考点10.2　二项式定理（解析版）练习题

10.2　二项式定理

【基础集训】

考点　二项式定理

1.在二项式的展开式中x的系数为(　　)

A.640　　　B.-640　　　C.80　　　D.-80

【答案】　A

2.若的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是(　　)

A.第四项　　　　　B.第三项　　　

C.第二项　　　　　D.第一项

【答案】　B

3.将多项式a6x6+a5x5+…+a1x+a0分解因式得(x-2)(x+2)5,则a5=(　　)

A.8　　　B.10　　　C.12　　　D.1

【答案】　A

4.在的展开式中,x的幂指数不是整数的项共有(　　)

A.13项　　　　　B.14项　　　

C.15项　　　　　D.16项

【答案】　C

5.已知的二项式系数之和等于128,那么其展开式中含项的系数是(　　)

A.-84　　　B.-14　　　C.14　　　D.84

【答案】　A

6.若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=(　　)

A.0　　　B.1　　　C.32　　　D.-1

【答案】　A

7.的展开式中各项系数的和为256,则该展开式的二项式系数的最大值为　　　　. 

【答案】　6

8.在的展开式中,常数项为　　　　. 

【答案】　-5

【综合集训】

考法一　求二项展开式中特定项或特定项的系数问题

1.设a=2,则的展开式中的常数项为(　　)

A.560　　　B.1 120　　　C.2 240　　　D.4 480

【答案】　B

2.已知(1-ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=(　　)

A.1　　　B.2　　　C.-1　　　D.-2

【答案】　A

3.(1+x2)·的展开式中,常数项为(　　)

A.-15　　　B.16　　　C.15　　　D.-16

【答案】　B

4.已知的展开式中含的项的系数为30,则a=(　　)

A.　　　B.-　　　C.6　　　D.-6

【答案】　D

考法二　求二项式系数和与展开式中各项系数和的问题

5.已知的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为(　　)

A.5　　　B.40　　　C.20　　　D.10

【答案】　B

6.多项式的展开式中各项系数的和为3,则该展开式中x3的系数是(　　)

A.-184　　　B.-84　　　C.-40　　　D.320

【答案】　A

7.(2x-3)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为(　　)

A.-73　　　B.-61　　　C.-55　　　D.-63

【答案】　A

8.在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64,则x3的系数为(　　)

A.15　　　B.45　　　C.135　　　D.405

【答案】　C

题组一

考点　二项式定理

1.(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为(　　)

A.12　　　B.16　　　C.20　　　D.24

【答案】　A

2.的展开式中x4的系数为(　　)

A.10　　　B.20　　　C.40　　　D.80

【答案】　C

3.(1+x)6展开式中x2的系数为(　　)

A.15　　　B.20　　　C.30　　　D.35

【答案】　C

4.(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)

A.-80　　　B.-40　　　C.40　　　D.80

【答案】　C

5.(2x+)5的展开式中,x3的系数是　　　　.(用数字填写答案) 

【答案】　10

6.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=　　　　. 

【答案】　3

7.的展开式中的常数项为　　　　. 

【答案】　28

8.在二项式(+x)9的展开式中,常数项是　　　　,系数为有理数的项的个数是　　　　. 

【答案】　16;5

9.在的展开式中,x2的系数为　　　　. 

【答案】　

10.二项式的展开式的常数项是　　　　. 

【答案】　7

11.已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=　　　　. 

【答案】　4

12.已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=　　　　,a5=　　　　. 

【答案】　16;4

13.若的展开式中x5的系数是-80,则实数a=　　　　. 

【答案】　-2

14.的展开式中x5的系数是　　　　.(用数字填写答案) 

【答案】　35

15.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n≥4,n∈N*,已知=2a2a4.

(1)求n的值;

(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2-3b2的值.

【解析】　本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识,考查分析问题能力与运算求解能力.

(1)因为(1+x)n=+x+x2+…+xn,n≥4,

所以a2==,a3==,

a4==.

因为=2a2a4,

所以=2××.

解得n=5.

(2)由(1)知,n=5.

(1+)n=(1+)5

=++()2+()3+()4+()5

=a+b.

解法一:

因为a,b∈N*,所以a=+3+9=76,b=+3+9=44,

从而a2-3b2=762-3×442=-32.

解法二:

(1-)5=+(-)+(-)2+(-)3+(-)4+(-)5=-+()2-()3+()4-()5.

因为a,b∈N*,所以(1-)5=a-b.

因此a2-3b2=(a+b)(a-b)=(1+)5×(1-)5=(-2)5=-32.

题组二

考点　二项式定理

1.的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为(　　)

A.-40　　　B.-20　　　C.20　　　D.40

【答案】　D

2.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为　　　　.(用数字填写答案) 

【答案】　-20

3.(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=　　　　.(用数字填写答案) 

【答案】　

模拟预测

一、单项选择题(每题5分,共45分)

1.的展开式中x4的系数是(　　)

A.-210　　　B.-120　　　C.120　　　D.210

【答案】　B

2.若a=2,则的展开式中的常数项是(　　)

A.-160　　　B.160　　　C.-20　　　D.20

【答案】　A

3.已知(2x2+3x+1)·的展开式中各项系数之和为0,则该展开式中的常数项是(　　)

A.-10　　　B.-7　　　C.10　　　D.9

【答案】　D

4.(2x-1)8的展开式中x3的系数为(　　)

A.-448　　　B.-56　　　C.56　　　D.448

【答案】　A

5.若(ax-1)的展开式中含项的系数为21,则实数a的值为(　　)

A.3　　　B.-3　　　C.2　　　D.-2

【答案】　A

6.设a∈R,若与的二项展开式中的常数项相等,则a=(　　)

A.4　　　B.-4　　　C.2　　　D.-2

【答案】　A

7.(2-x3)(x+a)5的展开式的各项系数和为32,则该展开式中x4的系数是(　　)

A.5　　　B.10　　　C.15　　　D.20

【答案】　A

8.若(x-2)5-3x4=a0+a1(x-3)+a2(x-3)2+a3(x-3)3+a4(x-3)4+a5(x-3)5,则a3=(　　)

A.-70　　　B.28　　　C.-26　　　D.40

【答案】　C

9.在的展开式中的x3的系数为(　　)

A.210　　　B.-210　　　C.-910　　　D.280

【答案】　C

二、多项选择题(每题5分,共10分)

10.已知二项式(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,则下列说法正确的是(　　)

A.所有项的系数之和为1

B.所有项的系数之和为-1

C.含x3的项的系数为240

D.含x3的项的系数为-240

【答案】　AC

11.对于二项式(n∈N*),以下判断正确的有(　　)

A.存在n∈N*,展开式中有常数项

B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项

C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项

D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项

【答案】　AD

三、填空题(每题5分,共15分)

12.(a+x)(1+)5的展开式中x2项的系数是15,则展开式的所有项系数的和是　　　　. 

【答案】　64

13.设(1-ax)2 018=a0+a1x+a2x2+…+a2 018x2 018,若a1+2a2+3a3+…+2 018a2 018=2 018a(a≠0),则实数a=　　　　. 

【答案】　2

14.(x+2)(x+1)6的展开式中,x3项的系数为　　　　;所有项系数的和为　　　　. 

【答案】　55;192

四、解答题(共10分)

15.已知的展开式中,前三项的系数成等差数列.

(1)求n;

(2)求展开式中的有理项;

(3)求展开式中系数最大的项.

【解析】　(1)由二项展开式知,前三项的系数分别为,,,

由已知得2×=+,

解得n=8(n=1舍去).

(2)的展开式的通项Tr+1=()8-r·=2-r(r=0,1,…,8),

要求有理项,则4-必为整数,

即r=0,4,8,共3项,这3项分别是T1=x4,T5=x,T9=.

(3)设第r+1项的系数ar+1最大,则ar+1=2-r,

则==≥1,

==≥1,解得2≤r≤3.

当r=2时,a3=2-2=7,当r=3时,a4=2-3=7,

因此,第3项和第4项的系数最大,

故系数最大的项为T3=7,T4=7.