2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区蓝青学校九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区蓝青学校九年级（上）期中数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区蓝青学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（5分）“下滑数”是一个数中右边数字比左边数字小的自然数（如：32，641，8531等），任取一个两位数，是“下滑数”的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）抛物线y＝x2+4x+5是由抛物线y＝x2+1经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（　　）
A．向左平移1个单位 B．向左平移2个单位
C．向右平移1个单位 D．向右平移2个单位
3．（5分）∠α是△ABC三个内角中的最小角，则（　　）
A．0＜cosα≤ B．0＜cosα≤ C．cosα＜1 D．≤cosα
4．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a；④b＞1．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．②③ C．①④ D．②④
5．（5分）如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝9．则k的值是（　　）

A．9 B．6 C．5 D．4
6．（5分）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：
①OA＝BC＝2；
②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；
③在运动过程中，∠CDP是一个定值；
④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（5分）如图，在钝角△ABC中，BC＝1，∠A＝30°，D为BC边的中点，G为△ABC的重心，若B、C为定点，当点A运动时，线段GD的长度的取值范围是（　　）

A．0＜GD≤ B．0 C． D．≤GD
8．（5分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（　　）

A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
二、填空题（每小题5分，共40分）
9．（5分）已知抛物线y＝﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2（m是常数），若0≤x≤1时，函数y有最大值﹣5，则m的值为　 　．
10．（5分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　 　．

11．（5分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在斜边AB上分别截取AD＝AC，BE＝BC，DE＝6，
点O是△CDE的外心，如图所示，则点O到△ABC的三边的距离之和是　 　．

12．（5分）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为　 　．

13．（5分）如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为　 　．

14．（5分）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD，BD，CD，则BD+AD的最小值是　 　．

15．（5分）如图，矩形ABCD的长为6，宽为4，以D为圆心，DC为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点H，FH•FC＝　 　．

16．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．如果在点P运动的过程中，使△PQR成为等腰三角形，则x的值是　 　．

三、解答题（共70分）
17．（18分）解下列各题：
（1）已知＝＝≠0，求的值；
（2）在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA+sinB＝，求sinA﹣sinB的值；
（3）已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底边长与腰长的比值为黄金分割比）．如图，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，且AB＝1，求CE的长．

18．（10分）两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序．两人采用了不同的乘车方案：
甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能情况？请你列举出来．
（2）你认为甲、乙俩采用的方案，哪一种方案使自己乘坐舒适程度为上等的车的可能性大？为什么？
19．（12分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE．
（1）求证：∠ACE＝∠DCE；
（2）若∠B＝45°，∠BAE＝15°，求∠EAO的度数；
（3）若AC＝4，，求CF的长．

20．（14分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

21．（16分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x＝2．动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒．连接OP并延长交抛物线于点B，连接AO、AB．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当A，O，B三点构成以OB为斜边的直角三角形时，求t的值；
（3）请你探究：当4≤t≤5时，在点P运动过程中，△AOB的外接圆圆心M所经过的路线长度是　 　（请在横线上直接写出答案即可）．


2021-2022学年浙江省宁波市鄞州区蓝青学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（5分）“下滑数”是一个数中右边数字比左边数字小的自然数（如：32，641，8531等），任取一个两位数，是“下滑数”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】让“下滑数”的总个数除以两位数的总个数即为所求的概率．
【解答】解：根据题意：两位数的个数是99﹣10+1＝90个，而是“下滑数”的数有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45个，所以任取一个两位数，是“下滑数”的概率是＝．故选A．
2．（5分）抛物线y＝x2+4x+5是由抛物线y＝x2+1经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（　　）
A．向左平移1个单位 B．向左平移2个单位
C．向右平移1个单位 D．向右平移2个单位
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，1），新抛物线的顶点为（﹣2，1），
∴是抛物线y＝x2+1向左平移2个单位得到，
故选：B．
3．（5分）∠α是△ABC三个内角中的最小角，则（　　）
A．0＜cosα≤ B．0＜cosα≤ C．cosα＜1 D．≤cosα
【分析】根据∠α是△ABC三个内角中的最小角可得0°＜∠α≤60°，再根据特殊角的三角函数值可得答案．
【解答】解：∵∠α是△ABC三个内角中的最小角，
∴0°＜∠α≤60°，
∵cos60°＝，cos0°＝1，
∴，
故选：C．
4．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a；④b＞1．其中正确的结论是（　　）

A．①② B．②③ C．①④ D．②④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵对称轴为x＝﹣＜0，
∴a、b同号，即b＞0，
∴abc＜0，
故本选项错误；
②当x＝1时，函数值为2，
∴a+b+c＝2；
故本选项正确；
③∵对称轴x＝﹣＞﹣1，a＞0，
解得：＜a，
∵b＞1，
∴a＞，
故本选项错误；
④当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
又∵a+b+c＝2，
∴a+c＝2﹣b，
∴2﹣b＜b，
∴b＞1
故本选项正确；
综上所述，其中正确的结论是②④；
故选：D．
5．（5分）如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝9．则k的值是（　　）

A．9 B．6 C．5 D．4
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，设反比例函数解析式为y＝（k＞0），根据反比例函数图象上点的坐标特征得A、B两点的纵坐标分别是、，再证明△CEB∽△CDA，利用相似比得到＝＝＝，则DE＝CE，由OD：OE＝a：2a＝1：2，则OD＝DE，所以OD＝OC，根据三角形面积公式得到S△AOD＝S△AOC＝×9＝3，然后利用反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得|k|＝3，易得k＝6．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，
设反比例函数解析式为y＝（k＞0），
∵A、B两点的横坐标分别是a、2a，
∴A、B两点的纵坐标分别是、，
∵AD∥BE，
∴△CEB∽△CDA，
∴＝＝＝，
∴DE＝CE，
∵OD：OE＝a：2a＝1：2，
∴OD＝DE，
∴OD＝OC，
∴S△AOD＝S△AOC＝×9＝3，
∴|k|＝3，
而k＞0，
∴k＝6．
故选：B．

6．（5分）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2，2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：
①OA＝BC＝2；
②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；
③在运动过程中，∠CDP是一个定值；
④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据矩形的性质即可得到OA＝BC＝2；故①正确；
②由点D为OA的中点，得到OD＝OA＝，根据勾股定理即可得到PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；
③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，根据三角函数的定义得到BE＝PE＝a，求得CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），根据相似三角形的性质得到FD＝，根据三角函数的定义得到∠PDC＝60°，故③正确；
④当△ODP为等腰三角形时，Ⅰ、OD＝PD，解直角三角形得到OD＝OC＝，Ⅱ、OP＝OD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；于是得到当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．故④错误．
【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，B（2，2），
∴OA＝BC＝2；故①正确；
②∵点D为OA的中点，
∴OD＝OA＝，
∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；
③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，
∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，
∴EF＝OC＝2，
设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，
在Rt△BEP中，tan∠CBO＝＝＝，
∴BE＝PE＝a，
∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），
∵PD⊥PC，
∴∠CPE+∠FPD＝90°，
∵∠CPE+∠PCE＝90°，
∴∠FPD＝∠ECP，
∵∠CEP＝∠PFD＝90°，
∴△CEP∽△PFD，
∴＝，
∴tan∠PDC＝＝＝＝，
∴∠PDC＝60°，故③正确；
④∵B（2，2），四边形OABC是矩形，
∴OA＝2，AB＝2，
∵tan∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝30°，
当△ODP为等腰三角形时，
Ⅰ、OD＝PD，
∴∠DOP＝∠DPO＝30°，
∴∠ODP＝120°，
∴∠ODC＝60°，
∴OD＝OC＝，
Ⅱ、当D在x轴的正半轴上时，OP＝OD，
∴∠ODP＝∠OPD＝75°，
∵∠COD＝∠CPD＝90°，
∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；
当D在x轴的负半轴上时，OP′＝OD′，
∵∠AOB＝30°，
∴∠D′OP′＝150°，
∵∠CP′D′＝90°，
∴∠CP′O＝105°，
∵∠COP′＝60°，
∴∠OCP′＝15°，
∴∠BCP′＝75°，
∴∠CP′B＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴BC＝BP′＝2，
∴OD′＝OP′＝4﹣2，
∴D（2﹣4，0）；
Ⅲ、OP＝PD，
∴∠POD＝∠PDO＝30°，
∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去，
∴当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（2﹣4，0）或（，0）．故④错误，
故选：C．


7．（5分）如图，在钝角△ABC中，BC＝1，∠A＝30°，D为BC边的中点，G为△ABC的重心，若B、C为定点，当点A运动时，线段GD的长度的取值范围是（　　）

A．0＜GD≤ B．0 C． D．≤GD
【分析】根据A点变动，度数不动，可把∠A置于以BC为弦的圆中，求DG的取值即可．
【解答】解：在图中30°的弓形弧BC

令MB⊥BC，NC⊥BC，
由题意知，A点在不含端点的BM、CN上．且BD＜AD＜DM，
在Rt△BCM中，BC＝1，∠BMC＝30°，
∴BM＝＝，
在Rt△BDM中，BD＝，BM＝，
∴DM＝＝＝
故＜DG＜，
∴＜DG＜．
故选：C．
8．（5分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（　　）

A．3 B．1+ C．1+3 D．1+
【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题；
【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．

∵AQ＝QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO＝90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）
在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，
∴OH＝OC＝1，CH＝，
在Rt△CKH中，CK＝＝，
∴CQ的最大值为1+，
故选：D．
二、填空题（每小题5分，共40分）
9．（5分）已知抛物线y＝﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2（m是常数），若0≤x≤1时，函数y有最大值﹣5，则m的值为　﹣5或　．
【分析】将抛物线解析式变形为顶点式可得出抛物线开口方向及对称轴，分m＜0、0≤m≤2以及m＞2三种情况画出函数图象，由当0≤x≤1时，函数y有最大值﹣5，即可得出关于m的方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵y＝﹣4x2+4mx﹣4m﹣m2＝﹣4（x﹣）2﹣4m，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝．
当＜0，即m＜0时，x＝0时y取最大值（如图1所示），
∴﹣4m﹣m2＝﹣5，
解得：m1＝﹣5，m2＝1（不合题意，舍去）；
当0≤≤1，即0≤m≤2时，x＝时y取最大值（如图2所示），
∴﹣4m＝﹣5，
解得：m3＝；
当＞1，即m＞2时，x＝1时y取最大值（如图3所示），
∴﹣4+4m﹣4m﹣m2＝﹣5，
解得：m4＝﹣1（不合题意，舍去），m5＝1（不合题意，舍去）．
综上所述，m的值为﹣5或．
故答案为：﹣5或．

10．（5分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　　．

【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF＝2EH＝2OE•sin∠EOH＝2OE•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF＝2EH，即可求出答案．
【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，
如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝4，
∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知∠EOH＝∠FOH＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝×＝，
由垂径定理可知EF＝2EH＝，
故答案为：．

11．（5分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在斜边AB上分别截取AD＝AC，BE＝BC，DE＝6，
点O是△CDE的外心，如图所示，则点O到△ABC的三边的距离之和是　9　．

【分析】首先证明点O是△ABC的内心，由r＝（AC+BC﹣AB）＝（AD+BE﹣AB）＝DE，即可解决问题．
【解答】解：由题意点O是EC、CD垂直平分线的交点，
∵AD＝AC，BE＝BC，
∴EC的垂直平分线经过B且平分∠B，CD的垂直平分线经过A且平分∠A，
∴O是△ABC的内心，
则r＝（AC+BC﹣AB）＝（AD+BE﹣AB）＝DE＝3，
∴点O到△ABC的三边的距离之和是3r＝9，
故答案为9．
12．（5分）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为　2　．

【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝CF＝BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故答案为：2
13．（5分）如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为　　．

【分析】如图，过点G作GP⊥AD，垂足为P，可以得到△BGF∽△PGE，再根据相似三角形对应边成比例的性质列式求解即可得到DE和BG，根据勾股定理可求EG的长，进而求出每个小正方形的边长．
【解答】解：如图所示：
∵正方形ABCD边长为25，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝25，
过点G作GP⊥AD，垂足为P，则∠4＝∠5＝90°，
∴四边形APGB是矩形，
∴∠2+∠3＝90°，PG＝AB＝25，
∵六个大小完全一样的小正方形如图放置在大正方形中，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠FGB，
∴△BGF∽△PGE，
∴＝，
∴＝，
∴GB＝5．
∴AP＝5．
同理DE＝5．
∴PE＝AD﹣AP﹣DE＝15，
∴EG＝＝5，
∴小正方形的边长为．
故答案为：．

14．（5分）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点D，连接AD，BD，CD，则BD+AD的最小值是　2　．

【分析】如图，在CB上取一点F，使得CF＝2，连接FD，AF．由△FCD∽△DCB，推出＝＝，推出DF＝BD，推出BD+AD＝DF+AF，根据DF+AD≥AF即可解决问题；
【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝2，连接FD，AF．

∴CD＝4，CF＝2，CB＝8，
∴CD2＝CF•CB，
∴＝，
∵∠FCD＝∠DCB，
∴△FCD∽△DCB，
∴＝＝，
∴DF＝BD，
∴BD+AD＝DF+AF，
∵DF+AD≥AF，AF＝＝2，
∴BD+AD的最小值是2，
故答案为2．
15．（5分）如图，矩形ABCD的长为6，宽为4，以D为圆心，DC为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点H，FH•FC＝　　．

【分析】连接BF、OF、OD，OD交CH于K．首先证明OD垂直平分线段CF，利用面积法求出CK、FK，利用勾股定理求出OK，利用三角形的中位线定理求出BF，再利用相似三角形的性质即可解决问题；
【解答】解：连接BF、OF、OD，OD交CH于K．

∵DF＝DC，OF＝OC，
∴OD垂直平分线段CF，
∴CK＝KF＝＝，OK＝＝，
∵OB＝OC，CK＝KF，
∴BF＝2OK＝，
∵BC是直径，
∴∠BFC＝90°，
∵∠CBH＝90°，
∴∠CBF+∠FCB＝90°，∠HBF+∠FBC＝90°，
∴∠HBF＝∠FCB，∵∠BFH＝∠BFC＝90°，
∴△BFH∽△CFB，
∴BF2＝CF•FH＝．
故答案为．
16．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．如果在点P运动的过程中，使△PQR成为等腰三角形，则x的值是　、6、　．

【分析】根据题画出图形，根据图形进行讨论：
①当PQ＝PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM＝RM．由于∠1+∠2＝90°，∠C+∠2＝90°即∠1＝∠C．根据三角函数即可求出x的值；
②当PQ＝RQ时，﹣x+6＝，x＝6；
③当PR＝QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，故CR＝CE＝AC＝2．由于tanC＝＝，x＝．
【解答】解：存在，设BQ＝x，QR＝y，
∵QR∥AB，
∴∠QRC＝∠A＝90°．
∵∠C＝∠C，
∴△RQC∽△ABC，
∴＝，∴＝，
∴y＝﹣x+6，
分三种情况：
①当PQ＝PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM＝RM．
∵∠1+∠2＝90°，∠C+∠2＝90°，
∴∠1＝∠C．
∴cos∠1＝cosC＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴x＝．
②当PQ＝RQ时，﹣x+6＝，
∴x＝6．
③作EM⊥BC，RN⊥EM，
∴EM∥PQ，
当PR＝QR时，则R为PQ中垂线上的点，
∴EN＝MN，
∴ER＝RC，
∴点R为EC的中点，
∴CR＝CE＝AC＝2．
∵tanC＝＝，
∴＝，
∴x＝．
综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．

三、解答题（共70分）
17．（18分）解下列各题：
（1）已知＝＝≠0，求的值；
（2）在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA+sinB＝，求sinA﹣sinB的值；
（3）已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底边长与腰长的比值为黄金分割比）．如图，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形，且AB＝1，求CE的长．

【分析】（1）设＝＝＝k，进而得到a＝6k，b＝5k，c＝4k，代入计算即可；
（2）根据完全平方公式、sin2A+sin2B＝1计算即可；
（3）根据黄金比值为依次计算即可．
【解答】解：（1）设＝＝＝k，
则a＝6k，b＝5k，c＝4k，
∴＝＝＝；
（2）∵sinA+sinB＝，
∴（sinA+sinB）2＝，即sin2A+2sinBsinA+sin2B＝，
∴2sinBsinA＝，
∴（sinA﹣sinB）2＝sin2A﹣2sinBsinA+sin2B＝，
∴sinA﹣sinB＝±；
（3）∵△ABC是黄金三角形，AB＝1，
∴BC＝AB＝，
∵△BDC是黄金三角形，
∴CD＝BC＝×＝，
∵△DEC是黄金三角形，
∴EC＝CD＝×＝﹣2．
18．（10分）两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序．两人采用了不同的乘车方案：
甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能情况？请你列举出来．
（2）你认为甲、乙俩采用的方案，哪一种方案使自己乘坐舒适程度为上等的车的可能性大？为什么？
【分析】（1）利用列举法整数展示所有6种可能的结果；
（3）利用列表法展示甲乙乘车的所有结果，然后计算他们乘坐上等车的概率，再比较概率的大小．
【解答】解：（1）三辆车开来的先后顺序有6种可能：
（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、中、上）、（下、上、中）；

（2）列表如下：
顺序
甲
乙
上、中、下
上
下
上、下、中
上
中
中、上、下
中
上
中、下、上
中
上
下、上、中
下
上
下、中、上
下
中
甲乘上、中、下三辆车的概率都是；
而乙乘上等车的概率＝＝，
所以乙乘坐舒适程度为上等的车的可能性大．
19．（12分）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE．
（1）求证：∠ACE＝∠DCE；
（2）若∠B＝45°，∠BAE＝15°，求∠EAO的度数；
（3）若AC＝4，，求CF的长．

【分析】（1）易证∠OEC＝∠OCE，∠OEC＝∠ECD，从而可知∠OCE＝∠ECD，即∠ACE＝∠DCE；
（2）延长AE交BC于点G，易证∠AGC＝∠B+∠BAG＝60°，由于OE∥BC，所以∠AEO＝∠AGC＝60°，所以∠EAO＝∠AEO＝60°；
（3）易证，由于，所以＝，由圆周角定理可知∠AEC＝∠FDC＝90°，从而可证明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）∵OC＝OE，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵OE∥BC，
∴∠OEC＝∠ECD，
∴∠OCE＝∠ECD，
即∠ACE＝∠DCE，
（2）延长AE交BC于点G，
∵∠AGC是△ABG的外角，
∴∠AGC＝∠B+∠BAG＝60°，
∵OE∥BC，
∴∠AEO＝∠AGC＝60°，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠AEO＝60°
（3）∵O是AC中点
∴，
∵，
∴＝，
∵AC是直径，
∴∠AEC＝∠FDC＝90°，
∵∠ACE＝∠FCD
∴△CDF∽△CEA，
∴＝，
∴CF＝CA＝

20．（14分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

【分析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．
（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD＝CD时，②如图3中，当AD＝AC时，③如图4中，当AC＝CD时，分别求出∠ACB即可．
（3）设BD＝x，利用△BCD∽△BAC，得＝，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，∵∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A＝40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD＝CD时，如图2，∠ACD＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．
②当AD＝AC时，如图3中，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝114°．
③当AC＝CD时，如图4中，∠ADC＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．
∴∠ACB＝96°或114°．
（3）由已知AC＝AD＝2，
∵△BCD∽△BAC，
∴＝，设BD＝x，
∴（）2＝x（x+2），
∵x＞0，
∴x＝﹣1，
∵△BCD∽△BAC，
∴＝＝，
∴CD＝×2＝﹣．




21．（16分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x＝2．动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒．连接OP并延长交抛物线于点B，连接AO、AB．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当A，O，B三点构成以OB为斜边的直角三角形时，求t的值；
（3）请你探究：当4≤t≤5时，在点P运动过程中，△AOB的外接圆圆心M所经过的路线长度是　　（请在横线上直接写出答案即可）．

【分析】（1）由抛物线y＝x2+bx+c经过原点O且对称轴是直线x＝2，知c＝0，﹣＝2，求得b的值即可得出答案；
（2）设点B（a，a2﹣4a），由y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4知A（2，﹣4），利用勾股定理和两点距离公式可求a的值，即可求t的值；
（3）当点P运动时，△AOB的外接圆圆心M在线段OA的垂直平分线上运动，则点M所经过的路线是一条线段，分别求出t＝4和t＝5时，圆心M的坐标，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x＝2，
∴c＝0，﹣＝2，
则b＝﹣4、c＝0，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x；

（2）设点B（a，a2﹣4a），
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴点A（2，﹣4），
∵OB为斜边
∴OB2＝OA2+AB2，则a2+（a2﹣4a）2＝20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，
解得a＝2（舍）或a＝，
∴B（，﹣），
则直线OB解析式为y＝﹣x，
当x＝2时，y＝﹣3，即P（2，﹣3），
∴t＝（﹣3+4）÷1＝1；
（3）∵当点P运动时，△AOB的外接圆圆心M在线段OA的垂直平分线上运动，
∴点M所经过的路线是一条线段，
当t＝4时，点P运动到（2，0），此时点M是OA的垂直平分线和直线x＝2的交点，
∵点A（2，﹣4），点O（0，0）
∴直线AO解析式为：y＝﹣2x，
∴OA的垂直平分线的解析式为y＝x﹣，
∴当x＝2，y＝﹣，
∴点M（2，﹣），
当t＝5时，点P运动到P'（2，1），
∵P'（2，1），点A（2，﹣4），点O（0，0）
∴AP'＝5，OA＝2，OP'＝，
∵AP'2＝25＝OA2+OP'2，
∴OP'⊥OA，
∴直线OP'的解析式为：y＝x，
∴联立方程组
∴或
∴点B'（，），
∵此时△AB'O的外接圆的圆心M'是AB'的中点，
∴点M'（，﹣）
∴MM'＝＝，
故答案为．