2021年江西省上饶市高考数学一模试卷（理科）人教A版

这是一份2021年江西省上饶市高考数学一模试卷（理科）人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，本卷包括必考题和选考题两个部分，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|lg2(x−1)>0}，则A∩B＝（ ）
A.(−∞, 2)B.[1, 2)C.(1, 2)D.(2, 3]

2. 设复数z＝，则复数z的虚部是（ ）
A.iB.C.-iD.-

3. 若a>b，则（ ）
A.ln(a−b)>0B.3a<3bC.a3−b3>0D.|a|>|b|

4. 已知F为抛物线C:y2＝4x的焦点，过点F的直线I交抛物线C于A，B两点，若|AB|＝6，则线段AB的中点M到抛物线C的准线的距离为（ ）
A.3B.4C.5D.6

5. 埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，胡夫金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，胡夫金字塔现高约为136.5米，则与建成时比较顶端约剥落了（ ）
A.8米B.10米C.12米D.14米

6. 根据如表样本数据，得到回归直线方程＝x+，则（ ）
A.>0，>0B.>0，<0C.<0，>0D.<0，<0

7. 函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<）的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin(3x−）的图象，只需将f(x)的图象（ ）

A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度

8. 点P是边长为2的正△ABC的边BC上一点，且＝，则•（+）＝（ ）
A.2B.4C.6D.8

9. 已知α，β均为锐角，cs(α+β)＝-，sin(β+）＝，则cs(α−）＝（ ）
A.B.-C.D.或

10. 在三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的正三角形，AB＝，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A.21πB.6πC.24πD.15π

11. 已知圆C：(x−2)2+y2＝1，直线l:y＝kx−2，若直线l上存在点P，过点P引圆C的两条切线l1，l2，使得l1⊥l2，则实数k的取值范围是（ ）
A.[2−，2+]B.[0，2−）∪(2+，+∞)
C.(−∞, 0)D.[0, +∞)

12. 已知函数f(x)＝aex+x(lna+x−lnx)，若不等式f(x)≥x在x∈(0, +∞)上恒成立，则实数a的取值范围（ ）
A.[1, +∞)B.[，+∞)C.[，+∞)D.[，+∞)
二、本卷包括必考题和选考题两个部分。第13题-第21题为必考题，每个考生都必须作答。第22题-第23题为选考题，考生根据要求作答。填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上）.

(x−）​4的展开式的常数项是________（用数字作答）．

已知实数x，y满足约束条件，则z＝x−2y的最小值为________．

已知点F1、F2分别为双曲线-＝1(a>0, b>0)的左、右焦点，M(x0, y0)(x0>0, y0>0)是该双曲线的渐近线上一点，且满足∠F1MF2＝90∘，线段F2M的延长线交y轴于N点，若|MF2|:|MN＝|3:2，则此双曲线的离心率为________．

已知△ABC的外心为O，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2++3b2−2a2＝0，则csB的最小值为________．
三、解答题：本大题共5小题。共70分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤.

已知公比q大于1的等比数列{an}满足a1+a2＝6，a3＝8．
（1）求{an}的通项公式；

（2）令bn＝lg2，求数列{}的前n项和Tn．

四棱锥P−ABCD中，PC⊥面ABCD，直角梯形ABCD中，∠B＝∠C＝90∘，AB＝4，CD＝1，PC＝4，点M在PB上且PB＝4PM．PB与平面PCD所成角为45∘．

（1）求证：CM // 面PAD；

（2）求平面BMC与平面AMC所成角的余弦值．

上饶市正在创建全国文明城市，我们简称创文．全国文明城市是极具价值的无形资产和重要城市品牌．创文期间，将有创文检查人员到学校随机找学生进行提问，被提问者之间回答问题相互独立、互不影响．对每位学生提问时，创文检查人员将从规定的5个问题中随机抽取2个问题进行提问．某日，创文检查人员来到A校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只能答对这规定5个问题中的3个，乙能答对其中的4个，而丙能全部答对这5个问题．计一个问题答对加10分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分60分，达到50分以上（含5时该学校为优秀．
（1）求甲、乙两位同学共答对2个问题的概率；

（2）设随机变量X表示甲、乙、丙三位同学共答对的问题总数，求X的分布列及数学期望，并求出A校为优秀的概率．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1(a>b>0)的离心率为且短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l与椭圆C交于M，N两点，P(0, 1)，直线PM与直线PN的斜率之积为，证明直线l过定点并求出该定点坐标．

已知f(x)＝ae2x−xex．
（1）若a＝，讨论f(x)的单调性；

（2）∀x∈R，f(x)≤−，求实数a的最小值．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2csα，y=2+2sinα（α为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程ρ=21+3sin2θ．
(1)求曲线C2的普通方程；

(2)设A是曲线C1上的动点，B是曲线C2上的动点，求|AB|的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]

设函数f(x)＝|x+2|+|2x−1|．
（1）求f(x)的最小值；

（2）若集合{x∈R|f(x)+ax−1<0}≠⌀，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2021年江西省上饶市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
D
【考点】
复数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
C
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
取a＝0，b＝−1，利用特殊值法可得正确选项．
【解答】
取a＝0，b＝−1，则
ln(a−b)＝ln1＝0，排除A；
3a=30=1>3b=3−1=13，排除B；
a3＝03>(−1)3＝−1＝b3，故C对；
|a|＝0<|−1|＝1＝b，排除D．
4.
【答案】
A
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
B
【考点】
棱锥的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
A
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
由函数f(x)的图象求出T、ω和φ的值，写出f(x)的解析式，再根据图象平移得出正确的选项．
【解答】
由函数f(x)＝sin(ωx+φ)的图象知，
＝-＝，解得T＝，
所以ω＝＝＝3；
又sin(3×+φ)＝−1，且|φ|<，
所以φ＝，
所以f(x)＝sin(3x+），
又函数g(x)＝sin(3x−）＝sin[3(x−）+]，
所以将函数f(x)的图象向右平移个单位即可．
8.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
C
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
D
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
棱锥的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
A
【考点】
直线与圆的位置关系
圆的切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、本卷包括必考题和选考题两个部分。第13题-第21题为必考题，每个考生都必须作答。第22题-第23题为选考题，考生根据要求作答。填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上）.
【答案】
−8
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
−2
【考点】
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题：本大题共5小题。共70分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤.
【答案】
由题设可得：，解得：a1＝q＝8，
∴ an＝2n；
由（1）知：bn＝lg2＝2lg2an＝5n，
∴ ＝＝(-)，
∴ Tn＝(-+-+-+•••+-(5−．
【考点】
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
证明：在AB上取点N，使AN＝CD＝1，
所以四边形ANCD为平行四边形，所以CN // AD，
又因为PB＝4PM，AB＝3AN，
因为MN∩CN＝N，MN⊂平面MNC，
PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，
所以平面MNC // 平面PAD，又因为CM⊂平面 MNC，
所以CM // 平面PAD．
由题意知CA、CD，
因为AB⊥平面PCB，所以AB⊥PB，
所以∠PBC＝45∘，所以BC＝PC＝AB＝4，
建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下：
C(0, 7, 0),4, 3),0, 3),
＝(7, 4, 0),,6, 3),
设平面AMC的法向量为＝(x, y,
，令x＝−3,,3, 2),
平面BMC的法向量为＝(0, 1,
故平面BMC与平面AMC所成角的余弦值为＝＝．
【考点】
二面角的平面角及求法
直线与平面平行
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
记“甲、乙两位同学共答对2个问题”为事件M，
则P(M)＝＝．
由题意可知随机变量X的可能取值为2，4，5，2，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝P(M)＝,
P(X＝5)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
所以随机变量X的分布列为：
数学期望E(X)＝6×+4×+6×＝，
A校为优秀的概率P(X＝5)+P(X＝6)＝+＝．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
由已知可得，，解得a＝．
∴ 椭圆方程为；
证明：
若直线l的斜率不存在，设M(s，则N(s，
此时，与题设矛盾．
设直线l:y＝kx+m，M(x7, y1)，N(x2, y4)，
联立，得(2k8+1)x2+8mkx+2m2−5＝0．
△＝8(8k2−m2+8)>0，
，，
∵ kPM⋅kPN＝＝
＝＝，
∴ ＝，
整理得：m5−3m+2＝3，解得m＝2或m＝1（舍去），
即直线过定点(7, 2)．
【考点】
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
a＝时，f(x)＝e2x−xex，定义域为(−∞, +∞)…6分
f′(x)＝e2x−(x+1)ex＝−ex(x+7−ex)，
令F(x)＝x+1−ex，则F′(x)＝1−ex，
当x∈(−∞, 6)时；
当x∈(0, +∞)时；
∴ F(x)在(−∞, 0)递增，+∞)递减，
∴ f′(x)≥5，
∴ f(x)在(−∞, +∞)上递增…4分
f′(x)＝2ae2x−(x+1)ex＝−ex[(x+1)−8ae2x]，
由∀x∈R，f(x)≤−，∴ a<0
令g(x)＝(x+1)−5ae2x，则g(x)在R上单调递增，由g(−1)＝−5ae−1>0，且当x<3时，
∴ g(2a−1)<7a−1+1−4a＝0，
∴ ∃x0∈(7a−1, −1)使得g(x4)＝0，且当x∈(−∞, x0)时，g(x)<8；
当x∈(x0, +∞)时，g(x)>0；
∴ f(x)在(−∞, x5)递增，在(x0, +∞)递减，
∴ f(x)max＝f(x0)＝a−x0，…8分
由g(x0)＝(x2+1)−2a＝0，由f(x)max≤−得x0-•≥，即≥，
由x0+1<6得：−5≤8，
∴ −3≤x7<−1，
设h(x)＝(−3≤x<)>6，
可知h(x)在[−3, 1)上递增​5，即a≥−e3，
∴ 实数a的最小值为−分
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
【答案】
解：(1)曲线C2的极坐标方程ρ=21+3sin2θ，
整理得ρ2(cs2θ+4sin2θ)=4，
即x2+4y2=4，
∴ 曲线C2的普通方程为x24+y2=1.
(2)∵曲线C1的参数方程为x=2csα，y=2+2sinα（α为参数），
转换为直角坐标方程为x2+y−22=4，
该曲线是以C0,2为圆心，2为半径的圆，
A是曲线C1上的动点，B是曲线C2上的动点，
所以|AB|max=|BC|max+2，
设B2csβ,sinβ，
所以|BC|=4cs2β+sinβ−22
=−3sinβ+232+283
所以，当sinβ=−23 时，|BC|max=283=2213，
|AB|max=|BC|max+2=2213+2.
【考点】
参数方程与普通方程的互化
椭圆的参数方程
圆的极坐标方程
【解析】
(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
(2)利用三角函数关系式的变换，二次函数性质的应用求出结果．
【解答】
解：(1)曲线C2的极坐标方程ρ=21+3sin2θ，
整理得ρ2(cs2θ+4sin2θ)=4，
即x2+4y2=4，
∴ 曲线C2的普通方程为x24+y2=1.
(2)∵曲线C1的参数方程为x=2csα，y=2+2sinα（α为参数），
转换为直角坐标方程为x2+y−22=4，
该曲线是以C0,2为圆心，2为半径的圆，
A是曲线C1上的动点，B是曲线C2上的动点，
所以|AB|max=|BC|max+2，
设B2csβ,sinβ，
所以|BC|=4cs2β+sinβ−22
=−3sinβ+232+283
所以，当sinβ=−23 时，|BC|max=283=2213，
|AB|max=|BC|max+2=2213+2.
[选修4-5：不等式选讲]
【答案】
f(x)＝|x+2|+|2x−5|＝，
当x≤−5时，f(x)∈[5；
当时；
当时，
．
∵ {x∈R|f(x)+ax−1<2}≠⌀，
∴ f(x)<−ax+1在R上有解，
由图，可得−a>3或−a<−8
∴ a的范围为(2, +∞)∪(−∞．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答x
3
4
5
6
7
8
y
−3.0
−2.0
0.5
−0.5
2.5
4.0
X
3
2
5
6
P