式计算即可.

【详解】

底面为三棱锥的高

为底面，

故选：A.

9．（2020·广东深圳市·高三开学考试）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（　　　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】

①由正方体的性质得BD∥，所以结合线面平行的判定定理可得答案；
②由正方体的性质得 AC⊥BD，，⊥BD，再利用线面垂直可得答案.
③由正方体的性质得 BD∥，并且结合②可得⊥，同理可得，进而结合线面垂直的判定定理得到答案.

【详解】

解：由正方体的性质得BD∥，所以结合线面平行的判定定理可得：BD∥平面；所以①正确.
由正方体的性质得 AC⊥BD，⊥BD，可得⊥平面 ，所以⊥BD，所以②正确.

　　　　
由正方体的性质得 BD∥，由②可得⊥BD，所以⊥，同理可得，进而结合线面垂直的判定定理得到：⊥平面 ，所以③正确.
故选：D.

【点睛】

解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与有关的判定定理，本题考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题.

10．（2020·山东高三专题练习）如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（     ）

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面

【答案】A

【分析】

根据正方形的特点，可得，，然后根据线面垂直的判定定理，可得结果.

【详解】

由题意：，，

，平面

所以平面正确，D不正确；.

又若平面，则，由平面图形可知显然不成立；

同理平面不正确；

故选：A

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理，属基础题.

11．（多选题）（2020·重庆市开州区陈家中学高二月考）已知，是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，，则 B．若，，则

C．若，，，则 D．若，，则

【答案】AD

【分析】

A利用线面垂直的性质判断；B利用面面关系来判断；C利用面面平行的判定定理来判断；D利用面面垂直的判定定理来判断.

【详解】

解：对A：若，，则，又，所以，故正确；

对B：若，，则与可能平行，也可能相交，故错误；

对C：若，，，由于没有强调与相交，故不能推出，故错误；

对D：若，，根据面面垂直的判定定理，可得，故正确.

故选：AD.

【点睛】

本题考查线面面面平行与垂直的判定和性质，是基础题.

12．（多选题）（2020·湖北高三学业考试）已知，，是三条直线，是一个平面，下列命题不正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】BC

【分析】

根据线面平行和垂直的关系，逐个分析判断即可得解.

【详解】

对A，根据直线平行的传递性，故A正确；

对B，垂直于同一直线的两个直线可以相交、平行、异面，故B错误；

对C，平行同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故C错误；

对D，垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确.

故选：BC

二、填空题

13．（2019·湖南高一期末）三个平面两两垂直，它们的交线交于一点，且点到这三个面的距离分别是3、4、5，则的长为______．

【答案】

【分析】

根据题设描述可得示意图，即为一个长、宽、高分别为5、3、4的长方体的体对角线，即可求的长.

【详解】

由题意可得如下示意图：

即为一个长方体的体对角线，且长方体的长、宽、高分别为5、3、4，

∴，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了长方体，求长方体的体对角线，属于简单题.

14．（2020·全国高三专题练习）设长方体的长、宽、高分别为、、，其顶点都在同一个球面上，则该球的半径为______.

【答案】

【分析】

根据长方体的对角线为外接球的直径可求得结果.

【详解】

依题意可知，长方体的对角线为外接球的直径 ，

根据长方体的对角线长定理可得长方体的对角线长为：，

所以长方体的外接球的半径为：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了长方体的对角线长定理，考查了多面体的外接球，属于基础题.

15．（2019·重庆高三（文））在底面为正方形的四棱锥中，平面，，，则该四棱锥的外接球的表面积为__      ．

【答案】

【分析】

由三线两两垂直联想长方体，利用长方体外接球直径为其体对角线长即可得解.

【详解】

解：由题意可知两两垂直，

所以四棱锥为长方体的一部分，

其外接球即为长方体的外接球，外接球直径为长方体的体对角线长，

设外接球的半径为，则

，解得，

所以外接球的表面积为，

故答案为：

【点睛】

此题考查四棱锥外接球问题，利用了补体法求解，属于基础题.

16．（2020·陕西省安康中学高三（理））已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2，则该圆柱的体积为______．

【答案】

【分析】

建立勾股定理即可计算出圆柱底面半径，即可求得体积.

【详解】

设圆柱底面半径为，由已知有，∴，

体积.

故答案为：.

【点睛】

本题考查由圆柱的外接球的性质求圆柱底面半径，属于基础题.

三、解答题

17．（2020·全国高三专题练习（文））如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：A1B1平面DEC1.

【答案】证明见解析.

【分析】

通过三角形的中位线证得，结合证得，由此证得平面.

【详解】

因为D，E分别为BC，AC的中点，所以是三角形的中位线，

所以.

在直三棱柱ABC−A1B1C1中，，所以.

又因为ED⊂平面DEC1，A1B1平面DEC1，

所以A1B1平面DEC1.

18．（2020·安徽省太和第一中学高二开学考试）

如图，四边形是正方形，△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.

（1）求证：；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：第（1）小题设计为证明，只需证明平面；第（2）小题求二面角的大小，解决方法多样，既可以用综合法，也可以用向量法求解．

试题解析：（1）证明：∵是的中点，且，∴ ．

∵ △与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，

∴ ，．

∵ ，平面，平面，

∴ 平面．

∵ 平面， ∴ ．

∵ 四边形是正方形∴ ．

∵ ，平面，平面，

∴ 平面．

∵ 平面，∴ ．

∵ ，平面，平面，

∴ 平面．

∵ 平面，∴ ．

（2）解法1：作于，连接，

∵ ⊥平面，平面∴ ．

∵ ，平面，平面，

∴ ⊥平面．

∵ 平面，∴ ．

∴∠为二面角的平面角．

设正方形的边长为，则，，

在Rt△中，在Rt△中，

，，

在Rt△中， ．

所以二面角的平面角的正弦值为．

解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴 ，

建立空间直角坐标系，设，

则，，,．

∴，．

设平面的法向量为，由 得

令 ，得，∴ 为平面的一个法向量．

∵ 平面，平面，∴ 平面平面．

连接，则．

∵ 平面平面，平面，

∴ 平面．

∴ 平面的一个法向量为．

设二面角的平面角为，

则．

∴．

∴ 二面角的平面角的正弦值为．

考点：线面间平行与垂直，二面角．

19．（2020·青铜峡市高级中学高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，侧面PAB底面，，

（1）求证：平面

（2）过AC的平面交PD于点M，若，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）由菱形的性质有，勾股定理知，结合面面垂直的推论可得，根据线面垂直的判定证垂直即可；（2）由面即可计算，结合已知条件可求三棱锥的体积；

【详解】

（1）由题意知：底面ABCD是菱形，且

∴，又在△中，，即，

∴，又面PAB面，面PAB 面，面PAB，

∴面，而面，有：，，

∴平面；

（2）由（1）知：面，有，

而，且，

∴

【点睛】

本题考查了应用几何图形的性质，及线面垂直的判定证明垂直，根据已知体积关系结合三棱锥的体积公式求三棱锥的体积.

20．（2020·江苏泰州市·兴化一中高一期中）如图，在三棱柱中，，点，分别是，的中点，平面平面．

（1）求证：；（2）求证：//平面．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据平面平面，可得平面，可得结果.

（2）取的中点，根据 //，且，可得平行四边形是平行四边形，然后根据//，以及线面平行的判定定理，可得结果.

【详解】

（1）因为，平面平面，

平面平面，

平面，则平面．

又因为平面，

所以．

（2）取的中点，连接，．

在中，因为，分别是，的中点，

所以//，且．

在平行四边形中，因为是的中点，

所以//，且，所以//，且

在平行四边形是平行四边形，所以//．

又因为平面，平面，所以//平面．

【点睛】

本题考查面面垂直的性质定理，以及线面平行的判定，属基础题.

21．（2020·江苏泰州市·兴化一中高一期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，M是线段AB上的动点．

（1）证明：平面；

（2）若M是AB的中点，证明：平面平面；

（3）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【分析】

（1）利用得出平面.（2）通过证明平面，可证得平面平面.（3）利用等体积转化求出即可.

【详解】

（1）证明：因为在正方体中，，平面，平面，平面

（2）证明：在正方体中，

,是中点，

.

平面，平面，则.

平面，平面，且，

平面.

平面，

∴平面平面

（3）因为平面，所以点，点到平面的距离相等.

故 ．

【点睛】

本题考查了证明线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，注意判定定理中的条件，利用等体积转化求三棱锥的体积是常用的方法，属于基础题.

22．（2020·江苏淮安市·淮阴中学高三三模）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点，且

（1）求证：平面平面；

（2）求证：∥平面.

【答案】（1）见证明；（2）见证明

【分析】

（1）先证明，即证平面BMN⊥平面ACC1A1.(2) 取的中点，连接和，证明，再证明MN∥平面BCC1B1．

【详解】

(1)证明：因为为棱的中点，且，所以，

因为是直三棱柱，所以，

因为，所以，

又因为，且，所以，

因为，所以平面.

(2)取的中点，连接和，

因为为棱的中点，所以，且，

因为是棱柱，所以，

因为为棱的中点，所以，且，

所以，且，所以是平行四边形， 所以，

又因为，所以.

【点睛】

本题主要考查空间几何元素的平行垂直关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.