考点9.4　双曲线（解析版）练习题

9.4　双曲线

【基础集训】

考点一　双曲线的定义和标准方程

1.设P是双曲线-=1上一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于　(　　)

A.1　　　　　B.17

C.1或17　　　　　D.以上均不对

【 答案】　B

2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为(　　)

A.-=1　　　　　B.-=1　　　

C.-y2=1　　　　　D.x2-=1

【 答案】　D

3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(　　)

A.-=1　　　　　B.-=1                     C.-=1　　　　　D.-=1

【 答案】　A

4.若实数k满足0<k<5,则曲线-=1与曲线-=1的(　　)

A.实半轴长相等　　　　　B.虚半轴长相等                   

C.离心率相等　　　　　D.焦距相等

【 答案】　D

考点二　双曲线的几何性质

5.已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=(　　)

A.2　　　B.　　　C.　　　D.1

【 答案】　D

6.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于(　　)

A.2　　　B.2　　　C.4　　　D.4

【 答案】　C

7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(　　)

A.y=±x　　　　　B.y=±x

C.y=±x　　　　　D.y=±x

【 答案】　C

8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=　　　;b=　　　　. 

【 答案】　1;2

【综合集训】

考法一　求双曲线方程的方法

1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,一个焦点坐标为(2,0),则双曲线C的方程为(　　)

A.-=1　　　　　B.-=1

C.x2-=1　　　　　D.-y2=1

【 答案】　C

2.已知F1,F2分别为双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点.过右焦点F2的直线l:x+y=c在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P,与y轴正半轴交于点Q,且点P为QF2的中点,△QF1F2的面积为4,则双曲线E的方程为(　　)

A.-y2=1　　　B.-=1　　　C.-=1　　　D.-=1

【 答案】　B

3.已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右顶点,点M在双曲线右支上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则该双曲线的方程为　(　　)

A.x2-=1　　　　　B.x2-y2=1

C.x2-=1　　　　　D.x2-=1

【 答案】　B

考法二　求双曲线的离心率(或取值范围)的方法

4.已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为(　　)

A.　　　B.4　　　C.　　　D.

【 答案】　A

5.如图,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线与C的渐近线交于P点,若等腰△PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距,则C的离心率为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【 答案】　C

6.若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=2x无交点,则离心率e的取值范围是(　　)

A.(1,2)　　　　　B.(1,2]　　　

C.(1,)　　　　　D.(1,]

【 答案】　D

题组一

考点一　双曲线的定义和标准方程

1.已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(　　)

A.(-1,3)　　　B.(-1,)　　　C.(0,3)　　　D.(0,)

【 答案】　A

2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(　　)

A.-=1　　　　　B.-=1

C.-=1　　　　　D.-=1

【 答案】　B

3.已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为(　　)

A.-=1　　　　　B.-=1

C.-=1　　　　　D.-=1

【 答案】　D

4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为(　　)

A.-=1　　　　　B.-=1

C.-=1　　　　　D.-=1

【 答案】　D

考点二　双曲线的几何性质

5.渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是(　　)

A.　　　B.1　　　C.　　　D.2

【 答案】　C

6.双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(　　)

A.　　　B.　　　C.2　　　D.3

【 答案】　A

7.设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(　　)

A.　　　B.　　　C.2　　　D.

【 答案】　A

8.已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(　　)

A.　　　B.3　　　C.2　　　D.4

【 答案】　B

9.双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(　　)

A.y=±x　　　B.y=±x　　　C.y=±x　　　D.y=±x

【 答案】　A

10.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为(　　)

A.2　　　B.　　　C.　　　D.

【 答案】　A

11.已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.2

【 答案】　A

12.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是(　　)

A.　　　　　B.

C.　　　　　D.

【 答案】　A

13.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为(　　)

A.　　　B.2　　　C.　　　D.

【 答案】　D

14.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为(　　)

A.　　　B.　　　C.2　　　D.

【 答案】　D

15.已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则(　　)

A.m>n且e1e2>1　　　　　B.m>n且e1e2<1                C.m<n且e1e2>1　　　　　D.m<n且e1e2<1

【 答案】　A

16.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,·=0,则C的离心率为　　　　. 

【 答案】　2

17.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值是　　　　. 

【 答案】　2

18.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为　　　　. 

【 答案】　y=±x

题组二

考点一　双曲线的定义和标准方程

1.已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为(　　)

A.-=1　　　　　B.-=1

C.-=1　　　　　D.-=1

【 答案】　C

2.已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【 答案】　A

考点二　双曲线的几何性质

3.双曲线-y2=1的焦点坐标是(　　)

A.(-,0),(,0)　　　　　B.(-2,0),(2,0)             

C.(0,-),(0,)　　　　　D.(0,-2),(0,2)

【 答案】　B

4.过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=(　　)

A.　　　B.2　　　C.6　　　D.4

【 答案】　D

5.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则(　　)

A.对任意的a,b,e1>e2

B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2

C.对任意的a,b,e1<e2

D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2

【 答案】　D

6.设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(　　)

A.(-1,0)∪(0,1)　　　　　B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-,0)∪(0,)　　　　　D.(-∞,-)∪(,+∞)

【 答案】　A

7.已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)

A.　　　B.3　　　C.m　　　D.3m

【 答案】　A

8.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为(　　)

A.　　　B.2　　　C.4　　　D.8

【 答案】　C

9.若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=　　　　. 

【 答案】　2

10.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是　　　　. 

【 答案】　2

11.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是　　　　. 

【 答案】　2

12.设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为　　　　. 

【 答案】　

13.平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为　　　　. 

【 答案】　

14.如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).

(1)求双曲线C的方程;

(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.

证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.

解析　(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,

直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.

又直线OA的方程为y=x,

则A,kAB==.

又因为AB⊥OB,所以·=-1,

解得a2=3,

故双曲线C的方程为-y2=1.

(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),

即y=.

因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;直线l与直线x=的交点为N,

则==

=·.

因为P(x0,y0)是C上一点,

则-=1,代入上式得

=·=·=,

所求定值为==.

模拟预测

一、单项选择题(每题5分,共50分)

1.已知双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的焦点坐标为(　　)

A.(±,0)　　　B.(±,0)　　　C.(0,±)　　　D.(0,±)

【 答案】　D

2.已知双曲线C:-=1的离心率为,则实数a的值为(　　)

A.1　　　B.-2　　　C.1或-2　　　D.-1

【 答案】　C

3.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线C的离心率为(　　)

A.2　　　B.　　　C.　　　D.

【 答案】　B

4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为直线l1,l2,经过右焦点F且垂直于l1的直线l分别交l1,l2于A,B两点,且=2,则该双曲线的离心率为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【 答案】　A

5.双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),左,右焦点分别为F1,F2,P为C右支上的一点,·=0,以O为圆心,a为半径的圆与PF1相切,则双曲线的离心率为(　　)

A.　　　B.　　　C.2　　　D.

【 答案】　A

6.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的倍,则双曲线C的渐近线方程为　(　　)

A.y=±2x　　　B.y=±x　　　C.y=±x　　　D.y=±x

【 答案】　C

7.已知F1,F2分别是双曲线C:y2-x2=1的上、下焦点,P是其一条渐近线上的一点,且以F1F2为直径的圆经过点P,则△PF1F2的面积为(　　)

A.　　　B.1　　　C.　　　D.2

【 答案】　C

8.已知P是双曲线C:-=1(a>0,b>0)左支上一点,F1、F2是双曲线的左、右焦点,且PF1⊥PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点(如图),点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是(　　)

A.　　　B.　　　C.2　　　D.

【 答案】　D

9.已知双曲线-=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为　(　　)

A.4+　　　B.4(1+)　　　C.2(+)　　　D.+3

【 答案】　B

10.已知双曲线C:x2-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF1为等边三角形,则b的所有取值的积为(　　)

A.　　　B.2　　　C.　　　D.4

【 答案】　B

二、多项选择题(每题5分,共20分)

11.已知双曲线C过点(3,)且渐近线为y=±x,则下列结论正确的是(　　)

A.C的方程为-y2=1

B.C的离心率为

C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点

D.直线x-y-1=0与C有两个公共点

【 答案】　AC

12.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,则有(　　)

A.渐近线方程为y=±x　　　　　B.渐近线方程为y=±x

C.∠MAN=60°　　　　　D.∠MAN=120°

【 答案】　BC

13.已知平面内两个定点M(3,0)和N(-3,0),P是动点,且直线PM,PN的斜率乘积为常数a(a≠0),设点P的轨迹为C,则(　　)

A.存在常数a(a≠0),使C上所有点到两点(-4,0),(4,0)距离之和为定值

B.存在常数a(a≠0),使C上所有点到两点(0,-4),(0,4)距离之和为定值

C.不存在常数a(a≠0),使C上所有点到两点(-4,0),(4,0)距离之差的绝对值为定值

D.不存在常数a(a≠0),使C上所有点到两点(0,-4),(0,4)距离之差的绝对值为定值

【 答案】　BD

14.△ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,若圆锥曲线E以A,B为焦点,并经过顶点C,则圆锥曲线E的离心率可以是(　　)

A.-1　　　B.　　　C.　　　D.+1

【 答案】　ABD

三、填空题(每题5分,共20分)

15.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为3x+y=0,则双曲线的离心率为　　　　. 

【 答案】　

16.已知F1、F2分别是双曲线x2-=1(b>0)的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°,延长AF2交双曲线的右支于点B,则△F1AB的面积等于　　　　. 

【 答案】　4

17.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为　　　　　　　. 

【 答案】　x2-=1(x<0)

18.已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2的内切圆与边AB,BF2,AF2分别相切于点M,N,P,且AP的长为4,则a的值为　　　　. 

【 答案】　2