2020-2021学年安徽省芜湖市某校（上）1月模拟考试数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年安徽省芜湖市某校（上）1月模拟考试数学（文）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设复数z=1+3i2−i，则|z|=( )
A.3B.322C.2D.2

2. 设全集U=R，集合A=x|x−13−x≤0,B=x|2x<4，则集合∁UA∩B等于( )
A.1,2B.(2,3]C.1,3D.2,3

3. 已知命题p:∀x∈R，|x+1|−x>0；命题$q:``a > b"$是$``\ln a > \ln b"$的充要条件，则( )
A.¬p∨q为真命题B.p∨q为真命题
C.p∧q为真命题D.p∧¬q为假命题

4. 若a=lnπ,b=lg76,c=lg20.64，则（ ）
A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.b>c>a

5. 两千多年前，古希腊著名数学家欧几里得把素数（即质数）看作数学中的原子．长期以来，人们在研究素数的过程中取得了及其丰硕的成果，如哥德巴赫猜想、梅森素数等．对于如何判断一个大于1的自然数n0是否为素数，某数学爱好者设计了如图所示的程序框图，则空白的判断框内应填入的最优判断条件为( )

A.i≤k?B.i≤k−1？C.i≥k？D.i≥k−1？

6. 已知单位向量a→，b→满足|a→+2b→|=|a→−2b→|，则4a→+b→⋅a→−b→=( )
A.1B.2C.3D.4

7. 设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9等于( )
A.558B.578C.−18D.18

8. 函数f(x)=(x2−2x)ex的图象大致是( )
A.B.
C.D.

9. 已知函数fx=sin3x+φ−π2<φ<π2图象关于直线x=5π18对称，则函数f(x)在区间0,π上零点的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4

10. 已知关于x的不等式ax2−2x+4a<0在(0,2]上有解，则实数a的取值范围是( )
A.−∞,12B.12,+∞C.−∞,2D.2,+∞

11. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，三棱锥A1−BC1D内切球的体积为4π3，则正方体外接球的表面积为( )
A.24πB.36πC.48πD.96π

12. 已知函数f(x)=memx−lnx，当x>0时，f(x)>0恒成立，则m的取值范围为( )
A.[1,+∞)B.(e,+∞)C.(1e,e)D.(1e,+∞)
二、填空题

已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点P−3,4在角α的终边上，则sin2α=________.

已知实数x，y满足约束条件 x−y≥0,x+y−4≤0,y≥1, 则z=22x−y的最大值为________.

已知数列an的各项均为正数，其前n项和Sn满足Sn=12an+1an，则a5=________.

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若ccsB+bcsC=2acsB，AM→=23AB→+13AC→，且AM=3，则b+2c的最大值是________.
三、解答题

设数列an的前n项和为Sn，若a1=1，S5=25，且2Snn=Sn−1n−1+Sn+1n+1(n≥2且n∈N*).
(1)求Sn，并求出数列an的通项公式；

(2)设Tn=1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1，求T2021的值．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csB+csAcsCsinBcsC=3ab.
(1)求角C的大小；

(2)若c=6，且AB边上的中线CD=4，求△ABC的面积．

如图，三棱锥P−ABC中，PA=PB=AB=BC=2，AB⊥BC，D是AC的中点．

(1)证明：PD⊥AB；

(2)若PB⊥BC，求点D到平面PBC的距离．

设函数fx=x3−3x2+2.
(1)求函数fx的单调递减区间；

(2)若函数fx在区间m,m+5内存在最小值，求实数m的取值范围．

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=π3，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2.

(1)点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使得PA//平面MQB；

(2)在(1)的条件下，若PB=6，求三棱锥M−BCQ的体积．

已知函数fx=aex−xex−1（其中a>0，e是自然对数的底数）．
(1)当a=2时，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；

(2)若函数fx恰好有两个零点，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省芜湖市某校（上）1月模拟考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：z=1+3i2−i=1+3i2+i5=−1+7i5=−15+75i，
则|z|=125+4925=2.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为∁UA=x|x−13−x>0=x|1又因为B=x|x<2，所以∁UA∩B=x|1故选A．
3.
【答案】
B
【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：|x+1|−x>0⇔|x+1|>x，x<0时右边负数显然成立，
x≥0时x+1>x也成立，所以命题p是真命题．
对于命题q，当a=0时lna没有意义，命题q是假命题．
所以¬p∨q为假命题，A错误； p∨q为真命题，B正确；
p∧q为假命题，C错误； p∧−q为真命题，D错误．
故选B．
4.
【答案】
C
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
无
【解答】
解：利用中间值0和1来比较：a=lnπ>1，0∴ a>b>c.
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：假如n是合数，它必有一个约数a，使得a×b=n，
且a，b两个数中必有一个大于或者等于n，
另一个小于或者等于n，所以只要小于或者等于n的数（1除外），
不能整除n，则n必是素数，应填入i≤k−1?.
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由|a→+2b→|=|a→−2b→|得a→⋅b→=0，
又|a→|=1，|b→|=1，
∴ 4a→+b→⋅a→−b→=4a→2−b→2=3.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
等比数列的性质
等比数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：a4+a5+a6=S6−S3=7−8=−1，
a4+a5+a6=a1q3+a2q3+a3q3=(a1+a2+a3)q3，
所以q3=−18，
则a7+a8+a9=a4q3+a5q3+a6q3=18．
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
函数的图象与图象的变换
函数的图象
【解析】
利用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．
【解答】
解：由f(x)=0，解得x2−2x=0，即x=0或x=2，
∴ 函数f(x)有两个零点，∴ A，C不正确．
f′(x)=(x2−2)ex，
由f′(x)=(x2−2)ex>0，解得x>2或x<−2．
由f′(x)=(x2−2)ex<0，解得，−2即x=−2是函数的一个极大值点，排除D．
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
函数的零点
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
（1）根据题目所给信息进行求解即可.
【解答】
解：函数fx=sin3x+φ−π2<φ<π2图象关于直线x=5π18对称，
所以3×5π18+φ=kπ+π2k∈Z，解得φ=kπ−π3k∈Z.
又因为−π2<φ<π2，所以φ=−π3，所以fx=sin3x−π3.
令fx=sin3x−π3=0，则3x−π3=kπk∈Z，得x=kπ3+π9.
因为x∈0,π，所以x=π9,4π9,7π9．即函数fx在区间0,π上零点的个数为3.
故选C.
10.
【答案】
A
【考点】
函数恒成立问题
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：x∈(0,2]时，不等式可化为 a<2xx2+4=2x+4x ，
令fx=2x+4x，则a综上所述，实数a的取值范围是−∞,12.
故选A.
11.
【答案】
B
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
柱体、锥体、台体的体积计算
棱柱的结构特征
【解析】
无
【解答】
解：设正方体的棱长为a，则三棱锥A1−BC1D是棱长BD=2a的正四面体．
因为三棱锥A1−BC1D内切球的体积为4π3，
所以三棱锥A1−BC1D内切球的半径为1，
设A1−BC1D内切球的球心为O，A1到面BC1D的距离为h，
则VA1−BC1D=4VO−BC1D，
13S△BC1D×h=4×13×S△BC1D×1，
所以h=4，
又因为h=2a2−33×2a2=63×2a ，
所以63×2a=4，a=23，
又因为正方体外接球直径就是正方体对角线长，
所以正方体外接球的半径为232+232+2322=3，
其表面积为4π×32=36π．
故选B.
12.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可知m>0,
则memx−lnx>0在(0,1]上恒成立.
当x>1时，f(x)>0等价于memx>lnx，
因为x>1，所以mxemx>elnx.
设g(x)=xex(x>0)，
显然g(x)在(0,+∞)上单调递增，
因为mx>0,lnx>0,
所以g(mx)>g(lnx)等价于mx>lnx,
即m>lnxx.
设h(x)=lnxx(x>0)，
则h′(x)=1−lnxx2(x>0).
令h′(x)=0,
解得x=e,
则h(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
从而h(x)max=h(e)=1e,
故m>1e.
故选D.
二、填空题
【答案】
−2425
【考点】
象限角、轴线角
二倍角的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题设sinα=45，csα=−35，
所以sin2α=2×45×−35=−2425.
故答案为：−2425.
【答案】
32
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：约束条件表示的区域是以1,1，2,2，3,1为顶点的三角形，
目标函数在3,1处取最大值．
故答案为：32.
【答案】
5−2
【考点】
数列的求和
【解析】
无
【解答】
解：由Sn=12an+1an，令n=1得a1=1．
当n≥2时，由Sn=12an+1an得2anSn=an2+1，
得Sn−Sn−12+1=2Sn−Sn−1Sn，
整理得Sn2−Sn−12=1n≥2，
所以S22−S12=1，S32−S22=1，⋯，Sn2−Sn−12=1，
累加得Sn2=n，所以Sn=n，
所以an=Sn−Sn−1=n−n−1（n≥2），
所以a5=5−2．
故答案为：5−2.
【答案】
6
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
基本不等式在最值问题中的应用
向量的模
【解析】
无
【解答】
解：ccsB+bcsC=2acsA
⇒sinCcsB+sinBcsC=2sinAcsA
⇒sin(B+C)=2sinAcsA
⇒sinA=2sinAcsA，
⇒csA=12,A=π3，
∵|AM→|2=|23AB→+13AC→|2
=49AB→2+49AB→⋅AC→+19AC→2
=49c2+49c⋅b⋅12+19b2
=19(b2+2bc+4c2)=3，
∴ b2+4c2+2bc=27
⇒b+2c2−2bc=27
⇒b+2c2=27+2bc≤27+b+2c22，
得34b+2c2≤27⇒b+2c≤6．
故答案为：6.
三、解答题
【答案】
解：(1)S11=1，S55=5，又{Snn}是等差数列，
所以首项是1，公差是1， Snn=n，
即Sn=n2，所以an=Sn−Sn−1=2n−1(n>1时），
显然n=1也符合．
所以an=2n−1(n∈N*).
(2)Tn=1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1
=11×3+13×5+⋯+12n−12n+1
=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]
=12(1−12n+1)=n2n+1，
所以T2021=20212×2021+1=20214043.
【考点】
数列递推式
等差中项
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)S11=1，S55=5，又{Snn}是等差数列，
所以首项是1，公差是1， Snn=n，
即Sn=n2，所以an=Sn−Sn−1=2n−1(n>1时），
显然n=1也符合．
所以an=2n−1(n∈N*).
(2)Tn=1a1a2+1a2a3+⋯+1anan+1
=11×3+13×5+⋯+12n−12n+1
=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]
=12(1−12n+1)=n2n+1，
所以T2021=20212×2021+1=20214043.
【答案】
解：(1)因为csB+csAcsCsinBcsC=3ab，
由正弦定理，得csB+csAcsCsinBcsC=3sinAsinB．
所以−csA+C+csAcsCsinBcsC=3sinAsinB．
所以sinAsinC=3sinAcsC.
又因为sinA≠0，所以tanC=3．
因为C∈0,π，所以C=π3.
(2)因为cs∠BDC+cs∠ADC=0，
所以32+42−a22×3×4+32+42−b22×3×4=0，
得a2+b2=50.
又因为a2+b2−62=2abcsπ3=ab，
所以ab=14，所以S=12absinC=12×14×32=723.
【考点】
正弦定理
两角和与差的余弦公式
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为csB+csAcsCsinBcsC=3ab，
由正弦定理，得csB+csAcsCsinBcsC=3sinAsinB．
所以−csA+C+csAcsCsinBcsC=3sinAsinB．
所以sinAsinC=3sinAcsC.
又因为sinA≠0，所以tanC=3．
因为C∈0,π，所以C=π3.
(2)因为cs∠BDC+cs∠ADC=0，
所以32+42−a22×3×4+32+42−b22×3×4=0，
得a2+b2=50.
又因为a2+b2−62=2abcsπ3=ab，
所以ab=14，所以S=12absinC=12×14×32=723.
【答案】
解：(1)由题设△PAB是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，取AB中点E，连接DE，BD，
则PA=PBAD=BD⇒PE⊥AB，
又中位线DE//BC，DE=12BC=1．
所以DE//BCAB⊥BC⇒DE⊥AB，
因此PE⊥ABDE⊥AB⇒AB⊥平面PDE⇒PD⊥AB.
(2)若PB⊥BC，结合已知条件AB⊥BC可得BC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，
平面PAB⊥平面ABC平面PAB∩平面ABC=ABPE⊥AB⇒PE⊥平面ABC，
所以VP−DBC=13S△BCD×PE=13×12×2×1×3=33．
另一方面VP−DBC=VD−PBC=13S△BCP×h
=13×12×2×2×h=23h，
其中h是点D到平面PBC的距离．
所以23h=33⇒h=32，
即点D到平面PBC的距离等于32．
【考点】
两条直线垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
点、线、面间的距离计算
【解析】


【解答】
解：(1)由题设△PAB是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，取AB中点E，连接DE，BD，
则PA=PBAD=BD⇒PE⊥AB，
又中位线DE//BC，DE=12BC=1．
所以DE//BCAB⊥BC⇒DE⊥AB，
因此PE⊥ABDE⊥AB⇒AB⊥平面PDE⇒PD⊥AB.
(2)若PB⊥BC，结合已知条件AB⊥BC可得BC⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABC，
平面PAB⊥平面ABC平面PAB∩平面ABC=ABPE⊥AB⇒PE⊥平面ABC，
所以VP−DBC=13S△BCD×PE=13×12×2×1×3=33．
另一方面VP−DBC=VD−PBC=13S△BCP×h
=13×12×2×2×h=23h，
其中h是点D到平面PBC的距离．
所以23h=33⇒h=32，
即点D到平面PBC的距离等于32．
【答案】
解：(1)令f′x=3x2−6x<0⇒x∈0,2，所以fx的单调递减区间是0,2.
(2)由(1)知fx在−∞,0，2,+∞上单调递增，在0,2上单调递减．
所以f0=2是极大值，f2=−2是极小值，在开区间a,a+5内的最小值一定是f2=−2．
令fx=x3−3x2+2=−2⇒x3−3x2+4=0，
得x3+1−3x2+3=x+1x−22=0⇒x1=−1，x2=2，
所以−1≤m<2,m+5>2,得实数m的取值范围是[−1,2)．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)令f′x=3x2−6x<0⇒x∈0,2，所以fx的单调递减区间是0,2.
(2)由(1)知fx在−∞,0，2,+∞上单调递增，在0,2上单调递减．
所以f0=2是极大值，f2=−2是极小值，在开区间a,a+5内的最小值一定是f2=−2．
令fx=x3−3x2+2=−2⇒x3−3x2+4=0，
得x3+1−3x2+3=x+1x−22=0⇒x1=−1，x2=2，
所以−1≤m<2,m+5>2,得实数m的取值范围是[−1,2)．
【答案】
解：(1)当t=13时，PA//平面MQB．
连接AC交BQ于点N，连接MN，
由题设AQ//BC，AQ=12BC，得AN=13AC．
若PA//平面MQB，由平面PAC∩平面MOB=MN，
得PA//MN，于是PM=13PC，t=13．
当t=13，PMPC=ANAC⇒PA//MN⇒PA//平面MQB．
(2)连接BD，
由题设△ABD，△PAD都是等边三角形，
Q是AD中点，PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ=BQ=3.
在△PQB中，PQ2+BQ2=6=PB2，
得PQ⊥BQ.
又PQ⊥AD，AD∩BQ=Q，
得PQ⊥平面ABCD，
所以平面PQC⊥平面ABCD，
作MH⊥CQ于H，
则MH⊥平面ABCD，MH=23PQ=233，
又S△BCQ=S△ABC=12×2×2×sin2π3=3，
所以VM−BCQ=13×3×233=23．
【考点】
直线与平面平行的性质
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】


【解答】
解：(1)当t=13时，PA//平面MQB．
连接AC交BQ于点N，连接MN，
由题设AQ//BC，AQ=12BC，得AN=13AC．
若PA//平面MQB，由平面PAC∩平面MOB=MN，
得PA//MN，于是PM=13PC，t=13．
当t=13，PMPC=ANAC⇒PA//MN⇒PA//平面MQB．
(2)连接BD，
由题设△ABD，△PAD都是等边三角形，
Q是AD中点，PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ=BQ=3.
在△PQB中，PQ2+BQ2=6=PB2，
得PQ⊥BQ.
又PQ⊥AD，AD∩BQ=Q，
得PQ⊥平面ABCD，
所以平面PQC⊥平面ABCD，
作MH⊥CQ于H，
则MH⊥平面ABCD，MH=23PQ=233，
又S△BCQ=S△ABC=12×2×2×sin2π3=3，
所以VM−BCQ=13×3×233=23．
【答案】
解：(1)当a=2时， fx=2ex−xex−1，
∴ f′x=2ex−1−xex，所以f′0=2−1=1．
又f0=2−1=1，
∴ 曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y−1=x，
即x−y+1=0．
(2)问题等价于gx=1exxex+1的图象和直线y=a恰好有2个交点，
求a的取值范围．
令gx=1exxex+1，则g′x=1−2x−exe2x．
令hx=1−2x−ex，则h′x=−2−ex<0，
∴ hx在−∞,+∞上单调递减．
又h0=0，
∴ 当x∈−∞,0时， hx>0，g′x>0，
∴ gx在−∞,0上单调递增．
当x∈0,+∞时， hx<0，g′x<0，
∴ gx在0,+∞上单调递减，
∴ gx的极大值即最大值为g0=1，
∴ 当x∈(−∞,0]时， g(x)∈(−∞,1]；
当x∈0,+∞时， gx∈0,1，
∴ 当a∈0,1时， gx=1exxex+1的图象和直线y=a恰好有2个交点，
函数fx恰好有两个零点．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=2时， fx=2ex−xex−1，
∴ f′x=2ex−1−xex，所以f′0=2−1=1．
又f0=2−1=1，
∴ 曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y−1=x，
即x−y+1=0．
(2)问题等价于gx=1exxex+1的图象和直线y=a恰好有2个交点，
求a的取值范围．
令gx=1exxex+1，则g′x=1−2x−exe2x．
令hx=1−2x−ex，则h′x=−2−ex<0，
∴ hx在−∞,+∞上单调递减．
又h0=0，
∴ 当x∈−∞,0时， hx>0，g′x>0，
∴ gx在−∞,0上单调递增．
当x∈0,+∞时， hx<0，g′x<0，
∴ gx在0,+∞上单调递减，
∴ gx的极大值即最大值为g0=1，
∴ 当x∈(−∞,0]时， g(x)∈(−∞,1]；
当x∈0,+∞时， gx∈0,1，
∴ 当a∈0,1时， gx=1exxex+1的图象和直线y=a恰好有2个交点，
函数fx恰好有两个零点．