2021年上海市长宁区高考数学一模试卷

这是一份2021年上海市长宁区高考数学一模试卷，共8页。

1. 不等式x−2x+1<0解集为________．

2. 函数y＝sin(2x−π6)的最小正周期为________．

3. 计算：limn→∞2n+1+13n−1=________．

4. 数组2.7、3.1、2.5、4.8、2.9、3.6的中位数为________．

5. 在(x+1x)6的二项展开式中，x2项的系数为________．

6. 若函数y＝f(x)的反函数f−1(x)＝lgax(a>0, a≠1)图象经过点(8, 32)，则f(−12)的值为________12 ．

7. 若直线x−1y+21k=0的法向量与直线x+y−1＝0的方向向量垂直，则实数k＝________．

8. 设集合M＝{x|x2≤1}，N＝{b}，若M∪N＝M，则实数b的取值范围为________．

9. 设F为双曲线Γ：x2−y2b2=1(b>0)的右焦点，O为坐标原点，P、Q是以OF为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点．若|PQ|＝|OF|，则b＝________．

10. 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，点D在边BC上．若AB→⋅AD→=1，AD→⋅AC→=53，则AB→⋅AC→的值为________．

11. 设O为坐标原点，从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}中任取两个不同的元素x、y，组成A、B两点的坐标(x, y)、(y, x)，则∠AOB＝2arctan13的概率为________．

12. 设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn．若数列{an}满足：存在三个不同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列，a2r，a2s，a2t也成等比数列，则990S1+Snan的最小值为________．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

设复数z＝a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），则“a＝0”是“z为纯虚数”的（ ）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件

对任意向量a→、b→，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A.(a→+b→)2＝|a→+b→|2
B.(a→+b→)(a→−b→)=a→2−b→2
C.|a→⋅b→|≤|a→|⋅|b→|
D.|a→−b→|≤||a→|−|b→||

设m、n为两条直线，α、β为两个平面，则下列命题中假命题是（ ）
A.若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
B.若m // n，m⊥α，n // β，则α⊥β
C.若m⊥n，m // α，n // β，则α // β
D.若m // n，m⊥α，n⊥β，则α // β

设f(x)＝|x−b1|+|kx−b2|−|2x−b3|，其中常数k>0，b1，b2，b3∈R，若函数y＝f(x)图象如图所示，则数组(b1, b2, b3)的一组值可以是（ ）

A.(3, −1, 1)B.(1, −2, −1)C.(−1, 2, 2)D.(1, −3, 1)
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，高为23，底面半径为2．

1求该圆锥的侧面积；

2设OA，OB为该圆锥的底面半径，且∠AOB=90∘，M为线段AB的中点，求直线PM与直线OB所成的角的正切值.

设抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，直线l:x−my−n＝0经过F且与Γ交于A、B两点．
（1）若|AB|＝8，求m的值；

（2）设O为坐标原点，直线AO与Γ的准线交于点C，求证：直线BC平行于x轴．

某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD沿边界围成一个封闭的留观区．经测量，边界AB与AD的长度都是20米，∠BAD＝60∘，∠BCD＝120∘．

（1）若∠ADC＝105∘，求BC的长（结果精确到米）；

（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）．

设f(x)＝x3+ax2−2x(x∈R)，其中常数a∈R．
（1）判断函数y＝f(x)的奇偶性，并说明理由；

（2）若不等式f(x)>32x3在区间[12, 1]上有解，求实数a的取值范围；

（3）已知：若对函数y＝h(x)定义域内的任意x，都有h(x)+h(2m−x)＝2n，则函数y＝(x)的图象有对称中心(m, n)．利用以上结论探究：对于任意的实数a，函数y＝f(x)是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标（用a表示）；若不是，证明你的结论．

若对于数列{an}中的任意两项可ai，aj(i>j)，在{an}中都存在一项am，使得am=ai2aj，则称数列{an}为“X数列”若对于数列{an}中的任意一项an(n≥3)，在{an}中都存在两项ak，al(k>l)，使得an=ak2al，则称数列{an}为“Y数列”．
（1）若数列{an}为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列{an}是否为“X数列”，并说明理由；

（2）若数列{an}的前n项和Sn＝2n−1(n∈N*)，求证：数列{an}为“Y数列”；

（3）若数列{an}为各项均为正数的递增数列，且既为“X数列”，又为“Y数列”，求证：a1，a2，a3，a4成等比数列．
参考答案与试题解析
2021年上海市长宁区高考数学一模试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1.
【答案】
{x|−1【考点】
其他不等式的解法
【解析】
由不等式不等式x−2x+1<0，可得(x−2)(x+1)<0，由此解得它的解集．
【解答】
由不等式不等式x−2x+1<0，可得(x−2)(x+1)<0，解得−12.
【答案】
π
【考点】
三角函数的周期性
【解析】
直接利用正弦函数的周期公式求解即可．
【解答】
函数y＝sin(2x−π6)的最小正周期是：2π2=π．
3.
【答案】
0
【考点】
极限及其运算
【解析】
将limn→∞2n+1+13n−1，转化为limn→∞2×(23)n+13n1−13n，然后求出极限即可．
【解答】
limn→∞2n+1+13n−1=limn→∞2×(23)n+13n1−13n=0．
4.
【答案】
3.0
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
把这组数据按从小到大排列，计算它的中位数即可．
【解答】
该组数据按从小到大排列为：2.5，2.7，2.9，3.1，3.6，4.8；
所以这组数据的中位数为 12×(2.9+3.1)＝3.0．
5.
【答案】
15
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用x的指数为2，求出展开式中x2的系数．
【解答】
根据二项式定理，(x+1x)6的通项为Tr+1＝C6r⋅x6−r⋅(1x)r＝C6rx6−2r，r＝0，1，2，…，6，
当6−2r＝2时，即r＝2时，可得T3＝15x2，
即x2项的系数为15，
6.
【答案】
12
【考点】
函数的求值
求函数的值
反函数
【解析】
先把已知点代入反函数的解析式，求出a 的值，再令反函数等于−12，求出x的值即为所求．
【解答】
由已知可得lga8=32，即a​32=8，
解得a＝4，所以f−1(x)＝lg4x，
再令lg4x=−12，即4​−12=x，解得x=12，
由反函数的定义可得f(−12)=12，
7.
【答案】
−1
【考点】
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
由题意可得这两条直线互相平行，再根据两条直线平行的性质，求得k的值．
【解答】
直线x−1y+21k=0，即 k×(x−1)−1×(y+2)＝0，即 kx−y−k−2＝0，
∵ 直线x−1y+21k=0的法向量与直线x+y−1＝0的方向向量垂直，∴ 这两条直线互相平行，
故它们的斜率相等，即k＝−1，
8.
【答案】
[−1, 1]
【考点】
并集及其运算
【解析】
求出集合M，将条件M∪N＝M转化为N⊆M，利用集合关系即可得到结论．
【解答】
M＝{x|x2≤1}＝{x|−1≤x≤1}，
∵ M∪N＝M，∴ N⊆M，
∵ N＝{b}，∴ −1≤b≤1．
9.
【答案】
1
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
依题意可得P的坐标，把P的坐标代入渐近线方程即可求解．
【解答】
如图，可得P(c2, c2)，
又点P在渐进线y=bax上，∴ c2=ba⋅c2，
整理得：ba=1，
又a＝1，∴ b＝1，
10.
【答案】
−3
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
令AD→=xAB→+yAC→，且x+y＝1，再结合AB→⋅AD→=1，AD→⋅AC→=53，得到关于x，y，AB→⋅AC→的方程组，求出x，y的值，即可求出AB→⋅AC→．
【解答】
由已知设AD→=xAB→+yAC→，且x+y＝1，
因为AB→⋅AD→=1，AD→⋅AC→=53，所以AB→⋅(xAB→+yAC→)=1AC→⋅(xAB→+yAC→)=53 ，
即9x+yAB→⋅AC→=1⋯⋯4y+xAB→⋅AC→=53⋯⋯ ，结合x+y＝1，
消去AB→⋅AC→，得1−9x53−4y=yxx+y=1 ，解得x=13,y=23，
代入①式，可得AB→⋅AC→=−3．
11.
【答案】
19
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
先由题设条件求出数对(x, y)总的个数，然后利用∠AOB＝2arctan13，求出满足题意的数对(x, y)的个数，最后利用古典概型概率公式计算出结果．
【解答】
∵ x，y∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}且y≠x，∴ 数对(x, y)共有9×8＝72个．
∵ ∠AOB＝2arctan13，∴ tan∠AOB=231−(23)2=34，∴ cs∠AOB=45，
又连接原点O和A(x, y)，B(y, x)两点，得OA→==(x, y)，OB→=(y, x)，
则cs∠AOB=OA→⋅OB→|OA→|⋅|OB→|=2xyx2+y2=45，即(2x−y)(x−2y)＝0，即y＝2x，或y=12x，
∴ 满足∠AOB＝2arctan13的数对有：
(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)，(4, 8)，(2, 1)，(4, 2)，(6, 3)，
(8, 4)，共8个，
∴ ∠AOB＝2arctan13的概率P=872=19．
12.
【答案】
45
【考点】
等比数列的性质
等比数列的前n项和
数列与不等式的综合
【解析】
根据题意，设an＝pn+q，由等比数列的性质可得(pr+q)(pt+q)=(ps+q)2(2pr+q)(2pt+q)=(2ps+q)2 ，变形可得q＝0，然后得到990S1+Snan=990n+n2+12，结合基本不等式的性质，可得答案．
【解答】
根据题意，数列{an}为等差数列，设an＝pn+q，
若存在三个不同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列，a2r，a2s，a2t也成等比数列，
则有(pr+q)(pt+q)=(ps+q)2(2pr+q)(2pt+q)=(2ps+q)2 ，即p2rt+2pq(t+r)=p2s2+2pqs4p2rt+4pq(t+r)=4p2s2+4pqs
联立①②，变形可得p2rt＝p2s2，
又由等差数列{an}的公差不为0，即p≠0，则有rt＝s2，
代入①式可得pq(r+t)＝2pqs，
又由r，s，t互不相等且rt＝s2，则r+t≠2s，必有q＝0，则an＝pn，
所以S1＝a1＝p，Sn=(a1+an)×n2=n(n+1)p2，
故990S1+Snan=990p+n(n+1)2pn=990n+n2+12，
设f(n)=990n+n2+12，
则f(n)=990n+n2+12≥2990n×n2+12=2445+12，
当且仅当n2＝1880时等号成立，此时n不是正整数，不符合题意，
而43<1880<44，
所以f(43)=99043+432+12=193643，f(44)=99044+442+12=45，
所以f(43)>f(44)，
所以990S1+Snan的最小值为45，
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据复数的概念可得当a＝0，且b≠0时，z为纯虚数，再根据充分条件，必要条件的定义可以判断．
【解答】
复数z＝a+bi（其中a、b∈R，i为虚数单位），当a＝0，且b≠0时，z为纯虚数，
则“a＝0”是“z为纯虚数”必要非充分条件，
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
通过向量的数量积，以及向量的运算法则，判断选项的正误即可．
【解答】
因为a→2=|a→|2，所以(a→+b→)2＝|a→+b→|2正确，所以A正确；
(a→+b→)(a→−b→)=a→2−b→2，满足向量的运算法则，所以B正确；
|a→⋅b→|＝|a→|⋅|b→|cs≤|a→|⋅|b→|，所以C正确；
如果两个向量是相反向量，|a→−b→|≤||a→|−|b→||，不正确，所以D不正确；
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
直接利用线面垂直的线面平行的判定和性质，法向量的应用判定A、B、C、D的结论．
【解答】
对于A：由于m⊥α，n⊥β，所以直线m和n相当于平面α和β的法向量，由于m⊥n，所以α⊥β，故A正确；
对于B：由于m⊥α，n // β，所以m相当于α的法向量，由于m // n，则α⊥β，故B正确；
对于C：由于m⊥n，m // α，n // β，则α⊥β，故C正确；
对于D：由于m // n，m⊥α，n⊥β，则α // β，故D正确．
【答案】
A
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
由图象可知，当x→+∞时，f(x)恒为负值，可得k＝1，b1+b2−b3>0，对照各个选项即可求出．
【解答】
由图象可知，当x→+∞时，f(x)＝x−b1+kx−b2−2x+b3＝(k−1)x−(b1+b2−b3)恒为负值，
所以k＝1，b1+b2−b3>0，即b1+b2>b3，观察选项可知，只有A选项中b1+b2>b3，
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
【答案】
解：1由题意知，h=23，r=2，
∴ 圆锥的母线l=h2+r2=4，
∴ 圆锥的侧面积S=12l⋅2πr=12×4×2π×2=8π．
2取OA的中点N，连接MN，PN.
∵ M为AB的中点，
∴ MN // OB，
∴ ∠PMN或其补角即为直线PM与直线OB所成的角.
∵ OB⊥OA，OB⊥OP，OA∩OP=O，OA，OP⊂平面POA，
∴ OB⊥平面POA，
∴ MN⊥平面POA，
∴ MN⊥PN.
在Rt△PMN中，PN=h2+(r2)2=13，MN=12OB=1，
∴ tan∠PMN=PNMN=13，
故直线PM与直线OB所成的角的正切值为13．
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
异面直线及其所成的角
【解析】

2取OA的中点N，连接MN，PN，易知∠PMN或其补角即为所求，先证OB⊥平面POA，推出MN⊥平面POA，故MN⊥PN，在Rt△PMN中，由tan∠PMN = PNMN，即可得解．
【解答】
解：1由题意知，h=23，r=2，
∴ 圆锥的母线l=h2+r2=4，
∴ 圆锥的侧面积S=12l⋅2πr=12×4×2π×2=8π．
2取OA的中点N，连接MN，PN.
∵ M为AB的中点，
∴ MN // OB，
∴ ∠PMN或其补角即为直线PM与直线OB所成的角.
∵ OB⊥OA，OB⊥OP，OA∩OP=O，OA，OP⊂平面POA，
∴ OB⊥平面POA，
∴ MN⊥平面POA，
∴ MN⊥PN.
在Rt△PMN中，PN=h2+(r2)2=13，MN=12OB=1，
∴ tan∠PMN=PNMN=13，
故直线PM与直线OB所成的角的正切值为13．
【答案】
根据题意，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，则F(1, 0)，
直线l:x−my−n＝0经过点F，则有1−0−n＝0，解可得n＝1，直线l的方程为x＝my+1，
联立x=my+1y2=4x 可得：y2−4my−4＝0，
则有y1+y2＝4m，y1y2＝−4，
又由|AB|＝8，则|AB|=(1+m2)[(y1+y2)2−4y1y2]=4(m2+1)＝8，
解可得m＝±1，
根据题意，抛物线Γ：y2＝4x的准线为x＝−1，
设C(−1, y3)，由直线OA的方程y=y1x1x，
则有y3=−y1x1=−4y1，
又由y1y2＝−4，则y2=−4y1，
故y2＝y3=−4y1，故直线BC平行于x轴．
【考点】
直线与抛物线的位置关系
【解析】
（1）根据题意，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，求出抛物线焦点的坐标，将F的坐标代入直线l的方程，可得n＝1，进而联立直线与抛物线的方程可得y2−4my−4＝0，进而可得y1+y2＝4m，y1y2＝−4，由弦长公式可得|AB|=(1+m2)[(y1+y2)2−4y1y2]=4(m2+1)＝8，解可得m的的值，即可得答案，
（2）根据题意，设C(−1, y3)，求出直线OA的方程，分析可得y3=−y1x1=−4y1，又由y1y2＝−4变形可得y2=−4y1，即可得y2＝y3，可得结论．
【解答】
根据题意，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，则F(1, 0)，
直线l:x−my−n＝0经过点F，则有1−0−n＝0，解可得n＝1，直线l的方程为x＝my+1，
联立x=my+1y2=4x 可得：y2−4my−4＝0，
则有y1+y2＝4m，y1y2＝−4，
又由|AB|＝8，则|AB|=(1+m2)[(y1+y2)2−4y1y2]=4(m2+1)＝8，
解可得m＝±1，
根据题意，抛物线Γ：y2＝4x的准线为x＝−1，
设C(−1, y3)，由直线OA的方程y=y1x1x，
则有y3=−y1x1=−4y1，
又由y1y2＝−4，则y2=−4y1，
故y2＝y3=−4y1，故直线BC平行于x轴．
【答案】
连接BD，在△ABD中，因为∠BAD＝60∘，AB＝AD，所以△ABD为等边三角形，所以BD＝20，
因为∠ADC＝105∘，所以∠BDC＝105∘−60∘＝45∘，
在△BCD中，由正弦定理可得BCsin120=BCsin45，所以BC=2063≈16千米，
连接BD，BD＝AD＝2，且∠ADB＝60∘，可得BD＝2，
在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cs120∘＝(BC+CD)2−BC⋅CD≥(BC+CD)2−(BC+CD2)2=34(BC+CD)2，
所以(BC+CD)2≤43BD2=16003，所以(BC+CD)max=4033，
所以四边形ABCD的周长为：(AB+BC+CD+AD)max＝20+20+4033≈73米．
【考点】
正弦定理
【解析】
（1）连接BD，由题意可得△ABD为正三角形，可得BD＝AD＝2，且∠ADB＝60∘，进而可得∠ADC＝45∘，在△BCD中由正弦定理可得CD的值，
（2）在△BCD中由余弦定理可得CD+BC的最大值值，进而求出四边形的周长的最大值．
【解答】
连接BD，在△ABD中，因为∠BAD＝60∘，AB＝AD，所以△ABD为等边三角形，所以BD＝20，
因为∠ADC＝105∘，所以∠BDC＝105∘−60∘＝45∘，
在△BCD中，由正弦定理可得BCsin120=BCsin45，所以BC=2063≈16千米，
连接BD，BD＝AD＝2，且∠ADB＝60∘，可得BD＝2，
在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cs120∘＝(BC+CD)2−BC⋅CD≥(BC+CD)2−(BC+CD2)2=34(BC+CD)2，
所以(BC+CD)2≤43BD2=16003，所以(BC+CD)max=4033，
所以四边形ABCD的周长为：(AB+BC+CD+AD)max＝20+20+4033≈73米．
【答案】
当a＝0时，f(x)＝x3−2x，显然f(−x)＝−f(x)，函数f(x)是奇函数，
当a≠0，f(1)＝a−1，f(−1)＝a+1，
∵ f(−1)≠±f(1)，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数；
原问题转化为a>12x+2x在区间[12, 1]上有解，
由对勾函数y=12x+2x的单调性可得y=12x+2x在区间[12, 1]上单调递减，
故ymin=52，
故a的取值范围是(52, +∞)；
假设存在对称中心(m, n)，
则x3+ax2−2x+(2m−x)3+a(2m−x)2−2(2m−x)＝2n恒成立，
得(6m+2a)x2−(12m2+4a)x+8m3+4am2−4m＝2n恒成立，
故6m+2a=012m2+4am=08m3+4am2−4m=2n ，
故m=−a3，n=2a327+2a3，
故函数y＝f(x)的对称中心是(−a3, 2a327+2a3)．
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）通过讨论a，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；
（2）原问题转化为a>12x+2x在区间[12, 1]上有解，结合函数y=12x+2x的单调性求出a的取值范围即可；
（3）假设存在对称中心(m, n)，根据系数对应相等，得到关于m，n的方程组，解出即可．
【解答】
当a＝0时，f(x)＝x3−2x，显然f(−x)＝−f(x)，函数f(x)是奇函数，
当a≠0，f(1)＝a−1，f(−1)＝a+1，
∵ f(−1)≠±f(1)，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数；
原问题转化为a>12x+2x在区间[12, 1]上有解，
由对勾函数y=12x+2x的单调性可得y=12x+2x在区间[12, 1]上单调递减，
故ymin=52，
故a的取值范围是(52, +∞)；
假设存在对称中心(m, n)，
则x3+ax2−2x+(2m−x)3+a(2m−x)2−2(2m−x)＝2n恒成立，
得(6m+2a)x2−(12m2+4a)x+8m3+4am2−4m＝2n恒成立，
故6m+2a=012m2+4am=08m3+4am2−4m=2n ，
故m=−a3，n=2a327+2a3，
故函数y＝f(x)的对称中心是(−a3, 2a327+2a3)．
【答案】
数列{an}的通项公式为：an＝n，a2＝2，a3＝3，
∵ a32a2=92不是整数，故不是数列{an}的项，
故数列{an}不是“X数列”；
数列{an}的前n项和Sn＝2n−1(n∈N*)，故an＝2n−1，
当n≥3时，取K＝m−1，l＝m−2，
则ak2al=22k−l−1＝2n−1＝an，故数列{an}是“Y数列”，
证明：记q=a2a1，而数列{an}为各项均为正数的递增数列，
故q>1且当k>l时，akal>1，
若k>l，an=ak2al=akal×ak>ak>al，则n>k>l①，
∵ 数列{an}为“X数列”，故存在i>j，且a3=ai2aj，
由①知：3>i>j≥1，故i＝2，j＝1，
即a3=a22a1=a1q2，即a1，a2，a3成等比数列，
∵ 数列{an}是“X数列”，存在正整数k，l(k>l)，使得a4=ak2al，
由①得：4>k>l，故3≥k>l，从而a4=ak2al=a1q2k−l−1，记n4＝2k−l−1∈N*，
∵ 数列{an}是“Y数列”，存在正整数m，使得am=a32a2=q×a3＝a1q3，
由q>1，得am>a3，
若a4＝a1qn4得2若a4>a1q3＝am，则a3故a4＝a1q3，即a1，a2，a3，a4成等比数列．
【考点】
数列的应用
【解析】
（1）根据“X数列”的定义判断即可；
（2）根据“Y数列”的定义判断即可；
（3）先根据“X数列”求出a1，a2，a3成等比数列，再根据“Y数列”的定义求出a1，a2，a3，a4成等比数列，从而证明结论成立．
【解答】
数列{an}的通项公式为：an＝n，a2＝2，a3＝3，
∵ a32a2=92不是整数，故不是数列{an}的项，
故数列{an}不是“X数列”；
数列{an}的前n项和Sn＝2n−1(n∈N*)，故an＝2n−1，
当n≥3时，取K＝m−1，l＝m−2，
则ak2al=22k−l−1＝2n−1＝an，故数列{an}是“Y数列”，
证明：记q=a2a1，而数列{an}为各项均为正数的递增数列，
故q>1且当k>l时，akal>1，
若k>l，an=ak2al=akal×ak>ak>al，则n>k>l①，
∵ 数列{an}为“X数列”，故存在i>j，且a3=ai2aj，
由①知：3>i>j≥1，故i＝2，j＝1，
即a3=a22a1=a1q2，即a1，a2，a3成等比数列，
∵ 数列{an}是“X数列”，存在正整数k，l(k>l)，使得a4=ak2al，
由①得：4>k>l，故3≥k>l，从而a4=ak2al=a1q2k−l−1，记n4＝2k−l−1∈N*，
∵ 数列{an}是“Y数列”，存在正整数m，使得am=a32a2=q×a3＝a1q3，
由q>1，得am>a3，
若a4＝a1qn4得2若a4>a1q3＝am，则a3故a4＝a1q3，即a1，a2，a3，a4成等比数列．