【假期专项练习】解答题压轴题训练-2021-2022学年上学期八年级数学(人教版)

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2021-2022学年八上期末金牌解答题压轴题训练
（时间：60分钟总分：100）班级姓名得分
一、解答题
1. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”.如：x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1+2x-1=1+2x-1，则x+1x-1是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是          (填序号);
 ①x+1x; ②x+2x2; ③x+2x+1; ④y2+1y2．
(2)将“和谐分式”a2-2a+3a-1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：a2-2a+3a-1=                              ;
(3)应用：先化简3x+6x+1-x-1x÷x2-1x2+2x，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？
【答案】解：(1) ① ③ ④
(2)a-1+2a-1
(3)原式=3x+6x+1-x-1x·x(x+2)(x+1)(x-1)=3x+6x+1-x+2x+1=2x+4x+1=2(x+1)+2x+1=2+2x+1，
∴当x+1=±1或x+1=±2时，原式的值为整数，此时x=0，或-2，或1，或-3．
又∵原式有意义，
∴x≠0，x≠1，x≠-1，x≠-2．
∴x=-3．
【解析】见答案


2. 阅读下面的解题过程：
已知：xx2+1=13，求x2x4+1的值.解：xx2+1=13知x≠0，所以x2+1x=3，即x+1x=3.所以x4+1x2=x2+1x2=x+1x2-2=32-2=7.故x2x4+1的值为17．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知：xx2-3x+1=15，求x2x4+x2+1的值．
【答案】解：∵xx2-3x+1=15，
∴x2-3x+1x=5，
∴x+1x=8，
∵x4+x2+1x2=x2+1+1x2=x+1x2-2+1=82-1=63，
∴x2x4+x2+1=163．
【解析】此题主要考查了分式的混合运算，关键是理解例题的解法，掌握解题方法后，再根据例题方法解答，首先根据解答例题可得x2-3x+1x=5，得出x+1x=8，再求x2x4+x2+1的倒数的值，进而可得答案．

3. 一般情况下，一个分式通过适当的变形，可以化为整式与分式的和的形式，例如：
①x+1x-1=(x-1)+2x-1=x-1x-1+2x-1=1+2x-1；
②x2x-2=x2-4+4x-2=(x+2)(x-2)+4x-2=x+2+4x-2
(1)试将分式x-1x+2化为一个整式与一个分式的和的形式；
(2)如果分式2x2-1x-1的值为整数，求x的整数值．
【答案】解：(1)原式=(x+2)-3x+2=1-3x+2
(2)原式=2x2-2+1x-1
=2(x+1)(x-1)+1x-1=2(x+1)+1x-1
∵分式的值为整数，且x为整数，
∴x-1=±1，
∴x=2或0
【解析】本题考查学生的分式的运算，解题的关键是正确理解题意，本题属于基础题型．
(1)根据题意将分式进行变形即可；
(2)将该分式化为一个整式与一个分式的和的形式，然后根据题意列出关于x的方程即可求出答案．

4. 阅读下列材料：
对于多项式x2+x-2，如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+x-2的值为0，这时可以确定多项式中有因式(x-1)；同理，可以确定多项式中有另一个因式(x+2)，于是我们可以得到：x2+x-2=(x-1)(x+2)．
又如：对于多项式2x2-3x-2，发现当x=2时，2x2-3x-2的值为0，则多项式2x2-3x-2有一个因式(x-2)，我们可以设2x2-3x-2=(x-2)(mx+n)，解得m=2，n=1，于是我们可以得到：2x2-3x-2=(x-2)(2x+1)
请你根据以上材料，解答以下问题：
(1)当x=______时，多项式6x2-x-5的值为0，所以多项式6x2-x-5有因式______，从而因式分解6x2-x-5=______；
(2)以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：
①2x2+5x+3；
②x3-7x+6；
(3)小聪用试根法成功解决了以上多项式的因式分解，于是他猜想：
代数式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3有因式______，______，______，
所以分解因式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3=______．
【答案】解：(1)1，x-1，(x-1)(6x+5)；
(2)①当x=-1时，2x2+5x+3=0，
∴2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)；
②当x=1时，x3-7x+6=0，
∴x3-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)；
(3)(x-2)，(y-2)，(x-y)，3(x-2)(y-2)(x-y)．
【解析】(1)当x=1时，6x2-x-5=0，
设6x2-x-5=(x-1)(mx+n)，解得m=6，n=5，
∴因式分解6x2-x-5=(x-1)(6x+5)，；
(2)找到x=-1时，2x2+5x+3=0，x=1时，x3-7x+6=0，即可求解；
(3)当x=y=2时，(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3=0，
∴(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3=3(x-2)(y-2)(x-y)，
故答案为(x-2)，(y-2)，(x-y)，3(x-2)(y-2)(x-y)．
本题考查多项式乘以多项式，因式分解；熟练掌握多项式与多项式，理解阅读材料的方法，借助多项式乘法进行因式分解是解题的关键．

5. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2，请解答下列问题：

(1)写出图2中所表示的数学等式______．
(2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
(3)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c=10，ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2=______．
(4)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(5a+7b)(9a+4b)长方形，则x+y+z=______．
【答案】解：(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； 
(2)证明：(a+b+c)(a+b+c)，
=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
(3)30 ；
(4)156
【解析】
【分析】
(1)依据正方形的面积=(a+b+c)2；正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；
(2)运用多项式乘多项式进行计算即可；
(3)依据a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2ac-2bc，进行计算即可；
(4)依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而(5a+7b)(9a+4b)=45a2+20ab+63ab+28b2=45a2+28b2+83ab，即可得到x，y，z的值．
本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
解：(1)∵正方形的面积=(a+b+c)2；正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
(2)见答案；
(3)a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2ac-2bc，
=102-2(ab+ac+bc)，
=100-2×35，
=30；
故答案为：30；
(4)由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，
∵(5a+7b)(9a+4b)，
=45a2+20ab+63ab+28b2，
=45a2+28b2+83ab，
∴x=45，y=28，z=83．
∴x+y+z=45+28+83=156．
故答案为：156．  
6. 著名的瑞士数学家欧拉曾指出：可以表示为四个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个整数平方之和，即(a2+b2+c2+d2)(e2+f2+g2+h2)=A2+B2+C2+D2，这就是著名的欧拉恒等式，有人称这样的数为“不变心的数”．
实际上，上述结论可减弱为：可以表示为两个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为两个整数平方之和．
【动手一试】试将(12+52)(22+72)改成两个整数平方之和的形式．
(12+52)(22+72)=______；
【阅读思考】在数学思想中，有种解题技巧称之为“无中生有”．
例如问题：将代数式x2-y2+1x2-1y2改成两个平方之差的形式．
解：原式=(x2+1x2+2⋅x⋅1x)-(y2+1y2+2⋅y⋅1y)=(x+1x)2-(y+1y)2﹒
【解决问题】请你灵活运用利用上述思想来解决“不变心的数”问题：
将代数式(a2+b2)(c2+d2)改成两个整数平方之和的形式(其中a、b、c、d均为整数)，并给出详细的推导过程﹒
【答案】32+372
【解析】解：【动手一试】(12+52)(22+72)=32+372，
故答案为：32+372；
【解决问题】(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2，
证明：(a2+b2)(c2+d2)
=(a2c2+b2d2)+(a2d2+b2c2)=(a2c2+b2d2+2abcd)+(a2d2+b2c2-2abcd)
=(ac+bd)2+(ad-bc)2．
【动手一试】根据题目中的式子可以写出相应的式子；
【解决问题】根据题目中的无中生有，可以证明结论成立．
本题考查分式的混合运算、数学常识、多项式乘多项式，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的式子的规律，写出相应的结论并证明．

7. (1)阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线.试说明∠D=90°+12∠A的理由．

解：因为BD平分∠ABC(已知)，
所以∠1=______ (角平分线定义)．
同理：∠2=______ ．
因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°，(______ )，
所以∠D=______ (等式性质)．
即：∠D=90°+12∠A．
(2)探究，请直接写出结果，并任选一种情况说明理由：
(i)如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线.试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是______ ．
(ii)如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线.试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是______ ．
【答案】12∠ABC 12∠ACB 三角形的内角和等于180°  180°-12(∠ABC+∠ACB)  ∠D=90°-12∠A  ∠D=12∠A
【解析】解：(1)解：因为BD平分∠ABC(已知)，
所以∠1=12∠ABC (角平分线定义)．
同理：∠2=12∠ACB．
因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠1+∠2+∠D=180°，(三角形的内角和等于180° )，
所以∠D=180°-12(∠ABC+∠ACB) (等式性质)．
即：∠D=90°+12∠A．
故答案为：12∠ABC，12∠ACB，三角形的内角和等于180°，180°-12(∠ABC+∠ACB)．

(2)解：(i)∠D与∠A之间的等量关系是：∠D=90°-12∠A．
理由：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD=∠DBC，∠BCD=∠DCF，
∴∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
而∠ABC=180°-2∠DBC，
∠ACB=180°-2∠DCB，
∴∠A+180°-2∠DBC+180°-2∠DCB=180°，
∴∠A-2(∠DBC+∠DCB)=-180°，
∴∠A-2(180°-∠D)=-180°，
∴∠A-2∠D=180°，
∴∠D=90°-12∠A，
故答案为：∠D=90°-12∠A；
(ii)∠D与∠A之间的等量关系是：∠D=12∠A．
理由：∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，
∴∠DCE=∠DBC+∠D，
∵∠A+2∠DBC=2∠DCE∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D∴∠A=2∠D
即：∠D=12∠A．
故答案为：∠D=12∠A．
(1)、(2)关键“三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和”、“三角形的内角和等于180°”及等式的性质分析求解．
本题考查了三角形的外角性质的应用，能熟记三角形外角性质定理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

8. 同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：
(1)如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；
(2)如图2，∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，求∠FQG的大小；
(3)如图3，点P是线段AD上的动点(不与A，D重合)，连接PF、PG，∠DFP+∠FPG∠EGP的值是否变化？如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由．

【答案】解：(1)如图1，延长AM交EG于M．

∠β+∠α=90°，理由如下：
由题意知：DF//EG，∠ACB=90°．
∴∠α=∠GMC，∠ACB=∠GMC+∠CGM=90°．
∵∠EGB和∠CGM是对顶角，
∴∠β=∠CGM．
∴∠β+∠α=90°．
(2)如图2，延长AC交EG于N．

由题意知：DF//EN，∠ACB=90°．
∴∠1=∠GNC，∠CGN+∠GNC=90°．
∴∠1+∠CGN=90°．
∵QF平分∠DFC，
∴∠QFC=12∠DFC=12(180°-∠1)=90°-12∠1．
同理可得：∠GQC=90°-12∠CGN．
∵四边形QFCG的内角和等于360°．
∴∠FQG=360°-∠QFC-∠QGC-∠ACB=360°-(90°-12∠1)-(90°-12∠CGN)-90°．
∴∠FQG=135°．
(3)如图3，

由题意知：DF//EG．
∴∠FOG=∠EGO．
∴∠DFP+∠FPG∠EGP=∠GOF∠EGP=1．
∴∠DFP+∠FPG∠EGP的值不变．
【解析】(1)如图1，延长AM交EG于M.由题意知：DF//EG，∠ACB=90°，故∠α=∠GMC，∠ACB=∠GMC+∠CGM=90°.进而推断出∠β+∠α=90°．
(2)如图2，延长AC交EG于N.由题意知：DF//EN，∠ACB=90°，得∠1=∠GNC，∠CGN+∠GNC=90°，故∠1+∠CGN=90°.因为∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，所以∠QFC=12∠DFC=12(180°-∠1)=90°-12∠1，∠GQC=90°-12∠CGN.那么，∠FQG=360°-∠QFC-∠QGC-∠ACB=135°．
(3)由题意知：DF//EG，得∠FOG=∠EGO，故∠DFP+∠FPG∠EGP=∠GOF∠EGP=1．
本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质、对顶角的性质、角平分线的定义以及四边形内角和等于360°，熟练掌握三角形外角的性质、平行线的性质、对顶角的性质、角平分线的定义以及四边形内角和等于360°是解题的关键．

9. 定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a,b)，B(c,d)，若点T(x,y)满足x=a+c3，y=b+d3，那么称点T是点A，B的融合点．例如：A(-1,8)，B(4,-2)，当点T(x,y)满足x=-1+43=1，y=8+-23=2时，则点T(1,2)是点A，B的融合点．

(1)已知点A(-1,5)，B(7,7)，C(2,4)，请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
(2)如图，点D(3,0)，点E(t,2t+3)是直线l上任意一点，点T(x,y)是点D，E的融合点．
①试确定y与x的关系式．
②若直线ET交x轴于点H.当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．
【答案】解：(1)x=13(-1+7)=2，y=13(5+7)=4，
故点C是点A、B的融合点；
(2)①由题意得：x=13(t+3)，y=13(2t+3)，
则t=3x-3，
则y=13(6x-6+3)=2x-1；
②当∠DHT=90°时，如图1所示，
点E(t,2t+3)，则T(t,2t-1)，则点D(3,0)，
由点T是点D，E的融合点得：
t=t+33，2t-1=2t+3+03
解得：t=32，即点E(32,6)；
当∠TDH=90°时，如图2所示，
则点T(3,5)，
由点T是点D，E的融合点得：点E(6,15)；
当∠HTD=90°时，该情况不存在；
故点E(32,6)或(6,15)．
【解析】本题考查的是一次函数综合运用题．
(1)x=13(-1+7)=2，y=13(5+7)=4，即可求解；
(2)①由题意得：x=13(t+3)，y=13(2t+3)，即可求解；
②分∠DTH=90°、∠TDH=90°、∠HTD=90°三种情况，分别求解即可．

10. 问题背景：

如图(1)，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________；
探索延伸：
如图(2)，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【答案】问题背景：EF=BE+DF；
探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.证明如下：
延长FD到G，使DG=BE，连接AG，

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
BE=DG,∠B=∠ADG,AB=AD,
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF,
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF．
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质．
问题背景：利用HL证得Rt△ABE≌Rt△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠GAD，进而得到∠GAF=60°，从而利用SAS证得△AEF≌△AGF，得到EF=GF，进而得到结论；
探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等得到∠B=∠ADG，利用SAS证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，根据∠EAF=12∠BAD，进而得到∠EAF=∠GAF，利用SAS证得△AEF≌△AGF，得到EF=GF，进而得到结论．
【解答】
证明：问题背景：EF=BE+DF，证明如下：
如图，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，

在Rt△ABE和Rt△ADG中，
AB=ADBE=DG,
∴Rt△ABE≌Rt△ADG，
∴AE=AG，∠BAE=∠GAD，
∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠DAF=60°，
∴∠GAD+∠DAF=60°，
即：∠GAF=60°，
在△AEF和△AGF中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF,
∴△AEF≌△AGF，
∴EF=GF，
∵GF=DG+DF，
∴EF=GF=DG+DF=BE+DF，
故答案为EF=BE+DF；
探索延伸：见答案．  
11. (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD.求证：EF=BE+FD．

(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．
【答案】证明：(1)如图1，延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵在△ABG与△ADF中，AB=AD∠ABG=∠ADFBG=DF

∴△ABG ≌△ADF(SAS).
∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12 ∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又AE=AE，
易证△AEG ≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD；
(2)在(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立．
证明：如图2，延长CB至M，使BM=DF，


∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，
∴∠1=∠D，
在△ABM与△ADF中，BM=DF∠1=∠DAB=AD
∴△ABM ≌△ADF(SAS).                                                                         
∴AF=AM，∠2=∠3．
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠2+∠4=12∠BAD=∠EAF．
∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．
在△AME与△AFE中，AM=AF∠MAE=∠EAFAE=AE
∴△AME ≌△AFE(SAS).
∴EF=ME，即EF=BE+BM．
∴EF=BE+DF．
(3)结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE-FD．
证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．


∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，BG=DF∠B=∠ADFAB=AD
∴△ABG ≌△ADF(SAS).
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE=AE，
易证△AEG ≌△AEF．
∴EG=EF∵EG=BE-BG
∴EF=BE-FD．
【解析】本题考查了四边形综合题，三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．
(1)可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB到G，使BG=DF，连接AG.目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF转换成GE，那么这样EF=BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的关键．三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE，我们就要通过其他的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BG=DF，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD.由此就构成了三角形ABE和AEF全等的所有条件(SAS)，那么就能得出EF=GE了．
(2)思路和作辅助线的方法与(1)完全一样，只不过证明三角形ABG和ADF全等中，证明∠ABG=∠ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与(1)的结果完全一样．
(3)按照(1)的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG.根据(1)的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.所以(1)的结论在(3)的条件下是不成立的．

12. 如图1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M，连接CM．
(1)求证：BE=AD；
(2)用含α的式子表示∠AMB的度数(直接写出结果)；
(3)当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．

【答案】解：(1)如图1，∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴BE=AD；
(2)如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-α，
∴∠BAM+∠ABM=180°-α，
∴△ABM中，
∠AMB=180°-(180°-α)=α；
(3)△CPQ为等腰直角三角形．
证明：如图2，由(1)可得，BE=AD，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP=BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
CA=CB∠CAP=∠CBQAP=BQ，
∴△ACP≌△BCQ(SAS)，
∴CP=CQ，且∠ACP=∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB=90°，
∴∠BCQ+∠PCB=90°，
∴∠PCQ=90°，
∴△CPQ为等腰直角三角形．
【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
(1)由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE；
(2)根据△ACD≌△BCE，得出∠CAD=∠CBE，再根据三角形内角和即可得到∠AMB=α；
(3)先根据SAS判定△ACP≌△BCQ，再根据全等三角形的性质，得出CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，最后根据∠ACB=90°即可得到∠PCQ=90°，进而得到△PCQ为等腰直角三角形．

13. 如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D．

(1)若设AP=x，则PC=_________，QC=_________；(用含x的式子表示)
(2)当∠BQD=30°时，求AP的长；
(3)在运动过程中线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由．
【答案】(1)6-x；6+x；
(2)解：∵在QCP中，∵∠BQD=30°，∠C=60°
∴∠QPC=90°
∴PC= 12QC，
即6-x= 12(6+x)，
解得x=2，
∴AP=2；
(3)解：当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，

又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
∴在△APE和△BQF中，
∠AEP=∠BFQ∠A=∠FBQAP=BQ，
∴△APE≌△BQF(AAS)，
∴AE=BF，PE=QF
∵∠DFQ=∠DEP=90°，
∠QDF=∠EDPPE=QF∴△QFD≌△PEDAAS,∴DF=DE=12EF
∵EF=BE+BF=EB+AE=AB，
∴DE= 12AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【解析】
【分析】
本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．
(1)由△ABC是边长为6的等边三角形，AC=BC=6，设AP=x，则PC=6-x，QC=6+x；
(2)由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC= 12QC，即6-x= 12(6+x)，求出x的值即可；
(3)作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由∠DFQ=∠DEP=90°，∠QDF=∠EDP，PE=QF，再证明△QFD≌△PED，进而可得出EF=BE+BF=EB+AE=AB，DE= 12AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变
【解答】
解：(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形，
设AP=x，则PC=6-x，QB=x，
∴QC=QB+BC=6+x，
故答案为：6-x；6+x；
(2)见答案；
(3)见答案．  
14. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，A(-3,0)，B(2,0)，C为y轴正半轴上一点，且BC=4．

(1)求∠OBC的度数；
(2)如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中：
①若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，已知△PQB是直角三角形，求t的值；
②若点P，Q的运动路程分别是a，b，已知△PQB是等腰三角形时，求a与b满足的数量关系．
【答案】解：(1)如图1：

在OA上取一点D，使得OD=OB，连接CD，则BD=2OB=4，
∵CO⊥BD，
∴CD=CB=4，
∴CD=CB=BD，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°；
(2)①由题意，得AP=2t，BQ=t，
∵A(-3,0)，B(2,0)，
∴AB=5，
∴PB=5-2t，
∵∠OBC=60°≠90°，
∴下面分两种情况进行讨论，
Ⅰ)如图2：

当∠PQB=90°时，
∵∠OBC=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴BQ=12PB，
∴t=12(5-2t)，
解得：t=54；
Ⅱ)当∠QPB=90°时，如图3：

∵∠OBC=60°，
∴∠BQP=30°，
∴PB=12BQ，
∴5-2t=12t，
解得：t=2；
综上，当t=54或2时，△PQB是直角三角形；
②如图4：

当a5时，

∵AP=a，BQ=b，
∴BP=a-5，
∵△PQB是等腰三角形，∠QBP=120°，
∴BP=BQ，
∴a-5=b，
即a-b=5．
【解析】本题是坐标与图形，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质等，根据题意作出图形是解题的关键．
(1)在OA上取一点D，使得OD=OB，根据等边三角形的性质进行解答即可；
(2)①分∠PQB=90°时和∠QPB=90°时两种情况进行解答即可；
②分a5两种情况，利用等腰三角形和等边三角形的性质进行解答即可．

15. 如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110∘，∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC，AD．
(1)当α=150∘时，试判断△AOD的形状，并说明理由;
(2)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形?
【答案】解：(1)△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△ABC和△OCD是等边三角形，
∴BC=AC，OC=CD，∠ACB=∠DCO=∠ODC=60∘．
∴∠BCO=∠ACD．
在△BOC和△ADC中，
OC=DC,∠BCO=∠ACD,BC=AC,
∴△BOC≌△ADC(SAS)．
∴∠BOC=∠ADC．
∵∠BOC=α=150∘，
∴∠ADC=150∘．
又∵∠ODC=60∘，
∴∠ADO=150∘-60∘=90∘．
∴△AOD是直角三角形．
(2)∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
则a+b=60∘，b+c=180∘-110∘=70∘，c+d=60∘，
∴a+d=50∘，即∠OAD=50∘．
分三种情况讨论：
 ①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO=(180∘-50∘)÷2=65∘，
∴α=360∘-110∘-65∘-60∘=125∘;
 ②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO=50∘，
∴∠AOD=180∘-50∘-50∘=80∘．
∴α=360∘-110∘-80∘-60∘=110∘;
 ③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD=50∘，
∴α=360∘-110∘-50∘-60∘=140∘．
综上所述，当α为110∘或125∘或140∘时，△AOD是等腰三角形．
【解析】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，掌握相关的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
(1)由等边三角形的判定可证△OCD是等边三角形，可得∠COD=∠CDO=60°，再证出△BOC≌△ADC，求出∠ADO的度数，即可解答．
(2)先求出∠OAD，∠ADO的度数，分三种情况讨论，根据等腰三角形的判定定理计算即可．

16. (1)如下图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C.求证：AC=AB+BD；
(2)如下图，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED，∠DCB=2∠B，∠AED=∠C，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．
     

【答案】(1)证明：在AC上截取AE=AB，连接DE，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
在△ABD和△AED中，AE=AB ∠BAD=∠DAC AD=AD
∴△ABD≌△AED(SAS)，
∴∠B=∠AED，BD=DE，又∠B=2∠C，
∴∠AED=2∠C，
而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，
∴∠C=∠EDC，
∴DE=CE，
∴AB+BD=AE+CE=AC．
(2)解：DC、CE、BE之间的数量关系是BE=DC+CE，
证明：在EB上截取BF，使得BF=AF，

∴∠B=∠FAB,即ΔABF为等腰三角形∴∠AFE=2∠B,∵∠DCB=2∠B∴∠AFE=∠DCB
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠AEF+∠DEC+∠AED=180°，
且∠AED=∠C，
∴∠EDC=∠AEF；
在△AEF和△EDC中，
∠AFE=∠DCB∠AEF=∠EDCAE=DE,∴△AEF≌△EDC(AAS),
∴EC=AF=BF，DC=EF，
∴BE=BF+EF=CE+CD．
【解析】(1)本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．
在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，再证明ED=EC即可．
(2)本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．在EB上截取EF，使得EF=DC，连接AF，求出∠AEB=∠CDE，根据全等三角形的判定得出△AEF≌△EDC，根据全等三角形的性质得出EC=AF∠AFE=∠C=2∠B，求出∠ABF=∠BAF，推出BF=AF，即可得出答案．

17. (1)操作发现：如图(a)所示，D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方作等边三角形DCF，连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
(2)类比猜想：如图(b)所示，当动点D运动至等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？(直接写出结论)
(3)深入探究
①如图(c)所示，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF'，连接AF、BF'，探究AF、BF'与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
②如图(d)所示，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图(c)相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．

【答案】解：(1)AF=BD；
证明如下：∵△ABC是等边三角形(已知)，
∴BC=AC，∠BCA=60°(等边三角形的性质)；
同理知，DC=CF，∠DCF=60°；
∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+DCA，即∠BCD=∠ACF；
在△BCD和△ACF中，
BC=AC∠BCD=∠ACFDC=FC，
∴△BCD≌△ACF(SAS)，
∴BD=AF(全等三角形的对应边相等)
(2)AF=BD仍然成立；
(3)①.AF+BF'=AB；
证明如下：
由(1)知，△BCD≌△ACF(SAS)，则BD=AF；
同理△BCF'≌△ACD(SAS)，则BF'=AD，
∴AF+BF'=BD+AD=AB；
②.①中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF'；
证明如下：在△BCF'和△ACD中，
BC=AC∠BCF'=∠ACDF'C=DC，
∴△BCF’≌△ACF(SAS)，
∴BF’=AD(全等三角形的对应边相等)，
又由(2)知，AF=BD；
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF’，即AF=AB+BF’．
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质.等边三角形的三务边都相等，三个内角都是600．
(1)根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD ；
(2)通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD；
(3)①.AF+BF'=AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF(SAS)的对应边BD=AF；同理△BCF’≌△ACD(SAS)，则BF’=AD，所以，AF+BF'=AB；
②.①中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF'；通过证明△BCF’≌△ACD(SAS)，则BF’=AD；再结合(2)中的结论即可得AF=AB+BF’. 
【解答】
解：(1)见答案；
(2)AF=BD
证明：∵∠BCA=∠DCF， 
∴∠BCD=∠ACF， 
在△BCD和△ACF中， 
BC=AC∠BCD=∠ACFDC=FC， 
∴△BCD≌△ACF(SAS)， 
∴BD=AF； 
(3)见答案．
  
18. 已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，
(1)如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=______；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=______；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=______；
(2)如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=______(用含α的式子表示)；
(3)将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上)，变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．

【答案】120°  90°  60°  180°-α
【解析】解：(1)如图1，CA=CD，∠ACD=60°，
所以△ACD是等边三角形．
∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
所以△ECB是等边三角形．
∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD．
∵AC=DC，CE=BC，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC=∠BDC．
∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．
如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠AEC=∠DBC，
又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，
∴∠EFD=90°．
∴∠AFB=90°．
如图3，∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD-∠DCE=∠BCE-∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
又∵CA=CD，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC=∠BDC．
∵∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB=180°-(180-∠ACD)=120°，
∴∠FAB+∠FBA=120°．
∴∠AFB=60°．
故填120°，90°，60°．

(2)∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
∴∠CAE=∠CDB．
∴∠DFA=∠ACD．
∴∠AFB=180°-∠DFA=180°-∠ACD=180°-α．

(3)∠AFB=180°-α；
证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB，
则△ACE≌△DCB(SAS)．
则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α．
∠AFB=180°-∠EFB=180°-α．
(1)如图1，首先证明△BCD≌△ECA，得出∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数．
如图2，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出∠AFB=90°．
如图3，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB得到∠FAB+∠FBA=120°，进而求出∠AFB=60°．
(2)由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°-α．
(3)由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-α．
本题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识．