专题02 数和式的运算之比例、齐次式与二次根式-2022年初高中数学无忧衔接课程

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专题02 数和式的运算之比例、齐次式与二次根式一、知识点精讲（一）比例与齐次式我们在式的运算中,常常会碰到比例关系或齐次等式、齐次分式,这就要求我们掌握比例关系具有哪些性质和它的一般转化方向;齐次式常常会同除以某一个数,转化过程在本质上起到消元作用,从而会出现整体思想.二、典例精析【典例1】已知三角形的三边长之比为3∶4∶5.求证:此三角形为直角三角形.    【典例2】 已知△ABC 中,有,求证：   【典例3】已知求证：（1）（2）（3）    【典例4】已知：,且，求    【典例5】已知：，求的值.     【典例6】已知（1）求的值（2）求证：       （二）二次根式　　一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ，等是无理式，而，，等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．  一般地，与，与，与互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式的意义（1）（2）（3）（4）【典例7】将下列式子化为最简二次根式：（1）；    （2）；   （3）．         【典例8】　计算：．      【典例9】　试比较下列各组数的大小：（1）和；  （2）和.     【典例10】化简：．      【典例11】  化简：（1）；         （2）．    【典例12】  已知，求的值 ．     【典例13】化简：      三、对点精练1.已知:,则­­­__________________.    2.若则___________________    3.已知三角形的三边之比为5∶12∶13，求证:此三角形为直角三角形. 4.已知：求的值.    5.已知求的值.   6.已知：（1）（2）的取值范围.     7.已知：（1）（2）的取值范围.      8. 已知求的值.     9. 已知，化简：.    10. 已知，求的值.    11.计算：   12.化简下列各式（1）（2）